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文档简介

第九章 重积分 几何意义 三 二重积分的性质 第一节 一 引例 二 二重积分的定义 二重积分的概念与性质 第九章 柱体体积 底面积 高 平顶柱体 曲顶柱体体积 曲顶柱体的体积 一 问题的提出 基本思想 曲顶柱体的体积 平顶柱体 曲顶柱体 播放 求曲顶柱体的体积采用 分割 近似 求和 取极限 的方法 求曲顶柱体的体积采用 分割 近似 求和 取极限 的方法 求曲顶柱体的体积采用 分割 近似 求和 取极限 的方法 求曲顶柱体的体积采用 分割 近似 求和 取极限 的方法 求曲顶柱体的体积采用 分割 近似 求和 取极限 的方法 求曲顶柱体的体积采用 分割 近似 求和 取极限 的方法 1 分割 2 近似 每个小曲顶柱体的体积用小平顶柱体近似 3 求和 4 取极限 求平面薄片的质量 将薄片分割成若干小块 取典型小块 将其近似看作均匀薄片 相加求极限即得薄片的总质量 思路 二 二重积分的概念 积分区域 被积函数 积分变量 二重积分是二元函数在平面区域上的积分 即 注意 2 二重积分从数值上看是乘积的和的极限 1 积分值与积分区域的分割方法无关 3 可以证明 二元连续函数在有界闭区域上是可积的 曲顶柱体的体积 平面薄片的质量 用二重积分的符号 二重积分的几何意义 当被积函数小于零时 二重积分是曲顶柱体的体积的相反数 性质2 k为常数 性质3 二重积分与定积分有类似的性质 三 二重积分的性质 性质1 性质4 积分对区域的可加性 性质5 若在D上 则有 性质6 二重积分估值不等式 证 由性质6可知 由连续函数介值定理 至少有一点 使得 因此 几何意义 曲顶柱体的体积等于某个跟它同底 高为曲顶柱体的某一变高的平顶柱体的体积 例1 设D是第二象限的一个有界闭域 且0 y 1 则 的大小顺序为 因0 y 1 故 故在D上有 解 解 解 二重积分的定义 二重积分的性质 二重积分的几何意义 曲顶柱体的体积 和式的极限 四 小结 思考题 将二重积分定义与定积分定义进行比较 找出它们的相同之处与不同之处 定积分与二重积分都表示某个和式的极限值 且此值只与被积函数及积分区域有关 不同的是定积分的积分区域为区间 被积函数为定义在区间
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