第五章_置换群与酉群.doc

第五章 置换群与酉群5.1 n阶置换群Sn【定义5.1】 （置换）将n个数字1，2，n的排列映为排列，称为一个n阶的置换，记为s, 。置换s把a1换为b1，a2换为b2，an换为bn，它决定于诸双数码的对换，与诸对数码的排列顺序无关。【定义5.2】 （置换群）定义两个置换r，s的乘积rs为先实行置换s，再实行置换r，则在此乘法下所有n阶置换作成的集合，构成一个群，称为n阶置换群或对称群，记为Sn。单位元：恒等置换。逆元：，置换的乘法满足封闭性和结合律，Sn群的阶为n！。【定义5.3】 （轮换）一种特殊形式的置换：称为轮换，记为，轮换数码的个数m称为轮换的阶。系1 轮换内的数码作轮换，仍表示同一个轮换，即：。系2 两个轮换和若没有公共数码，则称它们相互独立；相互独立的轮换之间的乘积满足交换律，即： 系3 任意的n阶置换总可以分解为相互独立轮换的乘积。例如：（1 4 5）（2）（3 6）=（1 4 5）（3 6）=（1）（2）（n）一阶的轮换将自身映为自身，可略去不记，故S0=（1）=（2）=（n）。系4 轮换的逆：（e1 e2 em）-1=（em em-1 e2 e1）系5 2阶轮换（e1 e2）称为对换，任一m阶轮换可以写为（m-1）个对换的乘积。如： 一般地有：。由于诸对换因素有相同数码e1，故它们的乘积不可交换。系6 任意对换（a a+k）满足递推关系：（a a+k）=(a+1 a+k) (a a+1) (a+1 a+k)证明：右边 = 左边。系7 由系3、系5、系6可知，任意置换可以写为相临数码对换的积。例如=（1 4）（1 3）=（2 4）（1 2）（2 4）（2 3）（1 2）（2 3）=（3 4）（2 3）（3 4）（1 2）（3 4）（2 3）（3 4）（2 3）（1 2）（2 3）一般地：（a a+k）=（a+1 a+k）（a a+1）（a+1 a+k）=（a+2 a+k）（a+1 a+2）（a+2 a+k）（a a+1）（a+2 a+k）（a+1 a+2）（a+2 a+k）定理5.1 具有相同轮换结构的置换构成Sn群的一个类。证明：两个置换具有相同轮换结构是指它们包含相个数的轮换因子，并且各轮换因子中数码个数也分别相同。 共轭置换具有相同轮换结构:，, , 有： s的共轭元由t对s中上下两行数码同时作t置换得到。当s为无公共数码轮换的积的形式时，的轮换形式由t对s的每个轮换因子中的数码作置换得到。假设置换s有k个独立轮换因子si, i=1,2,k构成，s=s1s2sk , 则共轭tst-1= ts1t-1ts2t-1tskt-1。考察t对一个轮换因子si的共轭运算，假设：，在t的变换下，si的第一行假设被变换为（t1 t2 tm-1 tm），则其第二行必变换为（t2 t3 tm t1），于是，仍然是同阶的轮换，它由t对si的中的数码做置换得到。故tst-1通过t对s中的轮换数码做置换得到，两者具有相同的轮换结构。如：，有：。 具有相同轮换结构的置换相互共轭：若s，具有相同轮换结构：，则存在，有r = tst-1。由，知具有相同轮换结构的置换构成Sn群的一个类。系1 Sn群的一个类可用轮换结构（v）来表示，即该类由独立的v1个1阶轮换，v2个2阶轮换，vn个n阶轮换。v1，v2，vn为非负的整数，满足：系2 Sn群中的类（v）的元素个数为：，这是因为： l阶的一个轮换有l种写法：，vl个l阶轮换共有种写法； vl个l阶轮换有vl！种不同的排列。系3 Sn群的类常用来描述，其中：，显然：，且。，一般地。称为n的一个分割，Sn群中共轭类的数目等于n的分割个数；两个分割，如果第一个非零差，则称大于，记为。系4 n的一个分割或Sn群的一个类经常用杨图来表示：杨图是n个小方格的排列，排列方式为第一行、第二行、第n行各由个小方格组成，杨图第一列的小方格上下对齐。例5.1 S3群的类分割：3，2 1，1 1 113，杨图为：分别对应（13 20 30），（11 21 30），（10 20 31）。