轨迹问题、直线与圆锥曲线位置关系.doc

林老师教案 轨迹问题一、直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，易于表述成含x,y的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法。用直接法求动点轨迹一般有建系,设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要注意“挖”与“补”。例1 已知直角坐标系中，点Q（2，0），圆C的方程为，动点M到圆C的切线长与的比等于常数，求动点M的轨迹。解：设MN切圆C于N，则。设,则 化简得（1） 当时，方程为，表示一条直线。（2） 当时，方程化为表示一个圆。说明：求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。练习：（待定系数法题型）在中，且的面积为1，建立适当的坐标系，求以M，N为焦点，且过点P的椭圆方程。二、定义法：运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。例2 如图，某建筑工地要挖一个横截面为半圆的柱形土坑，挖出的土只能沿AP、BP运到P处，其中AP=100m，BP=150m，APB=600，问怎能样运才能最省工？解：半圆上的点可分为三类：一是沿AP到P较近，二是沿BP到P较近，三是沿AP或BP一样近。其中第三类的点位于前两类的分界线上，设M为分界线上的任一点，则有，即，故M在以A，B为焦点的双曲线的右支上。建立如图直角坐标系，得边界的方程为,故运土时为了省工，在双曲线弧左侧的土沿AP运到P处，右侧的土沿BP运到P处，在曲线上面的土两边都可运。说明：利用双曲线的定义可直接写出双曲线方程。练习： 已知圆O的方程为 x2+y2=100,点A的坐标为（-6，0），M为圆O上任一点，AM的垂直平分线交OM于点P，求点P的方程。解：由中垂线知，故，即P点的轨迹为以A、O为焦点的椭圆，中心为（-3，0），故P点的方程为三、代入法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P(x,y)却随另一动点Q(x，y)的运动而有规律的运动，且动点Q的轨迹为给定或容易求得，则可先将x,y表示为x,y的式子，再代入Q的轨迹方程，然而整理得P的轨迹方程，代入法也称相关点法。例3 如图，从双曲线x2-y2=1上一点Q引直线x+y=2的垂线，垂足为N。求线段QN的中点P的轨迹方程。解：设动点P的坐标为（x,y）,点Q的坐标为（x1,y1）则N（ 2x-x1,2y-y1）代入x+y=2,得2x-x1+2y-y1=2 又PQ垂直于直线x+y=2，故，即x-y+y1-x1=0 由解方程组得, 代入双曲线方程即可得P点的轨迹方程是2x2-2y2-2x+2y-1=0练习：已知曲线方程f(x,y)=0.分别求此曲线关于原点，关于x轴，关于y轴，关于直线y=x，关于直线y=-x，关于直线y=3对称的曲线方程。(f(-x,-y)=0,f(x,-y)=0,f(-x,y)=0,f(y,x)=0,f(-x,-y)=0，f(x,6-y)=0) 四、参数法与点差法题型：参数法：求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使x,y之间建立起联系，然而再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。例4 经过抛物线y2=2p(x+2p)(p0)的顶点A作互相垂直的两直线分别交抛物线于B、C两点，求线段BC的中点M轨迹方程。解：A（-2p,0）,设直线AB的方程为y=k(x+2p)(k0).