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第一章 绪 论例1-1 求下列微分方程的通解，并分别求满足下列条件的特解。（1）通过点；（2）与直线相切；（3）与直线正交。解 直接积分得方程的通解为。（1）将得，则通过点解为。（2）与直线相切的解满足在切点处斜率相同，有，即得，切点坐标为和。同（1）的解法，与直线相切的解为和。（3）与直线正交的解在正交点处斜率满足，即得，正交点坐标为和。同（1）的解法所求方程的解为和。评注：求方程满足某条件的特解，关键要找到所求积分曲线经过的某一特定点的坐标，代入通解中确定出任意常数即可得特解。例1-2 求与曲线族正交的曲线族。解 因为曲线族满足的微分方程为，所以与曲线族正交的曲线族满足的微分方程为，解之得，这就是所求曲线族方程。评注：首先对已给定的曲线族求得其满足的微分方程，其次借助于正交性得到所求曲线族满足的微分方程，再求解此微分方程。有时直接给出一个微分方程，要求求得与此微分方程的积分曲线族正交（或夹角为某一固定值）的曲线族。例1-3 求一曲线方程，使曲线上任一点平分过该点的法线在两坐标轴之间的线段。解 设所求的曲线为，过曲线上任一点的法线方程为，它与轴的交点分别为，由题可得，故这条曲线满足方程 ，即，解之得 ，这就是所求曲线方程。评注：根据题目的具体已知条件和基本的数学公式及定理建立等式关系，注意切线与法线的特点及其关系，从而列出微分方程，经常会用到曲线在一点的斜率表达式、过该点的切线的横截距和纵截距及过该点的法线的横截距和纵截距等表达式。例1-4质量为的物体在重力的作用下，沿铅直线下落，物体下落距离（向下为正）随时间而改变。在不考虑空气阻力的情况下，试求出距离应满足的微分方程。解 设在时刻物体下落的距离为，则按牛顿第二定律（为重力加速度），。评注： 这是根据实际意义建立相应的微分方程模型来解决问题的，关键要掌握方程
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