高中数学导数在实际应用的应用问题教案.doc

一. 教学内容：导数在实际生活中的应用二. 重点、难点：教学重点：能用导数方法求解有关利润最大、用料最省、效率最高等最优化问题；感受导数在解决实际问题中的作用教学难点：实际问题转化为数学问题的能力三. 主要知识点：1. 基本方法：（1）函数的导数与函数的单调性的关系：设函数yf（x）在某个区间内有导数，如果在这个区间内0，那么函数yf（x）为这个区间内的增函数；如果在这个区间内0，那么函数yf（x）为这个区间内的减函数. （2）用导数求函数单调区间的步骤：求函数f（x）的导数f（x）. 令f（x）0解不等式，得x的范围就是递增区间. 令f（x）0解不等式，得x的范围，就是递减区间. （3）判别f（x0）是极大、极小值的方法：若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值. （4）求函数f（x）的极值的步骤：确定函数的定义区间，求导数f（x）. 求方程f（x）0的根. 用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格. 检查f（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值. （5）利用导数求函数的最值步骤：（1）求在内的极值；（2）将的各极值与、比较得出函数在上的最值. 2、基本思想：学习的目的，就是要会实际应用，本讲主要是培养学生运用导数知识解决实际问题的意识，思想方法以及能力. 解决实际应用问题关键在于建立数学模型和目标函数. 把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化，形式化，抽象成数学问题，再化为常规问题，选择合适的数学方法求解. 根据题设条件作出图形，分析各已知条件之间的关系，借助图形的特征，合理选择这些条件间的联系方式，适当选定变化区间，构造相应的函数关系，是这部分的主要技巧【典型例题】例1、在边长为60 cm的正方形铁片的四角上切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？思路一：设箱底边长为x cm，则箱高cm，得箱子容积V是箱底边长x的函数：，从求得的结果发现，箱子的高恰好是原正方形边长的，这个结论是否具有一般性？变式：从一块边长为a的正方形铁皮的各角截去相等的方块，把各边折起来，做成一个无盖的箱子，箱子的高是这个正方形边长的几分之几时，箱子容积最大？提示：答案：评注：这是一道实际生活中的优化问题，建立的目标函数是三次函数，用过去的知识求其最值往往没有一般方法，即使能求出，也要涉及到较高的技能技巧. 而运用导数知识，求三次目标函数的最值就变得非常简单，对于实际生活中的优化问题，如果其目标函数为高次多项式函数，简单的分式函数，简单的无理函数，简单的指数，对数函数，或它们的复合函数，均可用导数法求其最值. 可见，导数的引入，大大拓宽了中学数学知识在实际优化问题中的应用空间. 例2、（2006年福建卷）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量为y（升），关于行驶速度（千米/小时）的函数解析式可以表示为：例6、在甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40 km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50 km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？解：设BCDQ，则BC，CD40cot，（0，AC5040cot设总的水管费用为f（），依题意，有f（）3a（5040cot）+5a150a+40af（）40a令f（）0，得cos根据问题的实际意义，当cos时，函数取得最小值，此时sin，cot，AC5040cot20（km），即供水站建在A、D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省. 【模拟试题】（答题时间：60分钟）一、选择题1. 一个物体的运动方程为其中的单位是米，的单位是秒，那么物体在秒末的瞬时速度是（ ）A. 米/秒 B. 米/秒 C. 米/秒 D. 米/秒2. 如果为偶函数，且导数存在，则的值为 （ ）A. 2 B. 1 C. 0 D. 13. 是函数值的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件4. 当时，有不等式 （ ）A. B. 当时 ，当时 C. D. 当时，当时5. 方程在的实根个数为 （ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 46. 设函数在区间上是减函数，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 二、填空题7. 曲线在点处的切线方程为_. 8. 若函数有三个单调区间，则的取值范围是 .9. 设底为等边三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为_三、解答题10. 设函数的图象如图所示，且与在原点相切，若函数的极小值为， （1）求的值；（2）求函数的递减区间. 11. 某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量（吨）与每吨产品的价格（元/吨）之间的关系式为：，且生产x吨的成本为（元）. 问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？（利润收入成本）12. 已知在与时，都取得极值. （1）求的值；（2）若，求的单调区间和极值；（3）若对都有恒成立，求的取值范围 【试题答案】 1. C 2. C 3. D 4. C 5. A 6. D7. 8. 9. 解析：设底面边长为x，则高为h，S表3x+2x2+x2S+x令S0，得x答案：10. 解析：（1）函数的图象经过（0，0）点 c0，又图象与x轴相切于（0，0）点，3x2+2ax+b 0302+2a0+b，得b0 yx3+ax2，3x2+2ax当时，当时，当x时，函数有极小值4 ，得a3（2）3x26x0，解得0x2 递减区间是（0，2）11. 解：每月生产x吨时的利润为，故它就是最大值点，且最大值为： 答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元12. 解：（1）f（x）3x22a xb0. 由题设，x1，x为f （x）0的解. a1，1（）. a，b2. （2）f（x）x3x22 xc，由f （1）12c，c1. f（x）x3x22 x1. x （，） （，1） （1，） f （x） f （x）的递增区间为（，），及（1，），递减区间为（，1）. 当x时