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2010年河南理工大学数学建模课程论文姓 名位鑫论文题目航空公司的预订票策略学 号310809030308学院、专业计算机学院论文分数教师填写:题目：航空公司的预订票策略摘要本文研究的是机票预定价格和数量的预测及优化设计问题。在激烈的市场竞争中，航空公司为争取更多的客源而开展的一个优质服务项目是预订票业务,本模型针对预订票业务，根据实际情况，制定合理的预定策略需从经济利益最大化和社会声誉最好两方面来考虑。社会声誉可以用定了票来登机因飞机满员而不能起飞的乘客不超过某一给定值来衡量。这个问题可化为经济利益最大化为单目标来求解。假设公司的经济利益用机票收入扣除飞行费用和赔偿金后的利润来衡量；社会声誉用持票按时前来登机、但因满员不能飞走的乘客限制在一定数量为标准，转化成经济利益、社会声誉这两个目标的优化问题，再建立合理的模型，通过MATLAB软件对问题进行分析求解。最后通过模型改进对模型进行进一步优化。模型得到的结果是：航空公司发出的预定机票数量为316张经济舱票，22张头等舱票。关键词： MATLAB软件 模型转化 模型改进 订票策略 实际平均利润 一、问题的提出1.1背景航空公司对机票一般采取预定策略。电话或者互联网是航空公司为客户提供预定服务的两个渠道。机票的预定在为乘客出行提供方便的同时也给航空公司带来一定的不确定性。由于客户很可能由于各种原因取消预定，而该顾客已退还的机票并没有在飞机起飞前被卖出去，那么航空公司将蒙受损失。因此，航空公司要获得更大的利润，一方面要争取客户，另一方面要降低客户取消预定遭受的损失。为此，航空公司也采取了一些有效的措施。首先，要求客户在预定机票的同时提供信用卡号，并预付一定数量的定金。如果客户在飞机起飞前48小时内取消预定，那么定金将如数退还，否则定金将被没收。此举虽然在一定程度上减少了航空公司的损失，但是也增加了乘客在预定机票时的手续。另外，航空公司采用变动价格，根据市场需求情况调整机票价格，一般来说旺季机票价格比较高，淡季价格略低。同时，在旺季航空公司往往可以预定超过实际座位数的机票数，保证在客户取消预定时，航空公司还可以保证机舱满员。当然，超额的预定也就为超过座位数的客户出现提供了可能。这种情况下，航空公司可能要通过升级机票档次或赔款来解决纠纷，为此航空公司还会承担信誉风险。因此合理的预定策略，也是航空公司需要解决的问题。1.2需要解决的问题 在某航空公司某条航系一中机型有头等舱20座，经济舱300座的情况下，为该航线设计合理的预定策略，解决以预订票数量的限额时决策变量的以经济利益和社会声誉为两目标的优化问题。二、基本假设问题的基本假设1、如果头等舱坐满，多出的持头等舱预订票的乘客不能进入经济舱，只能等待下一班飞机并获得赔偿；2、预订票数量的限额为常数m(n)，每位乘客不按时前来登机的概率为p，各位乘客是否按时前来登机是相互独立的，这适合于单独行动的商人、游客等；3、头等舱和经济舱的机票票价之比为2；4、由题目知客户在预定时需要预付定金，假设定金为票价的20%；5、 每位被挤掉者获得的赔偿金为常数b。三、符号说明头等舱座位量r飞行中的固定损耗利润调节因子经济舱座位量b超员赔偿给每位乘客的钱t时间m预售票数g飞机票票价s公司总收益n给定座位个数k不按时前来的乘客p买票的人不能登机的概率四、模型的建立与求解4.1.1问题的分析：问题要求我们解决在飞机头等舱20座，经济舱300座的情况下，如何制定合理的预定策略的问题。我们假设公司的经济利益用机票收入扣除飞行费用和赔偿金后的利润来衡量；社会声誉用持票暗示前来登机、但因满员不能飞走的乘客限制在一定数量为标准，而这两个问题的关键因素即预订票的乘客是否按时前来登机是随机的，所以经济利益和社会声誉两个指标都应该在平均意义下衡量，这是个两目标的优化问题，决策变量是预订票数量的限额。因此问题的求解在于建立合理的模型并用MATLAB软件对问题进行分析求解。最后通过模型改进对模型进行进一步优化。4.2.2模型的建立及求解模型建立 1.公司的经济利益可以用平均利润S来衡量，每次航班的利润s为从机票收入中减去飞行费用和可能发生的赔偿金。当m位乘客中有k位不按时前来登机时 （1）由假设2，不按时前来登机的乘客数K服从二项分布，于是概率 （2）平均利润S（即s的期望）为 （3）化简（3）式，并注意到可得 （4）当n,g,r,p给定后可以求m使S(m)最大。2.公司从社会声誉和经济利益两方面考虑，应该要求被挤掉的乘客不要太多，而由于被挤掉者的数量式随机的，可以用被挤掉的乘客数超过若干人的概率作为度量指标。记被挤掉的乘客数超过j人的概率为Pj(m)，因为被挤掉的乘客数超过j人，等价于m位预订票的乘客中不按时前来登机的不超过m-n-j-1人，所以 （5）对于给定的n,j，显然当m=n+j时不会有挤掉的乘客，即Pj(m)=0。