耀眼的十七角星.doc

耀眼的十七角星葉 清 煌大多數的同學認識數學王子高斯(GAUSS.德國數學家西元17771855)是由國中數學課本講等差級數時有這一則故事。據說高斯在幼年時，老師出了一道複雜的計算題，即求由1到100所有整數和，但高斯卻令人驚訝的在幾秒內就算出他的正確答案為5050。使他的老師再也不敢看不起鄉下小孩。更進而賣力地幫助高斯，直到他無法教給高斯更進一步的數學知識。 高斯的家境貧窮，到14歲時才得到布朗斯韋克公爵全力資助（從1791年開始）。可是經濟方面的考慮值得正視。因此高斯曾徘徊在十字路口，對於終生事業不知何去何從。 1796年3月30日是一個關鍵時候，當年高斯才18歲，他發現了如何從歐氏工具，也就是以圓規及直尺，作十七邊形的圖。這個發現使高斯在數學家中一炮而紅，也因這事件使高斯決定獻身數學。大數學家Klein稱讚高斯如下：顯在我們面前的是一幅緊張和奇趣的活人劇，你看那十十八世紀的大數學家，就像一連串起伏的高山終止於動人的高峰GAUSS，越過此高峰是一片大且肥沃的田園，充滿了生命的欣欣向榮。若非發現正十七邊形的尺規作圖而致使高斯迫於經濟壓力，改變志趣，可想像得到今天的世界局面會倒退多少。 可曾想過在你墓碑上留下什麼嗎？ 高斯對此成就是那麼自豪與高興，因而告訴他的友人說，他的墓碑上一定要刻上正17邊形，可惜並沒有如願以償，高斯的紀念碑上刻著一顆十七個角的星星，原來是負責紀念碑的雕刻家認為正十七邊形和圓形太像了，大家一定分辨不出來。（雕刻家的話有道理嗎？太外行了） 高斯不但解決了正十七邊形的作圖問題，而且也知道在理論上，用圓規和直尺作圖，哪些正多邊形可以做到，哪些是不能做到。他的定理說： 正n多邊形可以尺規作圖之充要條件是n可以寫成，其中都是不相同的費馬質數。所謂費馬質數就是型如的質數，如，法國數學家Pirre Fermat（費馬1601-1665）曾研究這些數並猜想所有型如的數皆為質數，這是不對的。Euler（尤拉17071783）發現含有因數641。1958年利用電子計算機發現能被所整除。前者大得不能想像；如果有人用一公分寬的數目字把他寫成十進位，他能繞可見的宇宙無數次。至今除了、外，我們還沒有找到任何新的費馬質數。 如果正n邊形可以作圖，則正2n邊形自然也可以作圖。如果正s邊及正t邊形都可以作圖而且s，t互質，則正st邊形也可以作圖，理由如下： 若正s（或t）邊形可以作圖，也就是說我們可以把圓周s（或t）等分；設分點按逆時鐘方向順次各為。而且使與重合。因為s、t互質，我們由輾轉相除法可找到兩個正整數u，v，使得vsut1，即因圓弧佔了全圓周的，而佔了，所以由上面等式可知佔了全圓周的，亦即弦為內接正st邊形的一邊。 由法國數學家Abraham-de Moivre（棣美弗）定理可知二項方程之根，也就是俗稱n次單位方根必為：，k0,1,2, n1正n邊形之作圖在歐氏幾何的意義下，僅限於使用圓規和直尺，在這種限制下可以證明只能作出有理數、平方根，以及經由有限次的有理運算（即加、減、乘、除之四則運算）或開方所得的數。因此，一般而言，三次方根不能以尺規作圖；這就是在希臘三大幾何不可解的問題中三等分一角及倍立方等兩問題不能解的原因（除特殊情形以外）。 由於二項方程式與分圓問題的相關連，我們知道只要能用有限多個有理數或平方根將表出，則可作正n邊形作圖，我們從單位圓著手，以尺規作出線段，過P作x軸之垂線交單位圓於B。即為正n邊形之一邊。從P點把解二項方程的問題，化為解一連串一次或二次方程的問題。當n3時， 故得三根 當n4時， 故得四根為， 當n5時， 或0 Z0 0 令 所以 故 ， ， 因此 可由1與5的比例中項得出。由此我們易得長度為之線段即可作出正五邊形。 高斯在他的研究結論說：在歐幾里得時代已經知道把一個圓分成三等分或五等分。令人吃驚的是在兩千年中沒有新東西來充實這些發現，幾何學家認為除了這些情況以及由這些情況導出的那些以外，使用圓規和直尺不能作正多邊形。 希臘人早就會作正三及正五邊形，下一個費馬質數就是17，這更顯出正17邊形作圖的歷史意義，正17邊形的實際作圖想法如下： 考慮圓分割方程式 ，其中p為形如的質數令以表示之根，將1除外之p1個根（這裡）組成周期。高斯周期是根的和，其中後項是前項的g次方，而總和之末項的g次方形成第一項（因此才稱為周期）。指數g稱為質數p的原根，g為整數，除以p得餘數1。換言之，g使得（1）的根可以用下列形式表示：周期是事實上 下一個周期只包含項，即 在這個周期裡，後項總是前項的次方，而且，也是p的一個原根。依此設高斯解圓分割方程式的辦法是把（1）簡化成二次方程式組的鏈。第一組包括一個二次方程式，第二組兩個，第三組四個，第四組八個，等，最後一組包括a個二次方程式。第一組的各根構成a項周期，第二組構成b項周期，第三組構成c項周期，最後一組構成一個單項周期，也就是（1）本身的各個根。一組方程的各係數可由前一組方程之各係數確定，所以，最後一組的各項方程直接給出（1）的各個根。在逐次確定各係數的過程中(r是E除以P的餘數且為整數)-（2）是很重要的式子。現在用高斯的方法解正17邊形（p17）的方程式0設， 且,g表示17的最小原根了將1除外之16個根依序排成兩行 ，3 ，9，10，13，5，15，1116，14，8，7 ，4 ，12，2，6亦即下列元素為上列元素之共軛複數，由圖形即可看出除以17所得餘數分別為m012345678910111213141516139101351511161487412261因此依據（2） 91315168 4 2 31051114 7 12 6在數列，中每一個根為前一根之立方鏈中的第一組包括一個二次方程，其各個根成為周期。 令（、皆為實數，0，0） 由於0+1又4因為而 ，故在中這種項共計十六個，每四個可以結合成一個+1故4故、滿足二次方程式-(3)故各個根為，和四個四項周期為UuVv故， 相對應的二次方程為-(4)-(5)它們的根為U，Vu，v且，。在所得各個二項周期中僅需兩式和（）故+U 含有和的二次方程為-(6)由（3）（4）（5）（6）我們可以計算cos解：cos 高斯計算之值，高明吧！ 這個形式可以尺規作圖，但明顯的是複雜，難度高，因此我們用下列的方法簡化：令是一個正角，使得故可改寫為其兩根為，即，又U，-(7) u，v-(8)因為， 4而 比較（7）（8）故 正17邊形的實際作圖既不成問題，下一個目標當然是257邊形，這個工作由Richelot在1832年用了194頁紙，把實際作圖的步驟寫了出來。Hermes又向下一個目標進軍，他花了十年的功夫，仔細研究正65537邊形的作圖步驟，這個厲害