数理统计答案(杨虎等)习题二.pdf

数理统计答案 习题二 第 1 页 习题二习题二 参数估计 参数估计 1 解 矩估计 13 4 0 1 0 2 0 9 0 8 0 70 7 66 X 11 1 11 lnln 1 ln nn n ii ii n i i Lxx Lnx 1 2 1 lnln0 1 10 2112 ln n i i n i i dn Lx d n x 3077 0 1 21 2 1 2 1 1 1 1 0 1 0 2 1 X X X x dxxEX 所以 12 1 1 2 1 1 ln n i i Xn X X 12 0 3079 0 2112 2 解 1 3077 02 2 1 XXEX 1 11 ln0 n n i L n L 无解 依定义 2 1 max i i n X 2 矩法 2 11 1 2 0 472 212 EXDX 极大似然估计 22 1 1 0 1833 212 EXDX 数理统计答案 习题二 第 2 页 3 1 解 矩法估计 1 11 EXX X 最大似然估计 1 11 lnln n i ii nnx xn i ii LeeLnLx 2 1 1 1 ln0 n in i i i dnn Lx dX x 2 解 XP 矩估计 XXEX 1 最大似然估计 1 lnln i xnx n n i i ii LeeLnnxx xx 2 ln0 dnx LnX d 3 解 矩估计 2 212 baab EXDX 联立方程 2 2 2 2 2 1 3 2 3 aXM bXM ab X ba M 极大似然估计 依照定义 11 min max ii i ni n aX bX 4 解 矩估计 0 0 lnEXdxx x 不存在 22 11 1 lnln2ln nn n i ii ii LLnx xx 数理统计答案 习题二 第 3 页 ln0 n L 无解 故 依照定义 1 X 5 解 矩法 0 1 2 xt x EXedxt e dt X 2222 0 1 2 2 3 t EXte dt 22222 2 1 22 i MX n 2 22 2222 2 11 1 i MXXXM n XMM 即 22 2 2 11 11 11 nn ii ii XMXXXMXX nn 极大似然估计 1 111 exp lnln i n xn i n LenxnLnnx 2 ln0 ln 0 nnn LLx 无解 依定义有 1 1 LL XXXX 7 解 矩法 22 22 322 2 3 000 4222 2 xx t xxx EXedxedte dtX 2 M X 极大似然估计 2 2 22 2 2 33 11 44 i i xn x nn i ii ii x Lexe 数理统计答案 习题二 第 4 页 2 2 2 lnln43 lnlnln i i x Lnnnx 2 2 3 32 ln20 3 i Li x n Lx n 8 解 矩法 22 2222 22 220 22 222 223 0 1 1 1 1 1 1 122 1 xxx xxx x x dd EXx x dd dd qX dqdqq 2 M X 极大似然估计 2222 1 1 1 1 1 ln2 ln 2 ln 1 ln 1 i n xnnxn ii i i Lxx Lnnxnx 222 ln0 1 L nnxn L X 4 解 11 1 12 1 12 1 1 ln ln 1 ln 1 nn ii iiii yyn yy n n i n L p y yypppp L p y yynypnyp 12 0 1 n ypd L p y yyn dppp p Y 记 00 1 0 iiii yxa yxa 则 1 i YBp 5 解 1 lnln i n xnnx i LeeLnnx 7 1 1120000 ln0 20 10001000 i i i dn LnxXxv dX 数理统计答案 习题二 第 5 页 1 0 05 X 6 解 因为其寿命服从正态分布 所以极大似然估计为 22 1 1 n i i xx n 根据样本数据得到 2 997 1 17235 811 由此看到 这个星期生产的灯泡能使用 1300 小时的概率为 0 7 解 由 3 2 知 150 1 42 310 220 117 0 X L 所以平均每升氺中大肠杆菌个数为 1 时 出现上述情况的概率最大 8 1 解 0 95 0 95 0 95 0 95 xA p xAp A AU 0 95 xA UX 2 解 22 xS 1 2 2 1 1 x u nS n 0 95 0 95 A AuSX S 9 解 由极大似然估计原理得到 44 111 1 36104976 20 30 p pp 当时 当时 当时 1 10 解 应该满足 1212 0 1 11 max max 0 1 nn nnii ii L x xxL x xxf xf x 数理统计答案 习题二 第 6 页 0 1 0 5 1 1 max 1 2 n n i i x 结果取决于样本观测值 12 n x xx 11 解 22222 11 11115 6336918 ED 2 234 52E 22 331 141 4164 EDD 12 无偏 3 方差最小 所以 231 DDD 12 1 解 2 1 2222222 