谈数学解题过程中的反思.pdf

3 2 1 2 n 2 1 2 n 1 减项放缩 于是 当m 4且m为偶数时 1 a4 1 a5 1 am 1 a4 1 a5 1 a6 1 am 1 1 am 1 2 3 2 1 23 1 24 1 2 m 2 1 2 3 2 1 4 1 1 2 m 4 4且m为奇数时 1 a4 1 a5 1 am 1 a4 1 a5 1 am 1 am 1 添项放缩 由 知 1 a4 1 a5 1 am 1 am 1 7 8 由 得证 研 究心得 研究心得 研究心得 研究心得 研究心得 研究心得 研究心得 研究心得 研究心得 研究心得 研究心得 研究心得 中 学 教 研 中 学 教 研 谈 数 学 解 题 过 程 中 的 反 思 林 浩 浙江温州平阳第一中学 325000 中 学 教 研 中 学 教 研 研 究心得 研究心得 研究心得 研究心得 研究心得 研究心得 研究心得 研究心得 研究心得 研究心得 研究心得 研究心得 为什么有些学生花了很多时间 做了大量的题 目 就是不得解题要领呢 缺少对解题过程的反思 是其中一个非常重要的原因 美国著名数学家波利 亚在其著作 怎样解题 中指出 解题是数学学习最 基本的活动形式 通过解题可以获取 巩固和深化数 学知识 形成基本技能 提高数学能力 数学解题过 程分以下几个步骤 审题 探索 表达 反思 但是 有些学生认为解题过程就是前面三步 理解题意 找 到解题途径 写出解答 解题就算完成了 这样的认 识是不完整的 如果解题到此为止 那么它的全部功 能没有得到充分发挥 其价值也未得到充分的挖掘 是非常可惜的 反思是对解题过程的深层次的思考 是进一步深化 整理和提高的过程 是进一步开发解 题的智力价值的过程 也是一种再发现和再创造的 过程 因此必须重视解题过程中的反思 并应该学会 如何反思 一般地 反思可以从以下3个方面进行 1 对问题进行剖析和透视 1 1 剖析问题的构造 一个综合问题往往是若干个知识点或小问题组 合而成的 这种经过重新组合包装的问题往往能迷 惑我们 找不到问题的解决切入点 或者误解了问题 的实质 从而造成解题的错误 因此在解题后我们要 反思 我们的解题方案是否符合问题的目的 我们是 否正确地将问题进行了细分 例1 设函数 f x x ax b a b为常数 a 0 若 f 1 1 3 且 f x x只有一个实根 若数列 an 满足关系式an f an 1 n N3 且n 2 又a1 1 2003 且 bn an an 1 求bn的最大值与最小值 及相应 的n值 这是一个函数与数列的综合题 已知条件与所 求的结论相去甚远 不能一步到位完成 反思自己的 解题方案 是否将此问题进行了合理的分步 这些步 骤的组合是否能够完整地解答此问题 解题方案是 否严谨 有无遗漏等等 本问题正确的分步应该是 1 求出 f x 的解析式 2 求出an的通项 3 由 an确定bn的通项 当然在每一小步中都应运用正确 的方法去解答 如在第 2 步中应用递推关系构造新 数列来求an 第 3 步中可以通过探讨bn的单调性 从而获取最值 1 2 明确问题实质 数学问题以灵活为特点 近年来问题情境设计 62 中学教研 数学 2006年第6期 的流行 更是让人时常不能捉摸问题要考查的实质 如 以向量为背景考查三角知识 解析几何知识 以 几何为背景考查代数问题 以实际生活为背景 考查 数学综合知识的问题比比皆是 让人捉摸不定 难以 下手 因此在解题后应该要反思 是否抓住了问题的 实质 建立了合理的数学模型 例2 如图1 已知P是正四面体S ABC面 SBC上一点 P到面ABC的距离与到点S的距离相 等 则顶点P的轨迹所在的曲线是 图1 A 圆 B 椭圆 C 双曲线 D 抛物线 这是一个典型的以立体 几何为设计情境考察圆锥曲 线定义的问题 本问题的难点 在于问题情境与所要求的结 论相去甚远 如果不能清楚地认识到本问题所要考 察的实质 圆锥曲线的统一定义 就很难得到正 确结论 如果认识到统一定义中常数e的取值对圆 锥曲线类型的影响 本问题就是想错都难 而且根本 不用计算就能得到此曲线的离心率0 e f 0 对所有 0 2 都成立 若存在 试求出符合条 件的所有实数m的范围 若不存在 试说明理由 本问题中要我们确定参数m的取值范围 完全 可以将m分离出来 表示为关于cos 的函数 进而 借助函数的值域来解决变量m的取值范围 3 对问题进行推广和延拓 3 1 解法的拓展 在一个问题解出以后 不能满足于一种解法 要 进一步从各种角度去思考 寻找多种解题思路 并从 中选出最佳解法 例6 已知方程 x 2 k 2 ax k N3 在区间 2k 1 2k 1 上有两个不等实根 求实数a的取值 范围 利用方程的思想进行解答 由已知方程可得 方程x2 4k a x 4k2 0 结合根的判别式和求 根公式可解得0 a 1 2k 1 利用变量分离的思想进行解答 将方程中的a 分离出来得 a x 2 k 2 x x 4k2 x 4k 构造函数 f x x 4k2 x 4k 利用函数 f x 在区间 2k 1 2k 上单调递减和在区间 2k 2k 1 