第二章概率论与数理统计东华大学出版 答案.doc

第二章 离散型随机变量及其分布律第二节 一维离散型随机变量及其分布律习题Page 551、 一个口袋里有6只球，分别标有数字-3、-3、1、1、1、2，从中任取一个球，用表示所得球上的数字，求的分布律。解答：因为只能取-3、1、2，且分别有2、3、1个，所以的分布律为：-3122/63/61/62、 在200个元件中有30个次品，从中任意抽取10个进行检查，用表示其中的次品数，问的分布律是什么？解答：由于200个元件中有30个次品，只任意抽取10个检查，因此10个元件中的次品数可能为0、1、2到10个。当次品数为时，即有个次品时，则有10-个正品。所以：的分布律为：。3、 一个盒子中有个白球，个黑球，不放回地连续随机地从中摸球，直到取到黑球才停止。设此时取到的白球数为，求的分布律。解答：因为只要取到黑球就停止，而白球数只有个，因此在取到黑球之前，所取到的白球数只可能为中的任意一个自然数。设在取到黑球时取到的白球数等于，则第次取到是黑球，以表示第次取到的是白球；表示第次取到的是黑球。则的分布律为：。4、 汽车沿街道行驶，要通过3个有红绿灯的路口，信号灯出现什么信号相互独立，且红绿灯显示时间相等。以表示该车首次遇到红灯前已通过的路口数，求的分布律。解答：因为只有3个路口，因此只可能取0、1、2、3，其中表示没有碰到红灯。以表示第个路口是红灯，因红绿灯显示时间相等，所以，又因信号灯出现什么信号相互独立，所以相互独立。因此的分布律为： ，。 5、 一实习生用同一台机器制造3个同种零件，第个零件是不合格品的概率为。用表示3个零件合格品的个数，求的分布律。解答：因为利用同一台机器制造3个同种零件，因此可认为这3个零件是否合格是相互独立的，以表示第个零件是合格的，则。因表示零件的合格数，因此的分布律为：，。6、 设随机变量的分布律为，式中为大于0的常数。试确定常数的值。解答：因如果是随机变量的分布律，则应该满足如下两个条件：1、对任意的，因此可得；2、，所以可得。7、 设在每一次试验中，事件发生的概率为0.3，当发生次数不少于3时，指示灯发出信号。（1）若进行5次独立试验，求指示灯发出信号的概率；（2）若进行7次独立试验，求指示灯发出信号的概率。解答：因为进行的是独立试验，所以如进行次试验，则事件在次试验中发生的次数服从参数为和的二项分布。因为当在次试验中发生次数不少于3时，指示灯发出信号。因此，。第一小题中的等于5，第二小题中的等于7。计算即可。8、 某交换台有50门分机，各分机是否呼叫外线相互独立，在单位时间内呼叫外线的概率都是10%，问在单位时间内至少有3门以上的分机需要外线的概率是多少？解答：同上一题，因为各分机是否呼叫外线相互独立，因此在单位时间里呼叫外线的分机束缚从参数为50和0.1的二项分布。所以所求的概率等于 。9、 把一个试验独立重复地做次，设在每次试验中事件出现的概率为，求在这次试验中至少出现一次的概率是多少。解答：同上一题，次试验中出现的次数服从参数为和的二项分布。因此，所要求的概率等于。10、 甲乙两选手轮流射击，直到有一个命中为止，若甲命中率为0.6，乙命中率为0.7，如果甲首先射击，求：（1） 两人射击总次数的分布律；（2） 甲射击次数的分布律；（3） 乙射击次数的分布律。解答：因为轮流射击，直到有一个命中为止，且由甲首先射击。因此可以看到，如果由甲射中，则总的射击次数应为奇数，乙比甲少射一次，而由乙射中的话，则甲、乙两人射击次数相同。且可以知道，乙可能没有射击。而由题意可知，每次是否射中是相互独立的。令表示甲第次射击时射中，则（）；令表示乙第次射击时射中，则。由此可知：（1），（2） + （3） 。11、 一电话交换机每分钟收到的呼叫数服从的泊松分布。求（1）一分钟内恰好有8次呼叫的概率；（2）一分钟内呼叫数大于9次的概率。解答：因每分钟受到的呼叫数，因此，而 =0.008132。