S4群的类分割：4，3 1，2 2，2 1 1，1 1 1 1，5个类对应的杨图：对应（14 20 30 40），（12 21 30 40），（10 22 30 40），（11 20 31 40），（10 20 30 41）。一个杨图若可以由另一个杨图的行列互换得到，则称该二杨图相互共轭；若一个杨图行列互换而杨图不变，则称它自轭。5.2 杨盘及其引理【定义5.4】 （杨盘）将数字1，2，n分别填到Sn群杨图的n个小方格中，这样的杨图称为杨盘。S6的杨图3 2 1的两个杨盘Ta和Tb：系1 由一个杨图可以得到n!个杨盘。系2 杨盘中的数字可用其所在的行和列即（i，j）确定。系3 同一杨图的不同杨盘Ta和Tb，可通过一置换相互转换。将杨盘Ta和Tb中的n个数码从左到右、从上到下排成有序列：，则将杨盘Ta变为杨盘Tb的置换。如S6的杨图3 2 1的两个杨盘Ta和Tb有：系4 由一个杨盘T可以定义行置换R(T)和列置换C(T)：R(T)：保持各行中数字在所在行中的全部置换p的集合p；C(T)：保持各列中数字在所在列中的全部置换q的集合qR(T)和C(T)显然为Sn的子群，它们有唯一公共元素s0；若杨盘T对应杨图为，则R(T)的阶显然为；C(T)的阶为杨图为杨图的共轭。系5 由行，列置换p，q可以定义算符P(T)和Q(T):，, 。P(T)和Q(T)显然为Sn的群代数中的元素。置换的奇偶性：奇（偶）置换：能分解为奇（偶）数个对换乘积的置换。阶为l的轮换的奇偶性与l1的奇偶性相同。系6 同一杨图的不同杨盘，其同构，同构。例5.2 S6的杨盘Ta对应的行置换R(T)和列置换C(T)： （(1)为恒等置换s0）。【定义5.5】 （杨算符）杨盘T的算符P(T)、Q(T)的乘积，定义为杨盘T的杨算符E(T)：显然。系1 若，且，则必有。证明：由，得而故必有，即。系2 由系1知杨算符E(T)为不同群元的线性组合，必有。下面介绍几个关于杨盘的引理，并证明上述定义的杨算符正是Sn的群代数的本质本原幂等元。引理5.1 设是由置换r相联系的杨盘，；如果置换s作用在T上，使得T（i，j）数字变到sT中的处，则使得中的（i，j）数字也变到中的处。证明：设分别为由杨盘的行数码从左至右、由上至下得到的n个数码的序列，由于，故有： ，由于等于r对s的上下行分别作置换，故必有：，比较置换r第二个等号的两边易知，若左边第i个数码ti在右边的位置为第j个数码，则左边与数码ti同列的数码在右边的位置也必然为j；故在对应的杨盘中发生变化的数码位置也相同，定理得证。例5.3 系1 设，则，。证明： 选定任意，p只引起T中同行数字置换，有只引起杨盘中同行数字置换，故。当p取遍R(T)中元素时，可得。实际上因为T，属同一杨图，R(T)，同构，为Sn的相互共轭子群。类似地可以证明：。故可得：，。以上结论给出了同一杨图的不同杨盘的杨算符之间的关系。引理5.2 设p和q分别是杨盘T的行列置换，则T中位于同一行的任意两数字不可能出现在的同一列中；反之，若，而T中位于同一行的任意两个数字不出现在的同一列，则杨盘T存在行列置换p，q，使得r = pq。 证明：1，令，。q为杨盘T的列置换，故为杨盘列置换。有，而列置换不能将中同一行的任意两数字变到的同一列，而，故的行数码与T的行数码相同（因为），故亦即T中同一行的任意两数码经p再经即pq作用后不能变到的同一列。2反过来，T中同一行任意两数码不出现在的同一列，亦即同列两数码处在T的不同行中，故总可以用行置换p对T作行置换使结果与的各列数码相同（上下次序可不同），进一步对作列置换，可使得与完全相同，即。另一方面，令，由 （因），故有。证毕。引理5.2是同一杨盘的一个结论，对于不同杨图的杨盘有引理5.3。引理5.3 设杨盘T和分别属于杨图，则存在两个数字位于T的同一行和的同一列。证明：设，意味着 第一个不等于0的。