上单调 递增 可解得0 a 1 2k 1 利用函数的思想进行解答 构造函数 f x x2 4k a x 4k2 通过对函数 f x 图像与x轴的 交点相对区间 2k 1 2k 1 的位置的讨论可得 0 a 1 2k 1 图2 利用数形结合进 行解答 令f1 x x 2 k 2 f 2 x ax 要使方 程在区间 2k 1 2k 1 上有两个不等实根 则只 要函数f1 x 和f2 x 的 图像在区间 2k 1 2k 1 上有两个不同交点 由 图2易知0 0 则a2 b2 c2 p2 3 进一步还 可将3个实数a b c推广为n个实数 已知ai R i 1 2 n 且 n i 1 ai p p 0 则 n i 1 ai p2 n 经 研究这些命题都是真命题 3 3 结论的延伸 有时还可以对结论进一步深化 得出一系列新 的结论 例8 不等式 a b 2 2 a 2 b2 我们可以将 这个结论沿着两个方面进行推广 一个方面是增加元数 如 a b c 2 3 a 2 b2 c2 a b c d 2 4 a 2 b2 c2 d2 另一个方面是增加次数 如 a b 3 4 a 3 b3 a b 4 8 a 4 b4 当然两个推广方面也可以结合 既增加元数又 增加次数 如 a b c 3 9 a 3 b3 c3 3 4 条件的演变 将问题的条件进行各种变化 又可以得到一系 列新的问题 例9 已知长为2a的线段AB的两个端点A B 分别在x轴和y轴上滑动 求线段AB中点M的轨迹 方程 这里有3个条件 1 A B 两点在x轴 y轴上滑 动 2 AB 的长度为2 a 3 M 为AB的中点 可以将 第一个条件改为 A B在直线y 3x和y 3x上滑 动 进一步还可以改为点A B在两条曲线f x y 0 和g x y 0上滑动 也可改变第二个条件 将线段 AB长 为2a 改 为 点M在 射 线AB上 且 82 中学教研 数学 2006年第6期 AM AB 9 也可改变第三个条件 将点M为线 段AB的中点 改为点M分AB成m n等 综上所述 不能把写出解答看成是解题的终结 反思是解题过程中不可缺少的步骤 通过反思 才能 真正发挥解题的效益 解一道题决不仅仅就是这一 道题 而是相当于解一类题 解一系列的题 解一道 题决不是得到一道题的解法和结果 得到的不是零 碎的 片面的知识 而是全面 系统的知识 真正透彻 理解和掌握问题的结构和本质 解题的规律 只有通 过反思才真正挖掘和体现了解题的价值 可以使解 题的水平上一个新的台阶 思维的水平上升到一个 新的高度 对于今后形成良好的思维品质和科学的 思维方式都会产生深远的影响 参 考 文 献 1 波利亚 怎样解题 M 涂泓 冯承天 上海 上海 科技教育出版社 2002 2 罗增儒 数学解题引论 M 西安 陕西师范大学 出版社 1998 研究心得 研究心得 研究心得 研究心得 研究心得 研究心得 研究心得 研究心得 研究心得 研究心得 研究心得 研究心得 中 学 教 研 中 学 教 研 一 堂 研 究 课 的 来 龙 去 脉 对基本不等式的探究及应用 沈红霞 江苏南通高等师范学校 226006 中 学 教 研 中 学 教 研 研究心得 研究心得 研究心得 研究心得 研究心得 研究心得 研究心得 研究心得 研究心得 研究心得 研究心得 研究心得 1 一个闪念 本刊2004年第3期发表陈立军老师 究竟为什 么错 一文 文中谈到学生不易掌握一类最值问题的 求法 笔者在教学中也反复遇到类似情况 虽然在教 学中不断地反思与改进 但一直都未能完美地解决 后来又在本刊2004年第11期上看到孙建斌老师的 文章 一类二元函数最值问题的一种解题策略 读 后非常兴奋 因为若用这种策略去解决前一类最值 问题 简直易如反掌 突然有一个念头闪过 是否可 以先让学生掌握这种策略 然后再用它解决前类最 值问题 2 一点顾虑 有了想法马上付诸行动 可在备课的过程中 笔者有一个顾 虑 课 本上 没 有 介 绍 x21 y1 x22 y2 x 1 x2 2 y1 y2 y1 y2 0 当且仅当 x1 y1 x2 y2时取等号 这 个公式 表面上看起来 它与均值不等式a b 2 ab 当且仅当a b时取等号 也相去甚远 如果 教师补充它 肯定会加重学生的负担 这与当前素质 教育的主旨不符 这么好的一个解题策略难道不能 介绍给学生 想就此放弃但又心有不甘 于是翻阅 资料再度思索 3 一脉相承 奥苏贝尔的有意义学习理论告诉我们 意义学 习有两个先决条件 一是学习者表现出一种意义学 习的心向 二是学习内容对学习者具有潜在意义 即 能与学习者已有的知识结构联系起来 数学特级教 师孙维刚曾经倡导 我们应该站在系统的高度传输 知识 每个数学概念 定理 公式等知识的传输 都是 在见树木更见森林 见森林才见树木的状况下进行 的 至此笔者豁然开朗 如果我们能找到新知识的固 着点 帮助学生在系统中获得知识 掌握知识 再将 新学习的知识纳入到更高一级的系统中去 那学习 效果必将出现1 1 2的情况 经过反复思索 决 定在 均值不等式及其应用 之后上一节数学研究 课 以基本不等式与均值不等式为固着点 简要流程 如