高三数学二轮复习中的选例.pdf

3 6 中学 数学 月刊 2 0 1 3年第 3期 高三数学二轮复习中的选例 廖 晓洋 江 苏省盐城 市明达 中学2 2 4 0 0 1 从 近几 年的高 考试卷 中不难 发 现 试 卷整 体 难度趋于平稳 而对能力的要求却逐年提高 命题 从 知识立 意转 向能 力 立意 改 变 了过 去 那 种刻 意 追求知识覆盖的做法 加大了对学生的数学思想 数 学方 法和综 合应 用能力 的考查 进 入高三 二轮 复习后 教 师从 三基 的复 习 转入对学生解题能力及意识的培养与提高 学生 解题能力的形成并不完全取决于解题 数量的多 少 而 与题 目的质 量密切 相关 这一 阶段对 教师 的 能力要求非常高 需 引导学生将所有高中数学知 识 与方法 系统 化 网络 化 所 学 内容 连成 线 织 成 网 铺 成 面 熟知 知 识 间 的联 系 掌握 分 析 解决 问 题 的一般 思维方 法 进一 步领悟数 学思 想方 法 明 确 考什 么 怎么考 及 时发现 在前 阶段 的复 习 中哪些知识点和方法技能掌握不牢固 哪些地方 复习还 不到 位 做 好 查漏 补缺 巩 固提 升 因此要 想 在最 后 阶段 充分 利 用 有 限 时 间 取得 复 习效益 的最大 化 教 师精选 例 习题尤 为重要 现就 二轮 复 习中选题的原则谈一点体会 不当之处请指正 1 选 择切 入点较 多 解 法 多样 的例 题 一 道好 的例题应 是切 入点 较多 解 法 多样 的 作 为课 堂教学 的主导者 应发挥 题 目的教学 功能 引导学 生 多角度进 行 思 考 这 样 可 以调 动 学 生学 习 的积极性 锻炼 思维 的灵活性 培 养创新 意识 与 发散性 思维 因此 教师 在选题 时应 避免 那些解 法 单一 入 口较 窄 的题 目 尽 可 能 选 择 那 些 解 法 多 样 切入点较多的的例题 例 1 2 0 0 3年 全 国理 科 卷 第 l 9题 改编 关 于 的不 等式 z I 一2 a 1 的解集 为 R 求实 数 的取值范 围 解 法 1 用分 类讨 论 的思想解 不等 式 原 不等式 化 为 f 2 a f l 1 z 2 a 1 即 或 2 即 1 或 2 1 2 由结 论 2的说 明可 知 A B M 的面 积 S 等 于梯形 AB B A 面积 的一半 由类 比推 理得 到 对于抛物线 一2 p y P 0 来说 相应的梯形 A B B A 面 积 为 S I 车I b K A B 的 倾 斜 l C O S a l 角 于是将本题 中P一2 代人得 AB M 的面积S l 4 j l C O S a 1 不 妨令AF 由结论 1 3 可 知 对 于抛 物线 z 2 p y P o 相应 的 公 式 为 s i n a l一 于 是 I 一 c 一 F B 则 一 J y j f 4 l M 图 7 要求 A B M 的面积S I 的最小值 只需 I C0S 0 求 f C O S a l 一 的最大值即可 T o 由基本不等式得 I C O S a 一 1 当且 1 T 仅当 一1时取最大值 1 此时 s的最小值为 4 解后反 思 本题作 为压 轴题 若用 常规 方法 求解则非常复杂 此种解法妙在活用焦点 弦的倾 斜 角定义 抓住 概念 的本质 由 Y 一2 p x P 0 的相关性 质类 比推理 得到 一2 p y P 0 的性 质 给计算带来很大 的简便 达到了化繁为简 化 难 为易 的 目的 抛物线在圆锥曲线 中占据着重要 的地位 抛 物线的性质特别是焦点弦的性质是我们要重点掌 握的内容 灵活使用抛物线焦点弦的倾斜角会给 解题带来很多便捷 解题时让抛物线焦点弦的倾 斜角从幕后走向台前吧 2 0 1 3年第 3期 中学数学月刊 3 7 1 当 2 n 卿 时 由 得 z 2 a 由 得 z 1时不等式的解集为 R 符合题意 2 当 2 n 即 a 1 时 由 得 z 式无解 所 以 时 不 等 式 的 解 集 为 不 符 题 意 舍 去 综 上 实 数 a 的 取 值 范 围 是 丢 c 3 解法 2 利用 函数最值处理这一类恒成立 问题 记 厂 一 z z 一 I一 2 三 1 即 n 所 以 实 数 n 的 取 值 范 围 是 2 a 0 2 a x 图 1 J 0 l 2 口 图 2 解法 3 利用数形结合思想 不等式化为 z一2 a 1 一 2C 记 f x 一I 一 2 a l g x 一1一 z 由题 意 知 f x 的 图象 折 线 在 g x 图象 直 线 的上方 1 由图 2 知 2 a 1 即 n 厶 1 所以实数n 的取值范围是 寺 1 厶 历年的高考题是我们教师选题的一个宝藏 这些试题都凝结了集体 的智慧 经历 了时 间的洗 礼 具有非常高的教学价值 而且高考题一般都是 切入点较多 解法多样 让考生有 多重选择的余 地 如果我们能够挖掘它们的教学功能 对于训练 学生的思维是非常有好处的 当然对于高考试题 很多老师在认识上仍有一些误 区 认 为题 目越新 越好 所 以选题几乎都是近两年的 其实很多老的 高考题就如同是一杯陈酿 细细品味 会感受到它 的醇香 2 