11 1 1 12 1 2 2 1 2 1 n iiii i EE k n xxxxnn kk 2 1 kn 2 1 2 11 0 n k kk i iii x nn yxxxN nnn 令 2 2 2 1 2 1 1 2 2 1 x n n i xn E yedx nn n kn 13 解 2 222222222 E XcSEXcESDXE Xcc n 1 c n 数理统计答案 习题二 第 7 页 14 证明 1 1 11 nn kk kk ikk i iiii xy nn xxyyxy nnnn 2 1 1 1 1 2222 1 1 1 nnnn kikikk kk ikk ikk ikk i ii ny xnx yxy n x y nnnn 22 22 2 1 1 2 1 1 2 1 1 ii nn E xxyyExyExEy nn nExynnExEynn ExyExEy nnn 1 1 1 cov 1 nn EZnExyExEyExyExEyX YZ nnn 15 1 解 2 22222 11 111 111 nn iii ii ESEXXEXnXEXnEX nnn 2 2222 1 1 nn nn 2 S 是的 2 无偏估计 2 解 2 2242224 2 122 2 1 11 n DSnDSE SDS nn 2 22222224 111 2 2 22222224 222 21 2 1 n E SD SE S n E SD SE S n 可以看出 2 22 2 E S 最小 16 解 1 11 1 00 11 1 00 4 43 1 1 3 44 1 1 31 nn nn xxn E Xndxttdt n ttdtttdt n 1 1 00 44444 333331 nn nn xxnn EXEXndxt tdt n 数理统计答案 习题二 第 8 页 1 3 44 n EXEX 2 1 2 222 222 1 00 1111 3 13 1 3 35210 xx EXdxtt dt 2 1 2 22422 00 13 333 55 n xx EXdxt dt 22 222 1 1 1 1 3 41616 16 10165 D XDXEXE X 2 2222 1 4161616 393 4 3999 516155 nnnn DXDXEXE XD X 4 3 n X比较有效 17 解 2 12 2 2DD 1 12212121221 11E cccccccccc 2 222222 1 1221211 2221D cccccc 2 22 1111 121 21321min 212 1 2 333 cccc ccc 18 解 1 1 i x n nnx i ii Lee xx lnlnln i Lnnxx ln dnxnn LnxcEXEX d TX 是有效估计量 1 DT cn 19 解 11 1 L lnln 1 ln ii n nnn i i xxLnx 数理统计答案 习题二 第 9 页 111 lnlnln ln iii dn LxnxTx dnn 111 111 0 000 1 lnlnlnln i EXx xdxxdxxxxdx 1 ET 注意 1 0 1 1 ln ln0 x x xxx xx T 是有效估计量 2 2 1 1 g DT cnn 20 1 解 1 1 1 1 lnln ln 1 i n xnnx n i LppppLnpnxnp 1 ln 11 dnnxnn LxTX dppppp 11 111 1 p 1 p nn kkk kkk d EXEXkppkpq dq 2 0 11 1 n k k ddp pqp dqdqppp 2 T 是有效估计量 1 n c p p 22 2 1 1 1 p 0 n c p g pgp I pDT npcnp DXq DX nnp TX 是相合估计量 21 解 1 lnln 11 i n n xnx i L lnln lnln1lnLnnx 数理统计答案 习题二 第 10 页 ln1 ln ln11 ln dnnnx Lx dn ln1 1 ln TX g 1 11 2 00 0 lnlnlnln1 111ln1 ln ln xx xx xx EXEXdxxdx T 是有效估计量 22 1 解 1 1 11 22 lnln n ln 1 xixi n xinxi i L Lxixi n 1 ln 1 1 n 1 T xixi dn Lxi d xi n 2 11 0011 101 22 ExiE xi E xi nn 所以 11 ExiE xi nn T 是有效估计量 3 nc 1 c 1 1 I n 1 1 DT0 n c n 所以 T 也是相合估计量 23 解 111 222 1 12 120 9772 22 0 045610 9544 cuuu n p 24 解 数理统计答案 习题二 第 11 页 0 950 95 2 1250 95 1 65 151 753 2 Xt n 16 s 0 0171 0 1 1 0 950 95 0 010 01 1 0 01 2 1209 2 1291 1616 XbaX 0 950 95 0 01710 0171 2 152 1175 152 1325 1616 XtbXt 所以 1 