趣味课题：弹簧上的钢管舞(答案+点评).pdf

问题一问题一 解答解答 首先 标注一下 C 上的坐标 沿着 C 作 X 轴 原点放在 C 上距离 A 最近的点上 1 当 AC 2 时 x 0 显然是个平衡位置 考虑原点偏离很小的位移 x 0 即 AC 间距可以忽略不计 这 显然是个简谐振动并且周期 2 2 2 eff Tm km k 没有其他平衡位置了 2 当 AC 1 时 x 0 仍然是个平衡位置 并且 当小环 B 的坐标 x 不为零时 弹簧表现为 拉伸状态 向原点提供的是回复力而不是排斥力 所以这是个稳定平衡 但是不是简谐运动 我们需要进一步鉴定 12 1 tan cos sin 1 2 xAC 22 1 0 1 sin1 1 sin 1 1 1 1 cos222 x Fk LL 3 3 1 2 x Fx 这个项很明显 是随 x 成三次方正比的一个回复力 并不是线性的 所以并不是我们简谐振 动所能描述的 这样的运动方程实际上是不容易求解的 在此我们暂且填 不能 这是个 很有趣的现象 在问题二中 我们会对这个运动进行进一步但力所能及的研究 对振幅 无穷大的情况 同 1 并且 只有这一个平衡位置 3 随着 AC 距离的减小 当 AC 0 5 时 x 0 仍然是个平衡位置 但此时它的性质发生了 变化 从稳定平衡变成不稳定平衡 理由比较显然 因为此时弹簧处于压缩状态 当 B 偏 离 x 0 一点的时候 F 在 X 轴上的投影 是远离原点方向的 所以这是个不稳定平衡点 但是 此时 X 轴上 将产生两个新的稳定平衡位置 3 2x 或角度 3 我们 分析下在此处附近的运动 考虑 3 2xx 对应角度 3 根据几何关系 2 11 sin 1 sin coscos sin tan tan tan tan 22 cos 2 cos cossin sin 1 sin 3 coscos 3 sin tan 3 2 cos 3 cossin 3 sin 1 sin 3 1 2 cos 3 2 cos x 2 1 tan 3 3 1 2 sin 3 1311 3 3 13 3 3 13 3 22213 2 实际上某些省市的高三数学书会讲导数 那么对 tan x 在 3 处求导数可以一步到位 拿到结果 而不必使用提供的数学工具做小量展开 于是 力 1 2 sin 1 sin 3cos 3 3 1 2 1 sincos cos 3 cossin 3 sin33 1313 1 22213 3 4 x FFk x cossin 其中等式的最后一步刚刚使用了前面冗繁的一大步所获得的结果 可见这是个线性的回复 力 描述简谐振动 其周期 2 2 4 effx Tm kmFx 3 由系统的对称性 在另一个平衡位置 具有相同的结果 对于振幅很大的极限 和前面问题的讨论仍然相同 对这个结果的计算略显冗繁 但为了后面的讨论 却是必要的 问题二问题二 解答解答 我们知道 对于弹簧 弹性势能的表达式为 2 1 2 p Ekx 那么在 x 轴上 既然振子 B 受力 情况仍然是个等效弹簧的回复力 那么我们只需要把劲度 k 替换为等效的劲度 k eff 直接 引用第一问中所得到的答案 当 AC 2 时 2 1 effx kFx 我们马上得到势能的函数 图像自然是个抛物线见右 x 取值不能太大 这是保证小量展开的条件 们知道 弹簧力是个保守力 系统的机械能守 muV x 代入具体形式 得到 0 10 0 050 050 10 0 0005 0 0010 0 0015 0 0020 0 0025 2 1 4 V xx 我 恒 那么 假定系统初始能量为 E 振子的速度为 u 那么马上得到 2 2E 1 2 ux2 22 1 22 eff EE k 这里 暂不代入k的具体值 方便日后的计算 1 5 1 0 0 50 00 51 01 5 3 2 1 0 1 2 3 在u x图上 这显然是一族同心 同离心率的椭 圆 见右 我只画其中代表的一条 其中 总能 量E决定了振子的运动究竟处于那条椭圆上 等 效劲度 决定了椭圆的扁圆 离心率 这个图 叫做相图 图上每一个点 确定了粒子的速度u 或者 动量 和坐标x 换句话说 确定了粒 子的一个状态 不仅如此 我们将椭圆的半u轴 和半x轴相除 