站队问题.doc

站队问题例：现有7名学生按照下列条件站队，问各有不同的站法多少种？条件1：全部站成一列；【解析】条件1属于全排列问题，无任何条件限制，故总的站法有：种。条件2：站成两列，前排3名学生，后排4名学生；【解析】常规方法：先站好前排3名学生，故从7名学生中选3名，共有种站法，然后再将剩下4名学生安排在后排，共有种站法，故共有：种站法。 条件3：学生甲必须站中间；【解析】（特殊元素优先考虑）此问题分为两步：第一步先安排甲站在正中间，1种站法；第二步安排无条件限制的其他6名学生站剩下的六个位置，有种站法。故共有种站法。【补充】本条件中的“中间”是指正中间的一个位置，如果理解为除了旁边两个位置外,中间的其余5个位置，则总的站法有：种。条件4：学生甲和乙站两端；【解析】此时需要优先考虑的元素有两个，故第一步先将甲、乙安排在两端的两个位置，共有种站法，第二步安排无条件限制的其他5名学生站剩下的五个位置，有种站法。故共有：=240种站法。条件5：学生甲和乙不能站两端；【解析】此条件是在条件4的基础上改进的，此时需要优先考虑的元素仍有两个，故第一步先将甲、乙安排在除两端外的五个位置，共有种站法，第二步安排无条件限制的其他5名学生站剩下的五个位置，有种站法。故共有：=2400种站法。条件6：学生甲和乙至少有一人站两端；（排除法）：7人站队总的站法为种。其中甲和乙都不站两端的站法为：种。故甲和乙至少一人站两端的站法为：=2640种。条件7：学生甲和乙必须相邻；【解析】本题属于相邻问题，故采用捆绑法。先将甲和乙捆绑在一起，然后将他们看成一个人与剩下的5个人进行全排列，这样可以保证甲和乙始终在一起，而二者又有先后顺序，故捆法有种，总的站法有：=1440种。条件8：学生甲和乙不能相邻；【解析】本题属于间隔问题，故采用插空法。先将剩下的5个人进行全排列，然后将甲和乙插入5个人所形成的6个空，这样可以保证甲和乙始终不相邻，总的站法有：=3600种。条件9：学生甲和乙之间有1人相隔；【解析】本题属于相邻问题与间隔问题的综合应用，可以分三步来解决此问题，第一步先将甲和乙捆绑，共有种站法，第二步从余下5人中选一人插入甲和乙之间，只有种站法，第三步将有一人相隔的甲和乙这个组合看成一个人与剩下的4人进行全排列，共有种站法，故总共的站法为：种。条件10：学生甲在乙的左边；【解析】不妨从整体来认识这道题，当甲和乙参与排队时，甲如果不在乙的左边就会在乙的右边，而且在左或在右机会均等，故甲在乙左边的站法占总共站法的一半，共有种。条件11：其中的4个女生要互不相邻；【解析】本题的条件发生变化，特殊元素由两个变成四个，但仍然属于间隔问题，采用插空法：先将3个男生排队，共有种站法，然后将4个女生插入6个空隙中，共有种站法，故总共有：种站法。条件12：其中的4个女生只能有2人相邻；【解析】本题又是属于相邻问题与间隔问题的综合应用，先从4个女生中选2人捆绑，站法共有种，然后将3名男生全排的站法为种，最后将捆绑的两女生和另两个女生当成3个人插入3个男生形成的4个空位，有种站法，所以最后又种站法。条件13：其中的4个女生至少有2人相邻；【解析】本题属于解决“至少”问题，故可以用排除法，“4个女生至少有2人相邻”的反面是“4个女生都不相邻”，故总的站法为：种。条件14：其中的4个女生，3个男生也相邻； 【解析】本题实际上是应用两次捆绑法后在排序，先将男生和女生各自捆绑，共有种站法，然后再视其为一个男生和一个女生排队，有种站法，故共有种站法。条件15：其中的4个女生的顺序唯一；【解析】本题属于定序问题，通常用除法，所以总共有种站法。另外，可以这样理解：有7个空位，先将3个男生任意安排在其中3个位置，共有种站法。条件16：现有3名老师要站入7名学生已经站好的队伍中；【解析】本题属于逐步插空问题，首先将第一名老师插入7名学生形