高中数学必修4(人教B版)第二章平面向量2.1知识点总结含同步练习题及答案.pdf

描述 高中数学必修4 人教B版 知识点总结含同步练习题及答案 第二章 平面向量 2 1 平面向量的线性运算 一 学习任务 理解向量加 减法和数乘运算 理解其几何意义 理解向量共线定理 了解向量的线性运算性质 及其几何意义 二 知识清单 平面向量的概念与表示 平面向量的加减法 平面向量的数乘与平行 三 知识讲解 1 平面向量的概念与表示 向量的基本概念 我们把既有方向 又有大小的量叫做向量 vector 带有方向的线段叫做有向线段 我们在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向 以为起点 为终点的有向线段记做 起点写在终点的前面 有向线段包含三个要素 起点 方向 长度 向量可以用有向线段来表示 向量的大小 也就是向量的长度 或称模 记做 长度为 的向量叫做零向量 zero vector 记做 零向量的方向不确定 长度等于 个单位的向 量 叫做单位向量 unit vector 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量 parallel vectors 向量 平行 通常记做 规定零向量与任一向量平行 即对于任意向量 都有 相等向量与共线向量 A BAB AB 00 1 a b a b a 0 a 例题 描述 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量 equal vector 向量 与 相等 记做 任一组平行向量都可以移动到同一直线上 因此 平行向量也叫做共线向量 collinear vectors 2 平面向量的加减法 向量的加法运算 a b a b 下列四个命题 时间 速度 加速度都是向量 向量的模是一个正实数 相等向量一定 是平行向量 共线向量一定在同一直线上 若 是单位向量 则 若 非零向量 与 是共线向量 则四点 共线 其中真命题的个数为 A B C D 解 B 只有 正确 a b a b AB CD A B C D 0123 下列说法正确的是 A 零向量没有大小 没有方向 B 零向量是唯一没有方向的向量 C 零向量的长度为 D 任意两个单位向量方向相同 解 C 零向量的长度为 方向是任意的 故 A B 错误 C 正确 任意两个单位向量的长度相等 但 方向不一定相同 故 D 错误 0 0 如图所示 是正六边形 的中心 1 与 的模相等的向量有多少个 2 是否存在与 长度相等 方向相反的向量 3 与 共线的向量有哪些 解 1 因为 的模等于正六边形的边长 而在图中 模等于边长的向量有 个 所以共 有 个与 的模相等的向量 2 存在 是 3 有 OABCDEF OA OA OA OA 12 11OA FE FE CB DO 向量加法的三角形法则 已知非零向量 在平面内任取一点 作 则向量 叫做 与 的和 或和向量 记作 即 求两个向量和的运算 叫做向量的加法 这种求向量和的方法 称为向量加法的三角形法则 向量加法的平行四边形法则 以同一点 为起点的两个已知向量 为邻边作平行四边形 则以 为起点的 对角线 就是 与 的和 我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形 法则 对于零向量和任一向量 我们规定 向量加法的运算律 交换律 结合律 向量减法运算 已知向量 如图 作 作 则 向量 叫做向量 与 的差 并记作 即 如果把两个向量的始点放在一起 则这两个向量的差是以减向量的终点为始点 被减向量的终点 为终点的向量 由 式还可以推知 一个向量 等于它的终点相对于点 的位置向量 减去它的始点相对于点 的位置向量 或简记 终点向量减去始点向量 与 方向相反且等长的向量叫做 的相反向量 记作 任一向量与其相反向量的和是 a b A AB a BC b AC a b a b a b AB BC AC Oa b OACBO OCa b a a 0 0 a a a b b a a b c a b c a b OA a OB b b BA a BA a b a b BA a b OA OB BA O OA OOB a a a 例题 零向量 即 零向量的相反向量仍为零向量 向量 加上 的相反向量 叫作 与 的差 即 求两个向量 差的运算 叫作向量的减法 作 以 为邻边作平行四边形 连接 观察图形 不难看出 向量 表示向量 与 的和 也就是向量 a a 0 a b a