转化与化归思想教师用.doc

2011届高三二轮专题复习之八数学思想方法（转化与化归思想）一、知点透析解某些数学问题时，如果直接求解较为困难，可通过观察、分析、类比、联想等思维过程，运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题（相对来说对自己较熟悉的问题），通过新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法称之为“转化与化归思想”.转化是将数学命题由一种形式向另一种形式的转换过程；化归是把待解决的问题通过某种转化过程归结为一类已经解决或比较容易解决的问题应用转化化归思想解题的原则应是化难为易、化生为熟、化繁为简，尽可能是等价转化。常见的转化策略有：正与反的转化、数与形的转化、相等与不等的转化、整体与局部的转化、空间与平面的转化、常量与变量的转化、数学语言的转化等.二、初露锋芒1、设集合,则满足的集合B的个数是（ C ）A.1 B.3 C.4 D.82、函数f(x)=x33bx+3b在（0，1）内有极小值，则b的取值范围是 .0b13、已知则的最小值是 5 .4、已知正三棱锥SABC的侧棱长为2，侧面等腰三角形的顶角为300，过底面顶点A作截面AMN交侧棱SB、SC分别于M、N，则AMN周长的最小值为 。三、例题精讲问题1 函数与方程的转化例1 已知二次函数f（x）=ax2+2x2a1，其中x=2sin（00，12，af（1）=a（a3）0，af（2）=a（2a+3）0解得实数a的取值范围为-3， 图1问题2 空间与平面的转化例2 如图2所示，图（a）为大小可变化的三棱锥PABC（1）将此三棱锥沿三条侧棱剪开，假定展开图刚好是一个直角梯形P1P2P3A，如图（b）所示求证：侧棱PBAC；图2（2）由（1）的条件和结论，若三棱锥中PA=AC，PB=2，求侧面PAC与底面ABC所成角的余弦值；（3）将此三棱锥沿三条侧棱剪开，假定其展开图刚好是一个三角形P1P2P3，如图（c）所示已知P1P3=P2P3，P1P2=2a，若三棱锥相对棱PB与AC间的距离为d，求此三棱锥的体积【解析】（1）在平面图中P1AP1B，P2BP2C故三棱锥中，PBPA，PBPC，PB平面PAC，PBAC（2）由（1）在三棱锥中作PDAC于D，连结BD由三垂线定理得BDAC，PDB是所求二面角的平面角，在展开图中，连BP3得BP3AC，作AECP3于E，得AE=P1P2=4设PA=AC=x，则P1A=AC=P3A=x，由P2C=CP3，CE=EP3=，EP3=2故CP3=，P2P3=，由ACDP3=CP3AEDP3=，又BP3=6，BD=在PDB中，cosPDB=，侧面PAC与底面ABC所成的角的余弦值为（3）在平面图中，由剪法知，A、B、C分别是三角形三边的中点由此得：AB=BC，AC=a在三棱锥中，取AC中点D连PD、BDACPD，ACBD，故AC平面PDB，且D到PB的距离为异面直线PB与AC之间的距离d，SPDB=ad，V=a2d问题3 变量与常量的转化例3 对于满足的一切实数，不等式恒成立，试求的取值范围【解析】设函数，显然，则是的一次函数，要使恒成立，当且仅当，且时，解得的取值范围是问题4 数与形的转化例5 求函数的最小值.【解析】，设，则上述问题转化为求的最小值，如图点关于轴的对称点为,因为,所以的最小值为.问题5 正与反的转化例5 给定实数，且，设函数（其中R且），证明：经过这个函数图象上任意两个不同点的直线不平行于轴【证明】设、是函数图象上任意两个不同的点，则假设直线平行于轴，则必有，即，整理得由，得，这与已知条件“”矛盾，因此假设不成立，即直线不平行于轴问题6 抽象与具体的转化例6 设定于在实数集上，当时，且对于任意实数都有，同时，解不等式.【解析】由中取得，若，则令，则与时，矛盾.所以.当时，当时，而所以又因，所以，设且则，所以在上为单调增函数.又因，所以.由得单调性可得，解得.四、专题小结1掌握转化和化归的思想方法，在运用时应注意用“变换”的方法解决数学问题，依据问题本身提供的信息，去寻求有利于解决问题的变换途径和方法，进行合理的选择2转化时要注意转化的方向性，使转化的目的明确，以致解题思路自然流畅，此外还要注意转化前后的等价性3在训练中应重视数学化归思想，强化在解决数学问题中的应变能力，提高解决数学问题的思维能力和技能五、临阵磨枪1、已知两条直线l1:y=x,l2:axy=0，其中aR，当这两条直线所夹的锐角在(0,)内变动时，a的取值范围是( C )A（0，1） B（，） C（，1）（1，） D（1，）2、已知等差数列的前n项和为，若，且A、B、C三点共线（该直线不过原点O），则S200（ A ）A100 B. 101 C.200 D.2013、若关于的不等式4的解集是M，则对任意实常数，总有（ A ）A.2M，0M； B.2M，0M； C.2M，0M； D.2M，0M4、在R上定义运算若不等式对任意实数成立，则（ C ）A B C D5、的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且，则( B )A B C D6、若，则点的轨迹是( C )A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线7、若关于x的方程cos2x+4asinx+a-2=0在区间上有两个不同的解，则实数a的取值范围是 . a=或a18、如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面为直角三角形，ACB90，AC6，BCCC1，P是BC1上一动点，则CPPA1的最小值是_.9、对正整数n，设曲线在x2处的切线与y轴交点的纵坐标为，则数列的前n项和的公式是_.2n+1-210、直线y=a与函数y=x33x的图象有相异三个交点，求a的取值范围 解：f(x)=3x23=3(x1)(x+1) 易确定f(1)=2是极大值，f(1)=2是极小值 当2a2时有三个相异交点 11、已知f(x)=lg(x+1),g(x)=2lg(2x+t),(tR是参数） (1)当t=1时，解不等式f(x)g(x);(2)如果x0,1时，f(x)g(x)恒成立，求参数t的取值范围 解 (1)原不等式等价于即 x原不等式的解集为x|x (2)x0,1时，f(x)g(x)恒成立 x0,1时恒成立 即恒成立即x0,1时，t2x+恒成立，于是转化为求2x+,x0,1的最大值问题令=,则x=21,则1, 2x+=2()2+ 当=1即x=0时，2x+有最大值1t的取值范围是t1 12、设数列的前n项和为，点均