1 1212 129 2 2 115 2 135 25 解 0 95 2 7050 975 152 131 2 Xt n 16 s 0 029 0 05 1 0 9750 975 0 0290 029 152 6896 152 7204 1616 XtbXt 所以 2 6895 2 7025 26 解 2 2 1 2 2 11 22 2 22 4lcnn lln 27 解 0 975 1 96 6 5 43 42 5 88 3457 35cnnn n n 28 解 lnYX 服从 1 N 正态分布 按照正态分布均值 的区间估计 其置信 区间为 1 2 Yu 由题意 从总体 X 中抽取的四个样本为 12 ln0 50 69314718 ln1 250 22314355yy 34 ln0 80 22314355 ln20 69314718yy 其中 0 975 4 1 1 96 0nuY 代入公式 得到置信区间为 0 98 0 98 2 Y EXEe 1 YN 得到置信区间为 11 0 980 980 481 48 22 eeeeee 29 解 2626 AB 12 0 14125 0 1392 8 2510 5 2 10 4 5 0 05 xySS nn 26 WW0 975 6 57 10 0 00255 7 2 365 0 0022 0 0063SStab 数理统计答案 习题二 第 12 页 所以 0 0022 0 0063 30 解 22 AB12 0 5419 0 6065 10 0 05SSnn 22 AA 22 BB 0 9750 025 0 2217 3 6008 9 9 9 9 SS SS ab FF 所以 0 2217 3 6008 31 解 0 9750 025 22 22 1 1 11 9 0 05 7 431 21 0722 8 8 nSnS Snab 32 解 604 0 5714 0 05 1057 pX 0 9750 975 11 44 0 4763 0 6665 77 11 XXXX ab nn 所以 7 431 21 0722 33 解 设 11 nn xxxXXX 先验分布密度 2 2 1 2 y h ye 当y 时 样本的概率密度分布为 2 2 1 1 2 2 11 11 22 n i i i xy nnxy n i ii f x yf x yee 关于参数 的后验分部为 22 2 1 2122 i xynnxy y n h y f x y y xh y f x yeee g x 的后验分部为 1 11 nx xN nn 关于 的 Bayes 估计量 1 nX n 34 解 设 11 nn xxxXXX 先验分布密度 he 数理统计答案 习题二 第 13 页 当y 时 样本的概率密度分布为 11 1 i xnx nn n in ii i i i f x yf x yee x x 关于参数 的后验分部为 1 1 1 nx nnnx n i i h y f x y y xh y f x yee g x x 的后验分部为 1 xnXn 关于 的 Bayes 估计量 1 nX n 35 解 设 11 nn xxxXXX 先验分布密度 11 1 22 1 h p 当py 时 样本的概率密度分布为 1 11 1 1 i nn xnnx n i ii f x yf x ypppp 关于参数p的后验分部为 12 1 nnx n pp 这是因为 12 1 1 nnx n h y f x y y xh y f x ypppp g x 的后验分部为 12 p xn nXn 关于p的 Bayes 估计量 1 12 n p nX 36 解 1 1010 11 101010100 10 1101010 111 1 1 ii iiiiii xx xxxx i iii L p xxf x pC ppppC 1 1010 10 10 10 ln 0 1 1 n dxxxp L p xx dppppp 数理统计答案 习题二 第 14 页 解出 1 1 10 TX 100 10 1 101 c p g ppp I p np 2 设 11 nn xxxXXX 先验分布密度 1h p 当py 时 样本的概率密度分布为 110 10 11 1 1 iii nn xxxnxn nx i ii f x yf x yC yyyy 关于参数 的后验分部为 10 1 nxn nx h y f x y y xh y f x yyy g x 01y p的后验分部为 1 101 p xnXnnX 关于p的 Bayes 估计量 2 1 102 nX Tp n 3 比较估计量 12 T T 有 1 11 10100 D TDXD X 当10n 时 2 110 102102 nX D TDD X n 1 D T 所以 T2优于 T1 数理统计答案 习题二 第 15 页 第二章第二章 常用统计术语常用统计术语 1 statistic inference 统计推断 2 parameter statistical inference 参数统计推断 3 parametric assumption 参数假定 4 point estimate 点估计 5 interval estimation 区间估计 6 method of mome