b a b a b OA a OB b OA OB OACBBABA a b a b 化简下列各式 1 2 解 1 2 PB OP OB AB MB BO OM 2PB OP OB OP PB OB OB OB OB AB MB BO OM AB BO OM MB AO OB AB 已知下列各式 其中结果为 的个数为 A B C D 解 B 利用向量加法运算律 AB BC CA AB MB BO OM OA OC BO CO AB CA BD DC 0 1234 AB BC CA AC CA 0 AB MB BO OM AB OA OC BO CO BA AB CA BD DC 0 化简 解 AB CD AC BD AB CD AC BD AB CD AC BD AB AC DC BD CB BD CD 0 给出下列运算 其中所有正确的序号是 解 AB AC BC 0 AB CB CA 0 AB AC BD CE ED AB CD AC BC CD 描述 例题 3 平面向量的数乘与平行 向量的数乘 一般地 我们规定实数 与向量 的积是一个向量 这种运算叫做向量的 数乘 multiplication of vector by scalar 记作 它的长度规定如下 当 时 的方向与 的方向相同 当 时 的方向与 的方向相反 当 时 中的实数 叫做向量 的系数 数乘向量的几何意义就是把向量 沿着 的方向 或 的反方向放大或缩小 数乘运算规律 设 为实数 那么 特别地 向量的加法 减法和数乘向量的综合运算 通常叫做向量的线性运算 平行向量基本定理 如果 则 反之 如果 且 则一定存在唯一一个实数 使 所以 正确 所以 正确 所以 正确 所以 不正确 AB AC BC CB BC 0 AB CB CA CA AB CB CB CB 0 AB AC BD CE AB AC BD CE CB BD CE CD CE ED AB CD AC BC AB BC AC CD AC AD DC CD a a a a 0 a a 0 a a 0 a 0 a a a a a a a a a a a b a b a a a a b a b a b a b a b b 0 a b 化简下列各式 1 2 解 1 4 3 6 7 2 3 a b 1 3 b 1 4 a b a b a b 2 原式 4 3 2 3 a b 1 3 b 3 2 a 7 4 b 4 3 2 3 3 2 a 1 3 7 4 b 2 3 5 2 a 11 12 b 5 3 a 11 18 b 原式 a b a b a b 2 2 a b 关于向量 有 其中 不共线 其中 共线的有 填上所有正确的序号 解 中 所以 中 所以 中 所以 中不存在非零实数 使 所以 与 不共线 a b 2a e 2b e a e1 e2 2 2b e1 e2 4 a e1 2 5 e2 b e1 1 10 e2 a e1 e2 2 2b e1 e2 e1 e2 a b a b a b 2b a a b 4 4a e1 1 10 e2 b a b a b a b 设两个非零向量 不共线 1 若 求证 三点共线 2 试确定实数 使 与 共线 1 证明 因为 所以 所以 与 共线 且有公共起点 所 以 三点共线 2 解 因为 与 共线 所以存在实数 使得 即 因为 是不共线的非零向量 所以 所以 a b AB a b 2 8BC a b 3 CD a b A B D kk a b ka b AB a b 2 8BC a b 3 CD a b 6 6 6AD AB BC CD a b AB AB AD A A B D k a b ka b k k a b a b k k 1 a b a b k 0 k 1 0k 1 四 课后作业 查看更多本章节同步练习题 请到快乐学 高考不提分 赔付1万元 关注快乐学了解详情 答案 1 下列命题 时间 速度 加速度都是向量 向量的模是一个非负实数 所有的单位向 量都相等 共线向量一定在同一条直线上 其中真命题的个数为 A 个B 个C 个D 个 B 123 4 0123 答案 解析 2 设 分别为 的三边 的中点 则 A B C D C D E F ABCBC CA AB EB FC BC 1 2 AD AD 1 2 BC EB FC EC FB 1 2 AB AC 答案 解析 3 已知向量 不共线 如果 那么 A 且 与 同向B 且 与 反向 C 且 与 同向D 且 与 反向 D 当 a b k k R c a b d a b c d k 1c d k