（查表得到）12、 某路口有大量车辆通过，设每辆车在高峰时间（9点10点）出事故的概率为0.001，设某天的高峰时间有500辆车通过，问出事故的车数不少于2的概率（利用泊松定理来计算）。解答：可以认为每辆车是否出事故是相互独立。则该天高峰时间车事故的车数，因较大，而较小，因此可利用泊松定理近似计算，则令，即近似认为。即，查表可得等于0.090204。13、 设车间内每月耗用某种零件的数量服从参数为3的泊松分布。问月初要备该种零件多少个才能以0.999的概率保证当月的需要量？解答：因每月耗用零件的数量，要保证当月的需要量，则要求当月的耗用量小于等于月初所备的零件数，也就是，查表可得。14、 设服从泊松分布，且，求。解答：因，即，由此可得，所以。15、 设服从参数为的泊松分布，即，求使得达到极大值的，并证明你的结论。解答：因,因此如果，则，而若，则。所以，若存在正整数使得，则取得最大；而若存在正整数，则与同时达到最大。16、 设随机变量，若，求。解答：因，所以，由此可得。所以。17、 设有10个同类元件，其中有2只次品。装配仪器时从中任取1只，如果是次品则扔掉重新任取一只。如再是次品，继续扔掉再任取一只。试求在取到正品前已取出的次品数的分布？解答：因其中只有2只次品，所以取到正品前已取出的次品数只可能取0、1、2，因此的分布律为。第三节 二维离散型随机变量及其分布律习题Page 621、 设二维随机变量可能取的值为，相应的概率为。（1） 列表表示其联合分布律；（2） 分别求出和的边缘分布律；（3） 分别求在和条件下的条件分布律；（4） 求。解答：由题意可得二维随机变量的联合分布律及和的边缘分布律为：-102001/61/45/121/31/1201/61/411/3001/35/121/65/121（3） 条件概率的定义得：，；，。（4） 。 2、 在一个盒子中放6只球，上面分别标有号码1、1、2、2、2、3，不放回地随机摸2只球，用和分别表示第一个与第二个球的号码。（1） 求的联合分布律；（2） 求在条件下的条件分布律；（3） 问与是否独立？为什么？（4） 把摸球从不放回改成放回抽样，问此时与是否独立？解答：（1）的联合分布律为：12312/306/302/3026/306/30（注）3/3032/303/300注：。（2），因此，在条件下的条件分布律为：1232/52/5（注）1/5注：。（3）因为，所以与并不独立。（4）当从不放回改成放回抽样时，因第二次摸到什么球与第一次毫无关系，因此由题意即可得知这两个随机变量是相互独立的。3、 用和分别表示某地区一天内新生婴儿的人数和其中的男孩人数，设和的联合分布律为。（1） 试求与的边缘分布律；（2） 求条件分布律和解答：显然由题意可知，男婴数不可能大于新生婴儿数，所以：（1） ， ；（2） ，。4、 设二维随机变量的联合分布律如下表所示，问表中取什么值时，和独立。12311/61/91/1821/3xy解答：由二维随机变量的联合分布律及随机变量的独立性条件可知：，得：，验证可知正确。5、 甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6和0.7。今各投3次，求（1） 两人投中次数相等的概率；（2） 甲比乙投中次数多的概率；（3） 写出它们的联合分布律。解答：以表示甲投中的次数、表示乙投中的次数。由题意，假设每次是否投中是相互独立的，则可得的联合分布律为：012300.0017280.0077760.0116640.00583210.0120960.0544320.0816480.04082420.0282240.1270080.1905120.09525630.0219520.0987840.1481760.074088其中：。由此可得： 。第四节 离散型随机变量函数的分布律习题Page 661、 设的分布律如下表所示，试求（1）+2；（2）；（3）的分布律。