而当m变大时Pj(m)单调增加。 综上，S(m)和Pj(m)虽然是这个优化问题的两个目标，但是可以将Pj(m)不超过某给定值作为约束条件，以S(m)为单目标函数来求解。模型求解 为了减少S(m)中的参数，取S(m)除以飞行费用r为新的目标函数J(m)，其含义时单位费用获得的平均利润，注意到假设1中有g=r/n，由（2）式可得 （6）其中b/g式赔偿金占机票价格的比例。问题化为给定,n,p,b/g，求m使J(m)最大，而约束条件为 （7）其中是小于1的正数。J(m)的经济意义是公司纯利润占固定损耗的比例。模型不能求解，但可以通过MATLAB软件进行数值计算，求得最大值点。根据假设不优先考虑头等舱乘客的利益，即如果头等舱已坐满，多出的头等舱的乘客不能进入经济舱，只能等待下一班飞机并获得赔偿。由此，我们便可把头等舱和经济舱分开考虑。利用参考文献中的，我们可以认为这些值是相对固定的。1）经济舱情况由题知经济舱座位数为计算（详见附录I），得表1m3000.583303020.593903040.604403060.615003080.625403100.635103120.64340.00003140.64920.00023160.65170.00233180.65120.01603200.64850.06503220.64450.17803240.63980.35833260.63500.56813280.63000.75333300.62500.8810332 表1由上表可知，当m=316时，m和的关系图如下（m为横坐标，J为做坐标） 表2 2)头等舱情况方法同经济舱一样。取带入基本模型中可得m=22时。J达到最大。（详见附录II）由上，我们得出结论总的收入最大的机票预定策略为：航空公司收益即收入是投入的65.168%此时，发出316张经济舱票，22张头等舱票。五、优化模型考虑不同客源的实际需求，如商业界、文艺界人士喜欢无约束的预定票业务，他们宁愿接受较高的票价，而不按时前来前来登机的可能性较大；游客及准时上下班的雇员，会愿意以不能按时前来登机则机票失效为代价，换取较低额的票价。航空公司为降低风险，可以把游客作为基本客源，对他们降低票价，但购票时即付款，不按时前来登机则机票作废。设预定票数量m中有t张是专门预售给基本客源的，其折扣价格为，当m-t位基本客源中有k位不按时前来登机时每次航班的利润s为k位乘客不按时前来登机的概率为平均利润S为 =正常票价g，折扣票价，利润调节因子与飞行费用r间的关系为于是，单位费用获得的平均利润为取=0.75，t=50，100，150，其它参数同上，计算结果表明，当t增加时J(m)和Pj(m)均有所减少。六、模型的评价模型的优点：1、 将问题转化成数学中的优化问题，使得题目更加简单清晰；2、 通过模型改进对模型进行了进一步优化，更具有可行性。模型的缺点：1、 我们假设头等舱的价格为经济舱的两倍，存在一定的误差；2、 我们假设如果头等舱坐满，多出的持头等舱预订票的乘客不能进入经济舱，只能等待下一班飞机并获得赔偿。而这与现实不太相符。七、参考文献【1】 石博强 滕贵法 李海鹏 郭立芳 MATLAB数学计算范例教程 北京：中国铁道出版社，第3章：85-98 ，2004【2】吴玉清 孟昭时 郭晓江 机票预售的价格和数量模型- /p-55324661.html 豆丁网 2010.12【3】姜启源 谢金星 叶俊 数学模型 北京：高等教育出版社 ，第9章：284-289， 2003.8【4】数学建模(陕西师大)第51、52集 航空公司预定票策略./show/djoXAOeoh3qpuY_o.html /show/wYWMA8KiskCGqZyf.html 优酷视频 2010.12 /200812/21/14/1232670412576/3.jpg 八、附录附录I cleara=0;for m=300:2:330; for k=0:m-300-1; pk=binopdf(k,m,0.05); f=m-300-k; s=f*pk; a=a+s; end m J=(1/180)*0.95*m-(1+0.4)*a-1endm = 300J = 0.5833m = 302J =0.5939m = 304J = 0.6044m = 306J = 0.6150m = 308J = 0.6254m = 310J = 0.6352m = 312J = 0.6434m = 314J = 0.6492m = 316J = 0.6517m = 318J = 0.6512m = 320J = 0.6485m = 322J = 0.6445m = 324J = 0.6398m = 326J = 0.6350m = 328J = 0.6300m = 330J =0.6250附录II c