与抛物线方程联立方程组可解得B点的坐标为，由于AC与AB垂直，则AC的方程为，与抛物线方程联立方程组可解得C点的坐标为，又M为BC中点，设M（x,y）,则，消去k得y2=px,即点M的轨迹是抛物线。五、点差法：求圆锥曲线中点弦轨迹问题时，常把两个端点设为并代入圆锥曲线方程，然而作差求出曲线的轨迹方程。例5如图，P是抛物线C：上一点，直线过点P且与抛物线C交于另一点Q。若直线与过点P的切线垂直，求线段PQ中点M的轨迹方程。解：设由（1）得，过点P的切线的斜率，直线的斜率，直线的方程为（2）方法一、（利用韦达定理、中点坐标公式）联立（1）（2）消去得，M为PQ的中点，消去PQ中点为M的轨迹方程为方法二（点差法）由得则。将上式代入（2）并整理，得PQ中点为M的轨迹方程为【小结】一、求轨迹的一般方法：1直接法，2定义法，3代入法，4参数法，5.待定系数法，6.点差法。第四节：直线与圆锥曲线的位置关系一、基本知识概要：1.直线与圆锥曲线的位置关系：相交、相切、相离。从代数的角度看是直线方程和圆锥曲线的方程组成的方程组，无解时必相离；有两组解必相交；一组解时，若化为x或y的方程二次项系数非零，判别式=0时必相切，若二次项系数为零，有一组解仍是相交。2.弦：直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦。焦点弦：若弦过圆锥曲线的焦点叫焦点弦；通径：若焦点弦垂直于焦点所在的圆锥曲线的对称轴，此时焦点弦也叫通径。3.当直线的斜率存在时，弦长公式： =或当存在且不为零时，（其中（），（）是交点坐标）。抛物线的焦点弦长公式|AB|=，其中为过焦点的直线的倾斜角。4.重点难点:直线与圆锥曲线相交、相切条件下某些关系的确立及其一些字母范围的确定。5.思维方式: 方程思想、数形结合的思想、设而不求与整体代入的技巧。6.特别注意:直线与圆锥曲线当只有一个交点时要除去两种情况，些直线才是曲线的切线。一是直线与抛物线的对称轴平行；二是直线与双曲线的渐近线平行。二、例题：【例1】直线y=x+3与曲线 （ ）A。没有交点 B。只有一个交点 C。有两个交点 D。有三个交点解：当x0时，双曲线的渐近线为：，而直线y=x+3的斜率为1，10因此直线与椭圆左半部分有一交点，共计3个交点，选D思维点拔注意先确定曲线再判断。【例2】已知直线交椭圆于A、B两点，若为的倾斜角，且的长不小于短轴的长，求的取值范围。解：将的方程与椭圆方程联立，消去，得由，的取值范围是思维点拔对于弦长公式一定要能熟练掌握、灵活运用民。本题由于的方程由给出，所以可以认定，否则涉及弦长计算时，还要讨论时的情况。【例3】已知抛物线与直线相交于A、B两点（1） 求证：（2） 当的面积等于时，求的值。（1） 证明：图见教材P127页，由方程组消去后，整理得。设，由韦达定理得 在抛物线上，（2） 解：设直线与轴交于N，又显然令思维点拔本题考查了两直线垂直的充要条件，三角形的面积公式，函数与方程的思想，以及分析问题、解决问题的能力。【例4】在抛物线y2=4x上恒有两点关于直线y=kx+3对称，求k的取值范围。解设B、C关于直线y=kx+3对称，直线BC方程为x=-ky+m代入y2=4x得：y2+4ky-4m=0， 设B（x1，y1）、C（x2，y2），BC中点M（x0，y0），则y0=（y1+y2）/2=-2k。x0=2k2+m，点M（x0，y0）在直线上。-2k（2k2+m）+3，m=-又BC与抛物线交于不同两点，=16k2+16m0把m代入化简得即，解得-1k0即m2-k2-9b1)在同一坐标系中的图形可能是（ ）答案：C解析：a0,b0,直线y=ax+b过一、三象限且在y轴上的截距为正，排除B、D，又直线过点（0,b），（-,0）,b|-|.3.设A为双曲线=1的右支上一动点，F为该双曲线的右焦点，连AF交双曲线于B，过B作直线BC垂直于双曲线的右准线，垂足为C，则直线AC必过定点（ ）A.（，0） B.（，0） C.