第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛复赛试卷详解.doc

一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1设P、Q为两个非空实数集合，定义集合，若P1，0，1，Q2，2，则集合PQ中元素的个数是A3B4C5D62对下列命题的否定，其中说法错误的是AP：能被3整除的整数是奇数；P：存在一个能被3整除的整数不是奇数BP：存在一个四边形的四个顶点不共圆；P：每一个四边形的四个顶点共圆CP：有的三角形为正三角形：P：所有的三角形不都是正三角形DP：3若，则下列不等式：ab|b| a1，mN*，且，则m等于A11B10C9D88把函数的图象按向量平移，所得曲线的一部分如图所示，则， 的值分别是A1，B1，C2，D2，9在直角三角形ABC中，C90，那么sinAcos2（45为A有最大值和最小值0B有最大值，但无最小值C既无最大值也无最小值D有最大值，但无最小值10已知x和y是正整数，且满足约束条件的最小值是A24B14C13D11.511下列函数既是奇函数，又在区间1，1上单调递减的是ABCD122002年8月，在北京召开了国际数学家大会，大会会标为右图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的一个小正方形拼成一个大正方形，若直角三角形中较大的锐角为，大正方形的面积为1，小正方形的面积为，则sin2cos2的值等于A1BCD二、填空题：（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）13一个算法如下：第一步：s取值0，i取值1 第二步：若i不大于12，则执行下一步；否则执行第六步 第三步：计算Si并将结果代替S 第四步：用i2的值代替i 第五步：转去执行第二步 第六步：输出S则运行以上步骤输出的结果为 14设向量，则的最小值是 15设的取值范围是 16等差数列有如下性质：若数列an是等差数列，则当时，数列bn也是等差数列；类比上述性质，相应地，若数列cn是正项等比数列，当dn 时，数列dn也是等比数列.三、解答题：本大题共6个小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17（本小题满分12分）在ABC中，角A、B、C所对边分别为a，b，c，已知，且最长边边长为l.求：（1）角C的大小；（2）ABC最短边的长.18（本小题满分12分）已知奇函数（1）求实数m的值，并在给出的直角坐标系中画出的图象；（2）若函数f（x）在区间1，|a|2上单调递增，试确定a的取值范围. 19（本小题满分12分）已知对任意实数a1，2恒成立；Q：函数有两个不同的零点.求使“P且Q”为真命题的实数m的取值范围.20（本小题满分12分）已知向量定义函数.（1）求函数g（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）的定义域；（3）求函数f（x）的单调递增区间.21（本小题满分12分）某跨国公司是专门生产健身产品的企业，第一批产品A上市销售40天内全部售完，该公司对第一批产品A上市后的国内外市场销售情况进行调研，结果如图1、图2、图3所示。其中图1的折线表示的是国外市场的日销售量与上市时间的关系；图2的抛物线表示的是国内市场的日销售量与上市时间的关系；图3的折线表示的是每件产品A的销售利润与上市时间的关系.（1）分别写出国外市场的日销售量f（t）、国内市场的日销售量g（t）与第一批产品A上市时间t的关系式；（2）第一批产品A上市后的哪几天，这家公司的国内和国外日销售利润之和超过6300万元。22（本小题满分14分）对于数列an，定义an 为数列an的一阶差分数列，其中（1）若数列an的通项公式的通项公式；（2）若数列an的首项是1，且满足，证明数列为等差为数列；求an的前n项和Sn参考答案一、ACBCDCBDABAD二、1336 14 15 1617（1）tanCtan（AB）tan（AB）（5分）（2）0tanBtanA，A、B均为锐角且BA又C为钝角，最短边为b（7分）由，解得（9分）由（10分）（12分）18（1）当 x0，（2分）又f（x）为奇函数，f（x）x22x，m2yf（x）的图象如右所示（6分）（2）由（1）知f（x），由图象可知，在1，1上单调递增，要使在1，|a|2上单调递增，只需（10分）解之得（12分）19由题设，当的最小值为3.要使对任意实数a1，2恒成立，只须|m5|3,即2m8（6分）由已知，得的判别式，得（10分）综上，要使“PQ”为真命题，只需P真Q真，即，解得实数m的取值范围是（12分）20（1）（3分）故函数g（x）的最小正周期（4分）（2）令f（x）的定义域是（8分）（3）当，确定f（x）的单调递增区间是；当确定f（x）的单调递增区间是（10分）综上，当a1时，函数f（x）的单调递增区间为当0a1时，函数f（x）的单调递增区间为（12分）21（1）， （4分）（2）每件A产品销售利润该公司的日销售利润（8分）当时，