试计算酒桶体积和表面积.doc

试计算酒桶体积和表面积我读了趣味几何学，在“黑暗中的几何学”一章中，我了解了酒桶，对它体积和表面积近似计算时，可用图1：即把酒桶看作两个截圆锥体，想算截圆锥体体积，要从圆锥体入手，从图2左图中可以看出，我们把圆锥沿底面半径切成如图2右图的近似的三棱锥无限个，要研究的仅是特定的一种三棱锥：把这个三棱锥扩成三棱柱，再扩为长方体，只需要证明三棱锥体积为长方体的16，就说明了圆锥体积是等底等高的圆柱体的13，过程见图3。可以从长方体中切去如图4的与原三棱锥全等的三棱锥3个，即ABDE、BCDG、DEGH，可得图5:从图5中看出，剩下的是一个与原三棱锥全等的三棱锥BEFG，还有一个大三棱锥BDEG，只要证明三棱锥BDEG的高是三棱锥BEFG的2倍即可（实际要证明三棱锥BDEG体积是三棱锥BEFG的2倍，因为底面积相等，故用高代替）。看点划线长方形BDFH，取出它，如图6：从图中来看，DO是FO的三倍长，那么这两条线与两个三棱锥高有什么关系呢？可看图5中波浪线长方形，如图7：（以下证明该图的正确：由于两条线DQ、PF都是与面BEG垂直且在面MNWZ上，而T1T2又是面MNWZ与面BEG的相交线，故PF及DQ都与T1T2垂直，同时也说明二者平行，而D、F两点都在面MNWZ上，两点的连线必然在面MNWZ上，同样又由于T1T2又是面MNWZ与面BEG的唯一的相交的部分，且O点是DF线与面BEG的唯一相交点，故O点也在T1T2线上，P、Q、O三点共线）从图中可以看出，由于三角形DOQ和FOP相似，前面已证明DO是FO的两倍，故DQ是PF的两倍，而DQ、PF分别是两个三棱锥的高，则证明三棱锥BDEG体积是三棱锥BEFG的两倍。综上所述，可得出圆锥体积公式：V=13r2h再来看截圆锥体，如图8：截圆锥体是两个圆锥相减的结果，为了分别知道圆锥的高，需要知道k，为此，我们看截圆锥体的截面，如图9：从中可以得出比例式： k:k+h=r:R k=hrR-r然后分别求两个圆锥的体积： V大圆锥=13R2h+hrR-r =hR33R-3r V小圆锥=13r2hrR-r =hr33R-3r V大圆锥-V小圆锥=hR33R-3r-hr33R-3r =h3R-3rR3-r3 =h3R2+r2+Rr故截圆锥体体积为：h3R2+r2+Rr来看酒桶，它近似于两个全等的截圆锥体，如图10：故可用截圆锥体公式来计算酒桶体积。那么酒桶表面积呢？同样近似于截圆锥体。截圆锥体表面积也要从圆锥说起。如图11：如上图点划线所示，可以把圆锥的侧面分成无数多个近似的三角形，它们的高是L，底之和为2r，面积之和为： 2rL12 =rL即圆锥的侧面积为rL截圆锥侧面展开后得图12：截圆锥的截面为图13：从图12中可以看出： t:t+L=r:R t=LrR-r根据图11，分别求两个扇形的面积（利用圆锥侧面积公式）： S大扇形 =RLrR-r+L =LR2R-r S小扇形=rLrR-r =Lr2R-r S大扇形-S小扇形 =LR2R-r-Lr2R-r =LR-rR2-r2 =LR+r即