反证：设T中任两同行数码均在的不同列中，先看T，若其第一行的个数字的任两个均在不同列中，即个数字在的不同列中，则必须，而，故必有，且可对作列置换使结果和T的第一行数码相同（次序可能不同）；由于列置换不会使原来中同列的数字变为不同列（即同行），故仍有T中两任意同行数码均在的不同列中，故对于和T的第二行与第一行情形同理，有，如此进行下去，最后可得到，与题设有矛盾。定理得证。引理5.3是不同杨图的杨盘间的一个重要性质。 引理5.4 若有两个数字，位于杨盘T的同一行，又位于杨盘的同一列，则它们的杨算符满足：。证明：设数字a1, a2位于杨盘T的同一行又位于的同一列，则有对换，为Sn的子群，又为群Sn单位元，且t为奇置换，且由重排定理有：，则： 故有：。上式左乘，右乘Q(T)，有：, 即。系1 由引理5.3和引理5.4知，当为属于不同杨图，设，则有。引理5.5 设Sn群代数中的矢量，T为Sn的杨盘。若有，则与T盘的杨算子E(T)相差一个常数因子，即, 常数与有关。证明： 首先可证Sn中不能写成pq形式的群元s可以表示为psq形式，即s = psq，令，或。由于s不具pq形式，由引理5.2的逆反命题可知，至少存在两个数码a1，a2即位于T的同一行又位于的同一列。取，有；由于由引理5.1知，取，故有：。 由满足的条件有：，可定出的系数：is具有pq形式时，取上式最后一等号左边的s为so，左边求和中有，等号右边的pq项为：，由pq项系数相等，有；令，有；选取不同p、q可以得到所有具有pq形式的s群元的系数。ii当s不具pq形式时，可由上述的结论选取取，利用psq = s由上式可得：，即，而此时（因），故，有。综上两种情形，的系数。故：即，定理得证。引理5.6 杨盘T的杨算符E(T)是群代数Rsn的一个本质的本原幂等元，不变子空间RsnE是Sn群的一个不可约的表示空间，其维数为n！的因子。证明： ，有:,由引理5.5有：, 故若，则有E为本质幂等元。 可定出的取值情况：对于给定杨盘T，由于E（T）为幂等元，则存在与之对应的投影算符P，有，下边证明由算符P的迹可定出：i取Sn群元素s1, s2, s3, , sn为RSn的基底, 在此基下，变换P的对角元Pjj为： （令） = （令） = （E(T)在s0上的分量为1）故迹：.ii若取Rsn的基为：，其中为子空间RsnE的基（易验证RsnE为线性空间，因，f最小等于1）。在此基下变换P的对角元Pjj：A j = 1，2，f时： ；B时： （因，无上的分量）变换P的迹不随基的选取不同而不同，故迹，即杨算符E为本质幂等元。又的系数，故E2的系数亦必为整数，由知必为整数，故整数亦即子空间维数为n！的因子。 幂等元为本原幂等元：，有：。由引理5.5知：（与有关）。由本原幂等元判别定理知，为群代数RSn的本原幂等元，RSnE为Sn的不可约表示空间。系1 从一个杨盘T，可求出一个本原幂等元，从而得到Sn群的一个不可约表示。引理5.7 Sn群同一个杨图的不同杨盘给出的不可约表示是等价的，不同杨图的杨盘给出群的不等价不可约表示。证明：群代数是群元素算符的不变空间，对应群G的正则表示，考虑左正则表示L(g)。设有两杨盘，杨算符分别为，各对应不可约表示，相应表示空间为，。设，令。1杨算符对应的不可约表示等价的充要条件是，至少存在一个群代数RSn中的元素，满足（此论断对一般的群代数同样成立） 充分性：若，可定义映射：，可以证明P为一一映射：i满映射：令，可证为群不变子空间：，有： （因为，W为群不变子空间），即为群不变的子空间，由于，故：有即；由于为不可约表示空间，故必有iiP是单射：可证若，则，否则集合为群不变子空间，由于e不属于集合A（因为），故该集合A未充满W，由W是不可约表示空间知该集合A为零空间，即A。故：若，必有，否则有 ，与上述结果矛盾，故P为单射。由于存在一一映射P，存在逆映射P1，可得：，故 即，与等价。 必要性：由与等价可证存在。设有等价映射P，满足：任意，有，即。由于s为任意，故有，有：。