-2-1/20241/81/41/81/61/3解答：-2-1/20241/81/41/81/61/303/2246-4-1/40-4-1699/4119由此得到：（1）的分布律为：03/22461/81/41/81/61/3（2）的分布律为：-4-1/40-167/241/41/81/3（3）的分布律为：19/497/241/411/242、 设与独立，,求+的分布律。解答：因与独立，则 ，即。3、 相互独立，都服从0-1分布，其分布律为，求证：。解答：因为相互独立，都服从0-1分布，因此的可能取的值为，事件=，由此对任意， ，即。4、 设的联合分布律同第二章第三节中第2题，求（1）；（2）；（3）的分布律。解答：因为的联合分布律如下表：12312/306/302/3026/306/303/3032/303/300因此：（1）的分布律为：23452/3012/30（注）10/306/30注：。（2）的分布律为：24610/3015/30（注）5/30注：。（3）的分布律为：-3-2-10122/306/302/3015/30（注）2/303/30注：。5、 设的联合分布律如下表所示，01234500.000.010.030.050.070.0910.010.020.040.050.060.0820.010.030.050.050.050.0630.010.020.040.060.060.05（1） 求在条件下的条件分布律；（2） 求的分布律；（3） 求的分布律；（4） 求的联合分布律；（5） 求的分布律。解答：（1），0123451/262/264/265/266/268/26注：。（2）的分布律为：123450.040.160.28（注）0.240.28注：。（3）的分布律为：01230.280.300.25（注）0.17注：。（4）的联合分布律为：012345000.020.040.060.070.09100.020.070.07（注）0.060.082000.050.090.050.0630000.060.060.05注： 。（5）的分布律为：123456780.020.060.130.190.24（注）0.190.120.05注：。6、 设随机变量独立，分别服从参数为与的泊松分布，试证：解答：，且与相互独立，所以（例2.13）：。因此： ，。复习题Page681、 掷两粒骰子，用表示两粒骰子点数之和，表示第一粒与第二粒点数之差，试求和的联合分布律，并讨论与是否独立。解答：以表示第一粒骰子的点数、表示第二粒骰子的点数，则由题意可知随机变量和相互独立，且。则和的联合分布律为： 。它们的联合分布表如下表：-5-4-3-2-10123452000001/3600000300001/3601/36000040001/3601/3601/360005001/3601/3601/3601/3600601/3601/3601/3601/3601/36071/3601/3601/3601/3601/3601/36801/3601/3601/3601/3601/3609001/3601/3601/3601/3600100001/3601/3601/360001100001/3601/36000012000001/3600000由随机变量独立性的定义可知，和相互不独立。2、 设相互独立，可取任意非负整数值，试求：和。解答：因相互独立，则。 。3、 在盒子中有只球，分别标上号码，现有放回地随机摸次球，设是次中得到的最大号码，试求的分布律。解答：令表示第次摸到球的号码，则可得。由题意可知每次摸到什么号码是相互独立的。而事件 。即 。4、 设在贝努里试验中（成功的概率为），直到第次成功出现就停止试验，到此时为止所进行的试验次数为，求证：。解答：假设到第次成功时已进行的试验次数为，则我们可以知道，在第次试验是成功的，并且在前试验中有次试验是成功的、有次试验是不成功的，但显然的是：这次成功的试验可以发生在前试验中的任意次。并且由于每次试验是相互独立的，因此，我们可得。5、 作5次独立重复试验，设，已知5次中至少有一次不发生。求发生次数与不发生次数之比的分布律。解答：以表示在5次独立重复试验中发生的次数，则。已知至少有一