还可以得到 mm 2 2 UXEE k effeff k 于周期公式相比较 2 eff Tm k 2 mm UXT 于是 我们回头看 AC 1 的情况 回复力的表达式 根据我们已经算出的结果 好 3 1 2 x Fx 实际上可以直接积分得到势能 的函数 34 11 28 V xx dxx 对于没有讲授基本微积分的学校 我们也可以绕过积分 因为势能是储存在实际的物理的弹簧中 那么我们来计算一下这个实际的弹簧的伸长 当位移为 x 时 22 22122 0 11111 1 1 1 1 1 22 cos22228 44 8 x V xk LL 最后一步利用了 AC 1 时的几何关系 x 得到的结论和积分结果是一样的 于是 我们有了如下关系 1 5 2 1 2 V xE mu 代入具体数值 得到 24 24 4 28EE 1 ux 这个方程 描述了一个有些变了形的椭 圆 见右 图为 E 的代表曲线 显然 这条曲线在 x 方向上分别取到极 1 值 4 81 68x 2u 在这两个极值点附近 相比椭圆 曲线 为当x 的 比较扁而缓 这个容易直观地理解 因 x 在 0 附近时 四次方是一个很小的量 所以随着 x 增加 u 下降很缓慢 而到了 x 趋近 1 的时候 x 的四次方急剧增大 u 急剧下降 这个图像预示我们 可以在图的内部 内切出一个椭圆 我们当然也可以不难地严格证明 这是个内切 因为在第一象限 除了极 值点 本曲线上的点全部都在椭圆的上方 根据前面 AC 2 时分析的结论 椭圆描写简谐 振动 我们对它的性质了解的更多 而在图的外部 我们可以外接一个矩形 矩形描述被来 回反弹的匀速直线运动 见图 图中 红线代表 24 ux 24 4 1 28EE 蓝线代表内切的椭圆 22 22 4 1 28 ux EE 绿线代表外切的矩形 线上任意一点的速度 小于红线上的速度 于是 红线上 本图中 E 1 对于椭圆蓝线 都 的运动 其周期必然短于椭圆 而椭 圆周期 我们引用我们的结果 2 mm UXT 得到 红线运动的周期的上限为 4 max 2 28 27 47 mm TXU 1 5 1 0 0 50 00 51 01 5 1 0 0 5 0 0 0 5 1 0 1 5 而对于绿线 上面任意一点的速度都大于红线 于是其周期必然短于红线 于是 4 min 4 4 8 24 76 mm 红线运动的周期的下限为TXU 们更改参数 E 比如取 E 0 01 此时 0 02 m U 4 0 08 m X 我 再回来看看周期的变化 4 maxmm 2 20 08 0 0223 6TXU 4 min 4 4 0 08 0 0215 0 mm TXU 可见 随着振幅 能量 的减小 周期明显变长了 个运动方程的周期 实际上是可以通过积分得到的 精确的计算表明 并且当 E 1 时 T 5 28 当 E 0 01 时 T 16 7 分别验证了我们的估计 4 76 T E 1 7 47 和 于有限大的振动 x 我们就不能对下式做近似 所以保持原有形状 这 1 4 TE 15 0 T E 0 01 势能的函数 此处我们代入真实的物理量 带有单位 2222322 00 111 10 0 0050 01 222 V xk LLkxaLx 2 中 x 应使用米做单位 V x 为焦耳 图 中的一些极值点容易算出 其 像如 其 3 2x cm V 0 b 见问题二后面的评论 3 临界能量即 当能量超过此值时 振子将有能力越过势能的壁 垒 在 x 0 处来回穿行 在相图上表现为 曲线将围绕两个稳定平衡位置点 0 015 0 010 0 0050 0050 0100 015 x m 5 10 8 1 10 7 1 5 10 7 2 10 7 2 5 10 7 3 10 7 VHxL J 0 x 7 1 25 10VJ 1 1c 7 0 1 25 10EVJ 3 2x cm He 是单原子分子 公转 而不是其中一个 2a 根据理想气体状态方程 3 2 B pnk T 马上得到 5 22 10p 253 23 1 6 10 33 1 38 10300 B nm k T 每个粒子的平均动能即为 2 13 m vk T 1vm 22 HeB 4 10 s 对于振子 同样 3 2 11 mvk T 