定义，有（等价映射P的性质）则：由于，故有（因为幂等元对应不变子空间为）故，由，故有。必要性成立。2 当属同一杨图时，必存在，有，故有，此时有（否则E=0）。由上述1的结果知，对应的不可约表示等价。 当不属同一杨图：不失一般性，设，杨盘sT的杨算符为。由引理5.4，有，两边右乘s，即得。由于s任意，故不可能找到，使。因此不同杨图的杨盘给出不等价不可约表示。以上的七个引理总结得到以下定理：定理5.2 杨盘T的杨算符E(T)是群空间本质的本原幂等元，不变子空间E(T)给出Sn群的一个不可约表示；同一杨图的不同杨盘给出等价的不可约表示，不同杨图给出不等价不可约表示。置换群不等价不可约表示的数目等于杨图的个数。5.3 Sn群的不可约表示【定义5.6】 （标准盘）每行和每列的数字从左到右，从上到下都是逐渐增加的杨盘称为标准盘。系1 对杨图的标准盘，按各行数字大小进行排序，数字小的杨盘在前，大的在后。标准盘表示杨图的第i个标准盘。例5.4 S3群的标准杨盘： S4群杨图3 1的标准盘:定理5.3 杨图所对应的不可约表示的维数等于该杨图的标准盘的个数：, 其中gij为杨图的第i行第j列的“钩长”，等于杨图中以（i，j）格子为角顶的“直角尺”所包含的格子数目。如：S13的杨图6 4 3所对应不可约表示的维数为： = 6435系1 由勃恩赛德定理，有：例5.5 求Sn群的杨图的不可约表示。n只有一个标准杨盘。，为单位元，杨算符。根据重排定理有，故：，故表示空间（C为复数域），只有一个基，可以取为，故，为Sn的一维恒等表示。例5.6 求 群的杨图2 1对应的不可约表示。杨图2 1有两个标准盘，由其中一个标准盘如可得与之相应的二维不可约表示。不可约表示空间为：确定表示空间的2个基：用每个S3群元与相乘：；由以上结果可知表示空间的任何矢量可表示为和的线性组合，故以为基可得S3的一个二维不可约表示。如：（132）的矩阵元：故（132）的表示矩阵为：。表示空间的基可以有其他选择，如，由此可得到等价的不可约表示。以上求Sn群不可约表示的方法是从其杨图的任一杨盘出发，得到Sn群的一个不可约表示空间，其维数为杨图可作标准维盘的个数；任意选择不可约空间的个基，可得到Sn群的一个不可约表示。以上方法得到的表示一般不是酉表示。下面简要介绍求Sn群表示的半正则母单位方法和正则母单位方法，对相关的结论不作证明。这两种方法可以求出不可约表示的解析式。【定义5.7】 （标准盘系列）为群的Sn的一个标准盘，将中数码n所在格子删除得标准盘，将中数码n-1所在格删除得标准盘，如此一直进行到最后得到数字1的杨盘。标准盘，称为的标准盘系列。系1 不同的标准盘给出的标准盘系列不同。系2 由标准盘系列中各盘的杨算子可得相应本原幂等元：，它们分别为群代数的本原幂等元。系3 由标准盘系列中各盘的杨算子可定义算符， 。，为群Sn单位元。由判据，可以验证为群代数RSn的本原幂等元，且满足：正交关系：，且： 。例5.7 求S3群的所有标准盘及诸算符。由，有：， ； ；同样可求得其他本原幂等元。【定义5.8】 半正则母单位杨图的两个标准盘，存在，使，由算符和，可定义算符，并进一步定义半正则母单位：其中、由【定义5.7】系3定义，为n的任意分割。系1 ，且。系2 半正则母单位共有个，它们构成群代数RSn的完备基，任意，有：。【定义5.9】 半正则表示对于杨图，其个半正则母单位中；固定，构成不可约左正则表示的基； 又如固定，构成不可约右正则表示的基；且由这两种基得到的不可约表示相同，称为半正则表示。系1 当取遍所有杨图时，得到Sn群的所有不等价不可约表示。系2 群Sn的任意群元可以写为相临数码对换的乘积；由相邻数码对换其中的不可约表示矩阵，可以求出Sn群任意群元s的表示矩阵。系3 对换的表示矩阵的求法： 当处在的同一行时，对角元； 当处在的同一列时，对角元； 不在的同一行和同一列，则令，则此两杨盘相联系的矩阵元为：；。其中是中数字k-1到k的轴距离，定义为从k-1到数字k，凡是向左或向下数一方格为+1，向右或向上数一方格为-1。 