远距离自由落体的下落时间.doc

远距离自由落体运动的下落时间天体（质量为M）对于在它的引力场中自由下落的物体（质量为m）的引力为如果以天体为参考系（即认为它是静止的），则落体的质量m需要用两体的约化质量mr代替，落体在天体引力作用下的加速度a（即天体的引力场强度g）为即为了方便计算，记，把上式变形为即落体的初速度为0，初位移为L，对上式积分积分可得于是速度取负号是因为落体的方向与位移相反，记，上式可以变形为对上式积分下面计算右边的积分，可以用换元法，令，则，又，所以，因此换元后的积分上下限分别为和，于是右边的积分为由积分公式可得于是前面的积分为把代入，可以得到取引力常量，代入数值计算，保留两位小数，即可得到物体下落的时间以上分析方法虽然推理清晰，论证严格，结果准确，但是计算过程却比较繁琐，那么有没有比较简单一些的方法？下面来寻找这个方法。实际上，这个问题也可以用开普勒第三定律进行计算，相对于前面的分析方法，过程比较简单，得出的结果与前面的方法一致，下面运用开普勒第三定律进行计算。开普勒第三定律适用于沿椭圆形轨道围绕中心天体（如恒星、行星等）做周期性运动的天体（如行星、卫星等），定律表明，沿椭圆形轨道做周期性运动的天体的运动周期T的二次方与椭圆轨道的半长轴a的三次方的比值K是一个定值，这个比值对于围绕同一个中心天体做椭圆轨道运动的所有天体都相同，与运动天体的质量无关，即为了导出定律中的比值K，考虑最简单的情形，设天体m沿半径为R的圆形轨道围绕天体M做匀速圆周运动，以M为参考系，用M和m的两体约化质量mr代替m，按照圆周运动的向心力公式和万有引力定律可得为了方便计算，记，则圆周运动的周期为于是即这就是修正后的开普勒第三定律的数学公式，可以看出，比值K与天体的质量m有关，当M m时，上式即退化为原始的开普勒第三定律公式（仅适用于圆轨道）可以证明，对于椭圆轨道，如果用椭圆的半长轴a替换修正后的开普勒第三定律公式中的圆半径R，公式仍然成立，即当M m时，上式即退化为原始的开普勒第三定律公式根据前述公式，可以得到椭圆轨道的运动周期以下即用这个公式计算远距离自由落体运动的下落时间。当M m时，公式退化为为了进行计算，需要先分析一下“远距离自由落体运动”中“远距离”的含义。通常“自由落体运动”是指在重力场中的自由落体运动，重力场在落体运动的范围内可以近似看做是均匀的，但这样的近似是有条件的，一方面产生重力场的天体必须是质量分布均匀的（或近似均匀的）球形，另一方面天体的尺度（半径）应当充分大，这样容易证明，在相对于天体的半径充分小的空间内，引力场可以近似认为是均匀的，例如天体表面附近的重力场（不计天体的自转），这个重力场的范围（一般就是高度）相对于天体的半径和它的引力场范围（无限的）是很小的，在这个范围内引力场强度（单位质量的物体受到的引力）的变化很小，以至于完全可以忽略，例如地球的半径约为6370 km，地球的引力场范围在理论上是无限的，在地球表面上空10 km以内的重力场变化很小，能够相当好地近似为均匀的，又如太阳的引力场，在整个太阳系内这个引力场是变化的，但是在地球公转轨道所处的一定空间范围内，例如在小于地月距离的范围内，太阳的引力场强度变化很小，也可以近似看做是均匀的“重力场”。相对的，如果天体运动所经过的空间范围（距离）的引力场不是均匀的，引力场强度的变化很明显，那么这个空间范围（距离）就称为“远距离”或“长距离”，例如太阳与地球之间、行星与行星之间的引力场是变化的，它们之间的距离就是远距离。需要的别注意的是，“远距离”的范围大小和产生引力场的天体的质量密切相关，例如前面提到，对于地球而言，地面上空10 km高度内重力场都可以看做是近似均匀的，这高达10 km的范围仍属“近距离”，而对于一个航天器而言，因为它的质量很小，引力场非常弱，在航天器外很小的范围（距离）内（如几十米）引力场都是变化的，因此这短短的距离对于航天器的引力场而言已经是“远距离”了。远距离自由落体运动的加速度不是恒定的，而是随距离变化的，因此重力场中的落体运动规律不再适用，下面讨论如何用开普勒第三定律计算长距离自由落体时间。对于椭圆轨道，两个重要的基本参数为椭圆的半长轴a和半短轴b（或离心率e），如果椭圆的半短轴b无限趋向于0（即离心率e很接近于1），椭圆的形状会无限扁平，这样上、下两个半椭圆曲线就会无限接近于两条重合于长轴的直线段，两个焦点也会无限接近于长轴的两个端点，于是这样的椭圆可以近似为以两个焦点为端点的直线段，质点沿这样的椭圆轨道的周期性运动可以近似看做是在这条直线段的两个端点之间作周期性的往复运动，半短轴b越接近于0，这样的近似越准确。根据上面的讨论可知，远距离自由落体运动的下落时间t即为质点在半短轴b无限趋向于0的极限椭圆轨道上的运动周期