22 B s 为了达到翻越势垒 我们需要的温度不应小于 9 2 0 10 vm 1 0 Vk T 16 1 8 10TK 2 B 这个温度明显脱离实际 因为远高于太阳中心核反应的温度 任何常规物质早已解体 2b 这个比例即为 ee 这是一个非常可怕般地渺小的数字 这个数值应该正比于 1 所以还 13 0 3 10Vk T 1 B 2c 首先还原等效劲度的数值 k 而我们在问题一中令其 原此值即可 3 4 kk eff 11 22 NNP xxNP x v t 2 B effV xk T B k P xe k T 直接代入数值 取前面结论 振子的平均速度在 300K 时 约为 那个 1 2 是考虑有一 半的情况 振子是向 X 轴运动的 9 2 0 10 v m s 139321313 9323 10ln 0 5 2 0 108 10 3 103 10 0 5 2 0 108 10N N teee 这个比例代表 单个振子在单位时间通过 x 0 跑到另一个区域的几率 2d 因为这个几率极小 在不是特别长的时间里 这个几率是累加的 13 3 10 Pe 2e 如果考虑一个比较可观的几率如0 5P 我们需要等待 13 13 3 10 3 10 0 7 0 5 3 10 e ey r 上面的数值 因为 e 指数上的数字太大 用秒或年 或者宇宙的年龄做单位体现不出差别 这是这个数值可怕的地方 当然 如果 t 远大于这个值 振子在左右稳定平衡位置的几率各 50 从左向右和从右向左的跃迁几率流是一样的 这是个稳定的分布 但建立这个稳定分 布所需要的时间为上面的值 是不可能实现的 2f 热力学第二定律说 不可以从环境里单纯吸热而转化成功 那个翻越势垒的行为 需要 从空气中吸热 转化为弹簧的弹性势能 做功 对于这个宏观物体 m 1g 我们从这个 几率上 验证了热力学第二定律 使得我们可以认为 这种过程是非法的 3a 光子动量 ph 式中 为波长 h 为普朗克常数 所以 对动量的扰动乘以波长 你应发现 这个量在普朗克尺度 3b 我们算一算经典的振动 角 频率 0 87 cleff kmH z 那么两能级之差为 3435 6 63 100 87 29 10EJ 如果达到 V 0 需要被激发到第 能级上 27 0 1 4 10NVE 3c 所以即便 N 1000 振子的波函数也局限在平衡位置的附近 所以31 73Dc m VEVVV 0 2 s 第一个约等号 因为 E 很小 第二个约等号 因为是数量级的估计 我们把求平均和开放 交换了下次序 这个操作非法 但是并不影响结果的量级 第三个约等号 把中间的势垒当 作了三角形近似 代入数值 得 2727 3 7 103 7 10 0 87 T Jee 同前面 2c 的讨论 27 3 7 10 Pe 若要 则需等待约年 0 5P 27 3 7 10 0 e 问题四问题四 解答解答 1 绝热近似 1a 当弹簧骤然从 AC 2cm 拉近至 AC 0 5cm 的时候 振子的运动来不及响应 振子的位 置仍保持在 x 0 这个不稳定平衡位置的附近 振子的运动将为问题三 1b 中 所说的相图 上那根临界曲线的附近 1b 首先 引用问题二中 我们所获得的结论 2 2 1 22 eff px mEE k 2 2 椭圆是个均 匀地沿某方向被拉长了的圆 于是 其面积 2 Aab aab a b 表示半长轴和半短 轴 于本例中 22 2 eff AreamEE kE 为我们的绝热不变量 那么 假定 我们初始时刻 AC 2cm 时 微振动的能量为 E 那么在 AC 0 5cm 能量为 1 2 3 4 0 82 effeff EEE kkE E 而我们知道能量正比于振幅的平方 那么振幅变小为原先的0 8290 4 至于振子是在左侧还是右侧的稳定平衡位置振动 则需要看 AC 1cm 的瞬间 振子的位置 和速度情况 对于一般的实际情况 当 AC 变化足够慢的时候 振子各有 50 的几率 在其 中一个稳定平衡位置附近以原先 90 4 的振幅 继续做微振动 2 弹簧中的纵波与关联 2a 根据题目提供的波动解 00 cos YAk Xt 我们选取其中第 n 1 个振子 第 n 个和 第 n 1 个振子 分析下他们的运动情况 考虑第 n 个振子 