不属以上三种情形时，。半正则表示不是酉表示，由下面介绍的正则母单位可以得酉表示。【定义5.10】 （正则母单位）对标准盘系列中各盘定义实数：其中vn为盘中最大数字即n-i所在的行序数，为数字n-i与盘中第v行最后一个（或最大）数字的轴距离。若n-i位于第一行，则定义。由，对标准盘定义实数：，并进一步定义正则母单位：。系1 正则母单位满足：，且n！个构成群代数RSn的完备基，即：，【定义5.11】 （标准表示）杨图的个正则母单位中，固定下标构成不可约左正则酉表示的基；固定构成不可约右正则酉表示的基；由这两种基得到的酉表示相同，称为Sn群的标准表示，记为。系1 当取遍所有杨图，得到Sn的所有不等价不可约酉表示。系2 相临数码的对换的表示矩阵的矩阵元取法： 当在标准盘的同一行时，； 当在的同一列时，； 不在的同一行和列，设，是k-1到k在中的轴距离，则：，； 其他情形： 。例5.8 求S3群的杨图21对应的标准不可约酉表示。21有两个标准盘：（12）的矩阵元：（轴矩在为-1，在上为+1），；故（23）的矩阵元：2到3的轴矩在上为+2， 2到3的轴矩在上为-2，故：， 表示矩阵为：。练习：求S4群的群元（23）在杨图31对应的标准表示中的表示矩阵。结果为：5.4 U(m)群和SU(m)群的不可约表示【定义5.12】 (酉群U(m) )在矩阵乘法下，m维复线性空间中的所有酉矩阵，构成一个无限群，称为m维酉群，记为U(m)，即 。系1 任一m阶酉矩阵u，总可以找到一个m阶酉矩阵v使之对角化，即。故酉群U(m)的一个类可由对角矩阵来标记，其中。【定义5.13】 ( 特殊酉群SU(m) )酉群U(m)中所有其行列式为1的酉矩阵在矩阵乘法下构成一个群，称为m维特殊酉群，记为SU(m), 。无限群SU(m)是U(m)的子群。系1 SU(m)群的一个类由对角矩阵来标记，其中。【定义5.14】 （U(m)的n阶张量表示）U(m)是矩阵群，其本身即是自身的忠实表示，n个U(m)群的真积，也是U(m)群的表示，称为U(m)群的n个阶张量表示，记为,。系1 记U(m)的表示空间V，基为，则的表示空间，基为，共有个基。中任意向量可表为：，又称为中的张量，在个基底上共有个分量。【定义5.15】 （f级表示）设任意元素u的矩阵元为，若群的一个表示，群元u的表示矩阵B(u)中的每一个矩阵元都是u的矩阵元的f次整函数（即f个u的矩阵元乘积的线性组合），则称B为的一个f级表示。系1 的n阶张量表示是一个n级表示。【定理5.4】 群的所有n级不可约表示都包含在其n阶张量表示中。系1 中的所有不可约表示均是n级不可约表示；若为不可约不变子空间，则为在上的不可约表示。系2 若能将空间约化为其全部不可约不变子空间的直和，则可以得到群的所有n级不可约表示。由投影算符理论，若能找到上一组不能分解的、与表示可交换的投影算符，即可将约化为不可约的不变子空间的直和。下面我们可以看到，置换群Sn的正则母单位为Sn群的杨图，经过重新定义后正好可以构成群n阶张量表示的表示空间上的一组不能分解且与可交换的投影算符。【定义5.16】 （作为投影算符的正则母单位）设为Sn群的正则母单位，为酉群的n阶张量表示空间为的基；定义对中任意矢量：的作用为，记在基上的分量为，令，右边对的作用定义为中的诸置换对下标分别作用后求和，求和系数即为中诸置换的系数。例5.9 S3群的，。系1 可以证明算符与上的表示可交换，即，原来正则母单位的性质在新条件下同样适用：， （在置换群中求和为So，由于，故此时取1，为恒等算符）。由于是置换群代数空间的本原幂等元，作为酉群的n阶张量表示空间上投影出的子空间构成不可约表示子空间。系2 相同杨图的不同算符、的不可约子空间、通过等价交换相联系，它们给出的不可约表示、等价。系3 的不变子空间，当k m时为零空间，即作用于中的任意分量都为零。故中的不可约表示的数目少于等于Sn群不可约表示的数目。上的表