选择可以延伸推广 进行变式的例题 一 道好的例题还应该是可 以进行延伸推广 变式 的题 目 变式 训 练 是 创 新 的 重要 方式 也 是 一种有 效 的数学 教学 途径 所 以教 师利用 变式 训练 能引导学生对数学问题多角度 多方位 多 层 次地讨 论 和 思考 通 过对 问题 纵 向 横 向 逆 向 进行变式 使学生更深刻地理解数学知识 提升能 力 例 2 苏教版选修 1 1 习题 2 3 1 第1 0 题 在 A B C 中 B 一6 0 C 6 0 直线 A B A C 的 斜率之积为 求顶点 A的轨迹 解 设点 A x 为所求轨迹上任意一点 由题 意 z 6 且 一 6 则 6一号 z 6 Iz 一 4 化简 得 一 一l x 6 且 z 一 6 顶点 A的轨迹是以B C为顶点 的双 曲线 除 去 B C两点 变式 1 纵 向 变 式 在 A BC 中 B 一 6 0 c 6 o 直线 A B A C的斜率之积为一 求 顶点 A 的轨迹 解 设点 A x 为所求轨迹上任意一点 由题 意 z 6且 z 一 6 则 6一 号 z 6 一 4 化简得 y 一l x 6且 z 一6 顶 点 A 的轨迹 是 以 B C为 短 轴端 点 的 椭 圆 除去 B C两 点 变式 2 横 向 变 式 在 A B C 中 B 一 a 0 C a O 直线 AB A C 的斜 率之 积为 愚 求顶 点 A的轨迹 其 中 n为正常数 是为非零常数 解 设点 A x 为所求轨迹上任意一点 由题意 z n且 lz 一 口 则 k Z十a n 化简得 一 一1 1 当走 0 时 顶点A的轨迹是以B C为顶 点的双曲线 除去 B C两点 2 当 忌 一一1 时 顶点 A的轨迹是以原点为 圆心 a为半径的圆 除去 B C两点 3 8 中学数学月刊 2 0 1 3年第 3 期 3 当 志 一 1 时 顶 点 A 的轨迹 是 以B C为 短 轴端 点 的椭 圆 除去 B C两点 4 当 一1 志 O 0 6 0 上任 一点 双 曲线 的两 顶点 为 A A 则 A1 一 4 l 0 A a 0 z n且 z 2 所以忌 A P 是 A P 一 一一 一 一 定值 即双 曲线上 任 意一 点 除 了 A A 与 两顶 点连线的斜率之积为定值 注 对 于椭 圆 同理 可证 略 课 本是 教 师选 题 的另一 宝 藏 课本 上 的题 目 具有典型 不偏不怪等特点 是高考命题的一个重 要素材 很多高考题便是直接来源于课本 因此我 们应该 回归课 本 深入 研究 课 本 上 的例 题 习题 充分发挥它们的教学功能 3 选择 多个 知识点 交 汇 综合 性强 的例题 近几年高考数学学科 的命题 在考查基础知 识 的基础 上 非 常 注 重学 科 的 内在 联 系 和 知识 的 综合 性 侧 重在 知识 网络交 汇点处 设计试 题 高 中 数学 中 知识 点 交 汇处 很 多 如 函数 方 程 与不 等 式 三角 与 向量 向量 与解 几 函数与数 列 导数 与 解 几等 在 二轮 复 习 中 我们 应 该 瞄准 高考 多选 用 这样 的例题进 行 教 学 让 学 生 体会 到 数 学各 个 知识点之间的联 系 完善知识网络 激发学生学习 的潜能 例 3 2 O 1 2 年 江 苏卷第 1 5 题 在 A B C中 已知A B A C一3 B A B C 1 求 证 t a n B一 3 t a n A 2 若 C O S C一 求 A 的值 0 分析 本题综合考查平面向量的数量积 三 角 函数 的基 本关 系式 两角 和差 的正切公 式 解 三 角形等知识 将这几个知识点完美地交汇在一起 这类题型是近几年高考的热点 解 1 方法 1 因AB AC一3 B A B C 即 AB AC C O S A 一 3 AB BC C O S B 所 以 AC C O S A一3 BC C O S B 由正 弦定理 知 A C 一 从而 s i n B C O S A一3 s i n A C O S B k s i n B 百一 t a n B 3 t a n A 方 法 2 如 图 3 延 长 B C 至 D 使 C D 一 3 B C 过 点 C作 C E 上 A B E 为 垂 足 因AB AC 3 BA BC 图 3 所 以AB AC一 3 B A B C一0 即AB AC 4 3 BC 一 0 所 以AB AC 4 C D 一0 II AB A D 一0 所 以 AB 上 AD 因 C E上 A B 所以 C E A D 得 BE BC 1 EA CD 3 在 R t hB EC t a n B一面E C 在 R t AA EC中 t a n A 一 EC 所以丽 t a n B一 一3 即 t a n B 一 3 t a n A 2 因 c o s C一 C 0 得 t n c一2 0 又 t a n C 一 一 t a n A B t a n A 上 t a n B 4 t a n A 1一 t a n A t a n B 1 3 t a n A 化 简得 3 t a n A一 2 t a n A 一 1 0 解 得 t a n A 1或 t a n A一