它偏离平衡位置为 00 cos YAk ndt 此时它左侧的弹簧被拉长了 00000 cos cos L xY ndY ndddAk ndtAk ndtk dd 它右侧的弹簧被拉长了 00000 cos cos R xY nddY nddAk ndtk dAk ndtd 在 x 轴上的回复力 yLR Fk xx 经过一些三角和差化积运算 得到 0000 2 1 cos cos 2 1cos y Fkk dAk ndtkk d Y nd 这是个简谐振动的运动方程 符合振子的运动 如果其频率满足 00 2 1 cos kk d m 2b 现在 我们考虑一下 将 N 划分很大的情况 假定这条链的总长为 L 总质量为 M 这个宏观的链条的劲度系数为 K 那么 根据弹簧的 串联 K Nk 而且 因为同种材料 弹簧的劲度随长度成反比 那么我们标记一个常数 B KL 我们还有 m M N 我们再标记一个常数 C M L 作为弹簧的质量线密度 而且 d L N 当 N 很大的时候 利用开头提供的数学公式 那么我们有 22 00 1cos 2k dk d 22 0 0 2 2 2 k L NK N M L 00 kB C v 恰好就是行波 00 cos YAk Xt 的 波速 因为 00 2 2 kTTfv 于是我们将 v 写成了跟弹簧单位长度的质量还有劲度两个固有属性有关的常数 这个式子 是严格的 因为理想弹簧是连续的 N 趋于无穷大 对于 cos 的展开式 是准确的 可见 弹簧越硬 波速越大 弹簧越重 波速越小 在一些天文观测中 我们观 测到了这个现象 对于某些稀薄的等离子气体 相互作用主要通过气体中的电磁场传播 当 磁场很强的时候 这个介质的 硬度 就很大 而稀薄气体本身的质量密度很小 我们的确 观测到 有时声速可以达到 0 1 倍光速以上 22 00 1cos 2k dk d 2c 这个问题的证明思路类似于上面 就留给你啦 2d 此时 我们根据问题二我们所获得的结果 回复力的形式中 增加了一项 3 0 2 1 cos 2 y k Fkk d Y N Y 这并不是一个描写简谐振动的方程 所以简谐波将不再是解 当然 增加的那个项的系数很 弱 当 Y 不大的时候 那一项很小 所以简谐振动是一个近似解 将力改写为加速度 3 0 2 1 cos 2 y k Fkk d YY N ma 如果 Y X t 是个解 那么我们可以得到 a X t 的形式 因为加速度是位置的变化率的变化率 具有可加性 那么 Y1 和 Y2 a1 和 a2 分别是解的话 它们的叠加却不再是解 因为运动 方程里面的那个三次方项得不到满足 33 1212 22 kk YYYY NN 3 此时 我们看一看 对于单个振子 它的势能的样子 22 1 28 k V XkdY dY N 4 R 其中 L Yxx V X 表示 平衡位置在 X nd 处的 振子 所处的势能的情况 如果没有那个 Y 的四次方项 那么 系统就有一些可以叠加的 行波 简谐波 的方式 自由地传播 波与波可以简单叠加 自由穿过对方 但有了那个四 次方项的时候 情况开始不同 如果它前面的系数很弱 行波只是近似的解 行波与行波之 间也再是自由地传播 而是开始有相互作用 3 相变与破缺 从问题 1 的绝热近似我们知道 振子的动能不会发生太大的改变 各个振子仍然会在稳定 平衡位置的附近做微振动 从 AC 2 拉至 AC 0 5 的时候 对于一个振子来说 x 0 从稳 定平衡点变为不稳定平衡点 所以 对于 N 不是很大的时候 这些振子将统一落向 3 2x 或者3 2x 这个稳定平衡位置 而各振子之间互联的弹簧仍保持着松弛状 态 没有势能 然而 当 N 非常巨大的时候 情况有所不同 我们知道 当 AC 滑过 AC 1 这个临界点的 时候 对于一个实际的振动情况 振子各有 50 几率滑向 或者 这两个稳定平衡位置 之一 而我们知道 振子之间的互联弹簧因为很短 所以劲度很大 如果相邻两个弹簧 一 个有向 的位置运动的趋势 一个有向 的位置运动的趋势 那么 之间的连接弹簧将被拉长 将提供很大的相互作用力 去纠正这一情况 使得各自的 意见 保持一致 然而 当 N 变得非常巨大的时候 链变得非常的长 而我们从 2 的讨论中得知 