（4，0） D.（，0）答案：A解析：（特殊法）设A（5,）,则B（5,-）,C(,-).故kAC=，直线AC为y-=(x-5),即：10x-4y-41=0，与x轴交点为（，0），排除B、C、D，选A.4.对于抛物线C：y2=4x，我们称满足y024x0的点M（x0,y0）在抛物线的内部，若点M（x0,y0）在抛物线的内部，则直线l:y0y=2(x+x0)与C（ ）A.恰有一个公共点 B.恰有两个公共点C.没有公共点 D.可能有一个公共点也可能有两个公共点答案：C解析：联立方程组消去x,得y2-2y0y+4x0=0,=4y02-16x0=4(y02-4x0),M（x0,y0）在抛物线内，y024x0.0)的焦点F作一条直线交抛物线于A、B两点，若线段AF、BF的长分别为m、n，则等于( )A.2a B.4a C. D.答案：D解析：(特殊法)令ABx轴，则xa=xb=,m=n=|ya|=.二、填空题（每小题5分，共15分）8.设P1、P2是抛物线x2=y的一条弦，如果P1P2的垂直平分线的方程为y=-x+3，那么弦P1P2所在的直线方程是_.答案：y=x+2解析：设P1（x1,y1），P2(x2,y2),显然=1,则P1P2所在直线方程为y=x+b,由有x2-x-b=0,于是x1+x2=1,则P1P2的中点是P（）,P1P2所在直线方程又可为y-=x-. 又点P在直线y=-x+3上,即+3. 当代入得y=x-(x1+x2)+3=x+2.9.直线y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆=1总有公共点，则m的取值范围是_.答案：1，5）解析：由焦点在x轴上，故0m5,又数形结合知m1，故1m5.10.如果实数b不论取何值，直线y=kx+b与双曲线x2-2y2=1总有公共点,那么k的取值范围是_.答案：-k解析：将y=kx+b代入x2-2y2=1,得（1-2k2）x2-4kbx-2b2-1=0.(*)当1-2k2=0即k=时，4kbx+2b2+1=0不能使任意bR都有解.1-2k20.方程（*）对bR恒有解，0，即16k2b2+4(1-2k2)(2b2-1)0恒成立，即8k28b2+4恒成立，8k24,k2.又k2，k2,-kb0),直线l1:=1被椭圆C截得的弦长为2，过椭圆C的右焦点且斜率为3的直线l2被椭圆C截得的弦长是椭圆长轴长的，求椭圆C的方程.解析：由l1被C截得的弦长为2,得a2+b2=8, 设l2：y=(x-c)，代入C的方程化简得（b2+3a2）x2-6a2cx+a2(3c2-b2)=0,x1+x2=,x1x2=.|x1-x2|=,由弦长公式得,即a2=3b2, 联立得a2=6,b2=2.故C的方程为=1.12.已知双曲线C:=1（a0,b0）,B是右顶点，F是右焦点，点A在x轴的正半轴，且满足|、|、|成等比数列，过F作双曲线C在第一、三象限的渐近线的垂线l，垂足为P.（1）求证：=；（2）若l与双曲线C的左、右两支分别交于点D、E，求双曲线C的离心率e的取值范围.解析：（1）l:y=-(x-c),P().由|、|、|成等比数列得A（,0）,=(0,-), =(,), =(-,).=.（2）b2x2-(x-c)2=a2b2.即(b2-)x2+2cx-(+a2b2)=0,0恒成立.x1x2=a4,即b2a2.c2-a2a2e.13.已知点P（2,1）在双曲线=1，且它和双曲线一个焦点F的距离是1，（1）求双曲线的方程；（2）过点F的直线l，交双曲线于A、B两点，若弦长|AB|不超过4，求l的倾斜角范围.解析：（1）设焦点F（c,0），由题意得（-c）2+1=1,c=,则点F的坐标为（,0），a2+b2=2. 又P（,1）在双曲线上，=1. 由得a2=1或a2=4（舍去），b2=1.从而双曲线方程为x2-y2=1.(2)当直线l斜率存在时，设l:y=