梁保松概率论(农业出版社)习题二解答.pdf

习题二习题二 1 1 表示掷一颗子出现的点数 写出 的概率分布列并画出它的分布函数图形 解解此为古典概率 1 6 11 6 Pk C 1 2 6k 123456 p 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 2 2 三张外表相同纸片上各写上数字0 1 2 随机取其二 求所取纸片上的数字之和的概 率分布 解解 123 p 1 1 2 3 1 3 C C 1 1 2 3 1 3 C C 1 1 2 3 1 3 C C 3 3 进行某种试验 设事件的成功的概率为 4 3 失败的概率为 4 1 且各次试验相互独立 以 表示试验首次成功所需要的试验的次数 试写出 的概率分布 解解若第 k 次成功 即前 k 1 次失败 第 k 次成功 则试验首次成功所需要的试验的次数 服从几何分布 见课本 p47 11 13 44 k Pk k 1 2 4 4 某种传染病进入羊群 已知此种传染病的发病率为 3 2 求在50头已感菌的羊中发病头数 的概率分布 解解设 为50头已感菌的羊中发病头数 则 50 50 21 0 1 2 50 33 kk k PkCk 5 5 某批产品有 0 0 80的一等品 现进行重复抽样检验 共取出4个样品 求其中一等品数 的最可能值 0 k 解解由于服从二项分布的随机变量 的最可能值 0 k为 111npnp 或 而 14 1 0 84np 则 0 k为 4 或 3 6 6 鱼雷打击舰艇 每颗鱼雷命中率为p 10 p 今不间断发射鱼雷 直至命中为止 求发射鱼雷的数目 的分布 解解发射鱼雷的数目 服从几何分布 见课本 p47 1 1 k Pkpp k 1 2 7 7 设随机变量 的概率为 a Pk N Nk 1 0 试确定常数a 解 由概率的性质 00 11 NN kk aa PkN NN 则 1 N a N 8 8 从发芽率为99 0的种子里随机地取100粒 求发芽粒数不少于97的概率 解解设 为发芽粒数 则 97979899100PPPPP 若设 为未发芽粒数 此问题等同于 30123PPPPP 而该问题为试验次数大 概率小的问题 因1np 故 Pi 近似服从泊松分布 1 P 故 01112131 11 1111 30123 0 1 2 3 111111118 0 9810 0 1 2 3 11263 eeee PPPPP ee e 9 9 设随机变量 的概率分布为 k Pka k 1 0 k 0 为常数 试确定常数a 解解 由概率的性质 000 1 kk kkk Pkaaae kk 则 ae 1010 设 服从普阿松分布 且已知 1 2 PP 求 4 P 解解 ke Pk k 12 1 2 1 2 ee PP 则2 故 42 2 4 0 0903 2 e P 1111 已知一电话交换台每分钟的呼唤次数服从参数为4的普阿松分布 求 1每分钟恰有8次呼唤的概率 2每分钟恰呼唤次数大于8的概率 解解设 为每分钟的呼唤次数 则 4 4 k e Pk k 1 84 4 8 0 0298 8 e P 2 9 P 查表 9 4 x 得 9 P 0 021363 1212 函数 其它 0 0 2 2 xe c x xf c x 0 c是否为一随机变量的概率密度 为什么 解解 由概率密度的充要条件 1 显然0 xf 2 222 2 0 222 00 0 01 2 xxx ccc xx f x dxdxedxede cc 因此 f x为随机变量的概率密度 1313 已知随机变量 概率密度为 其它 0 10 2xx xf求 的分布函数 xF及 1 2 P 2 P 解 x RxdttfxF 当0 x 时 00 xx F xf t dtdt 当01x 时 0 2 0 02 xx F xf t dtdttdtx 当1x 时 01 01 0201 xx F xf t dtdttdtdt 故 2 0 0 01 1 1 x F xxx x 2 1 2 00 111 224 1111111 limlim0 2222222 x PFx PPFFFF 1414 设连续性随机变量 的分布函数为 11 10 00 2 x xAx x xF求 1系数A 2 0 30 7 Px 3密度函数 xf 解解 1 由 xF的连续性 有 2 1111 lim limlim lim11 xxxx F xAxAF x 故1 A 22 2 0 30 7 0 70 30 70 30 490 090 4 PxFF 3 00 201 201 0 01 x xx f xFxxx x 其它 1515 设随机变量 的分布函数为 0 0 0 1 x xe xF x 求 1 2 P 2 3 P 3密度函数 xf 解解 2 1 2 2 1 PFe 3 2 3 1 3 13 PPFe 0 3 0 0 x ex f xFx x 1616 设随机变量 的概率密度为 其它 0 212 10 xx xx xf求 的分布函数 xF 解解 x RxdttfxF 当0 x 时 00 xx F xf t dtdt 当01x 时 2 0 0 0 2 xxx F xf t dtdttdt 当12x 时 01 2 01 1 0221 2 xx F xf t dtdttdtt dtxx 当2x 时 012 012 0201 xx F xf t dtdttdtt dtdt 即 2 2 0 0 1 01 2 1 21 12 2 1 2 x xx F x xxx x 1717 设 2 2 3 N 求 25 2 3 PPP 解解 53231 25 521 222 PFF 0 84130 30850 5328 2 1 2 1 22 122 232315 11 2222 1 0 30850 00620 6977 33 3 1 3 131101 0 50 5 2 PPPFF PPF 1818 测量某距离的误差 2 20 0 N 以米为单位 使求一次测量的误差绝对值不超过30 米的概率 解解 030030 30 3030 2020 PFF 1 51 50 06680 93320 8664 1919 设随机变量 具有如下的概率分布 10 P pq 其中1 qp 求 n 的概率分布 n为正整数 解解 n 10 P pq 2020 设随机变量 具有如下的概率分布 2 1 01 P 6 1 3 1 6 1 3 1 求 11 1 122 2 2 的概率分布 解 1 1 012 P 6 1 3 1 6 1 3 1 2 21 93 313 3 P 6 11 36 1 3 1 2 21 13 39 P 6 12 36 1 2121 设随机变量 的密度函数为 xf 求 3 的概率密度 解解 3 33 FyPyPyPyFy 两端关于y求导得 3 221 3333333 11 0 33 yyy fyFyFyFyyfyyyf yy 2222 设 1 0 N 求 121 2 的概率密度 2的概率密度 解解 1 22 1 21 2 y FyPyPyP 当 1 0 1 2 y y 即时 2 1 2 y 为不可能事件 故 0 0 yFyfPyF 当 1 0 1 2 y y 即时 2 1 2 2 1 2 111 222 t y y yy FyPedt 故 2 22 1 1 0 2 2222 1 1 0 2 2 11 22 t y ytt y y y y fyFyedtedtedt 22 22 11 22 11 222222 00 1111 4444 1111 2222 111111 22 212 2122121 yy yytt yy y yyyy yy edtedtee eeee yyyy 当 1 0 1 2 y y