弹簧中的纵波的传播 速度是有限的 对于一个区域内 大家的集体行为 在 AC 经过 AC 1cm 这个过程的时间 内 终究不能把这个信息 就是大家滑向 还是 的趋势 传播给无限远 所以 对于另一个 足够远的区域的行为 它们之间 没有足够的时间 进行 互相沟通和纠正 于是 终究 会有某些区域 其中的振子集体滑向 某些区域的振子 集体滑向 那么 在这两种 政 见 相反的区域中间 必存在 国界 比如 在这个点左侧的振子 是趋向 而右侧的振 子 趋向 而它们之间的连接弹簧被拉的比较长 这是可能的 因为这些区域的尺寸可以 变得很大 以至于 这个区域中 全体振子和其上方连接的弹簧数量足够多 它们中必须大 多数处于稳定平衡的位置 否则蓄积的势能将会足够大 以至于将压倒 国界线 上面少数 几个振子之间的 互联弹簧的势能 这是个不稳定的态 所以 大块区域的稳定加上少数 国 界线 上的紧张 将是我们最终观察到的结局 对问题三和四的点评对问题三和四的点评 1 首先 在问题四里 我们使用了绝热近似 绝热近似是一个应用非常广泛的概念 在本 例中 经典力学 绝热近似要求 在相图 p x 图中的轨迹要近似闭合 变形足够缓慢 于是相图中的面积为不变量 守恒量 当然 这个结论的证明比较复杂 需要用到拉 格朗日或哈密顿形式 在早期量子力学中 波尔 索墨菲将这个面积量子化 绝热过程 中 该量子数作为绝热不变量 在现代量子力学中 绝热近似指 外界环境的变化的速 率 要远小于两个相邻能级之间的频率差这个尺度 那么绝热不变量为能级量子数 在 热力学中 熵是绝热不变量 等等 同时 我们应该还能看出 守恒量可以很大程度上简化运算过程 2 在问题四中 我们使用了多个振子系统 用 X nd 来标明了我们讨论的是哪个振子 同 时 X 呈现在波动解里 体现为空间 坐标 问题四研究了一个系列的振子的行为 当间距 d 很小 N 很大的时候 人们从中提取了 场 的概念 这是一个很有意思的类 比 X 就表示空间坐标 空间坐标都是固定的 而振子的偏移 Y 则用来表示 该空间点 上 场强的大小 我们在问题四 2d 的模型中发现 一个经典的场 其动能 正比于振 子的速度平方 也就是 Y 的变化率的平方 其势能 正比于 Y 随着 X 的变化率的大小 的平方 看看问题 2d 最后的那个式子 外加一个小小的四次方作用项 从量子的观 点来看 对单一一个谐振子做量子化 如问题三 称做一次量子化 我们用了一个波 函数来描写振子可能出现在空间各点的几率 而我们对这个系统做量子化 将会得到那 个经典波 Y X t 的量子化形式 这个叫做二次量子化 或场的量子化 粒子的概念 不 再是振子本身 振子本身对应于该点时空 而 Y 才对应于该点场的大小 粒子对应于振 子的激发态 或者叫 元激发 在量子理论中 假如没有那个四次方项 那么粒子在 链上的传播 仍然是自由传播 量子力学描述的方式 如果存在那个四次方项 对于 经典的波 之间会有相互作用 对于量子化的 粒子 同样会有相互作用 表现为粒 子可以被产生 湮灭 互相散射等等 当然 这里说的仅仅是个一维的标量场 一个非 常简单的模型 但那个势的形式却很有名气 在自然界中 尽管我们还没有观测到标量 场的存在 但主流粒子理论认为 黑格斯 Higgs 场 应该具有类似这么一个势能的形式 称做 phi 4 理论 这个弹簧系统的例子 其实就是量子场论中 最最原始的经典对象模 型 我们对量子场论当今的物理本质的理解 似乎并不比这个对象要高明很多 见 A Zee 的 果壳中的量子场论 3 除了 Higgs 场 在前沿的粒子理论里 可以提供不同种类的标量场势场的形式 其中 除了四次方项以外 也可以有一个三次方项 在宇宙的早期 当温度很高的时候 这个 标量场的势场的形状有点像 AC 2 的时候 x 0 是势能坑的最低点 然而 随着温度的 下降 势场会发生变化 最终变成有些像 AC 0 5 的情况 但实际情况远比这个复杂 因为我们的模型里没有三次方项 实际的情况 有可能是 过渡到 AC 0 5 那样子 像 我们的例子里 绝热近似那样 振子平稳地滑向稳定平衡点 但也有可能有另一种情况 想像一下 我们将我们的钢管歪一歪 并考虑重力 那么 即便 AC 0 5 两个势能的 坑也并不是等高 重力的下风向那个坑