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52 高中数学课程中的 球面几何 续 张劲松 刘长明 人民教育出版社中学数学室 100081 4 2 球面三角形的周长 这是一个 很有趣的 问 题 由于球面三角形的每条 边长都是大圆的劣弧 都小 于大圆周长的一半 因此 球面三角形的周长小于 3 2 个大圆周长 不能任意长 实际上 球面三角形的周 长可以更小 其周长小于大圆周长 这个结论很重要 我们给出它的证明 证明 如图 10 设球面 ABC 的三条边分别 为a b c 球心为 O 连结 OA OB OC 那么 O ABC 是一个三面角 在三面角 O ABC 中 连结 AB BC AC 由于 球面三角形的边长与三面角的面角之间的对应关 系 我们把球面三角形的边长问题转化为三面角的 面角问题 因为 AOB OA B OBA BOC OBC OCB COA OAC OCA 所 以 AOB BOC COA 3 OA B OBA OBC OCB OCA OA C 因为三面角中的任意两个面角之和大于第三 个面角 所以 OA B OA C CAB OBA OBC ABC OCB OCA BCA 又因为 CA B ABC BCA 所以 OA B OBA OBC OCB OCA OA C CAB ABC BCA 所以 AOB BOC COA 3 OAB OBA OBC OCB OCA OAC 2 所以 三面角 O ABC 三个面角的和小于 2 因此 球面 ABC 的周长小于大圆周长 4 3 球面三角形的内角和 我们知道 平面三 角形的一 个非常 重要 的性质是 内角和 等于 球面三角形的内角和 是否也是一个定值呢 如图 11 通过两条 经线与赤 道构成 的球 面 ABC 的研究 我们 知道 它的三个内角的 和 ABC ACB BA C BA C 这说明球面上存在一个三角形 它的内角和大 于 从球面 三角 形 的面 积 角 度看 显 然 球 面 ABC 的面积等于 1 4 上半球面面积 或说等于 1 8 球面面积 如果球的半径为 r 那么 球面 ABC 的面积 1 8 4 r 2 1 2 r 2 3 2 r 2 ABC ACB BA C r2 如果我们再在赤道上取一点 D 点 D 所在的经 线是东经 120 这时球面 ABD 的面积是多少 如图 12 容易知 道 球面角 ABD 2 ADB 2 BAD 2 3 因 此 球面 ABD 的三个内 角的和 ABD ADB BAD 5 3 球面 ABD 的面积 1 6 4 r 2 2 3 r 2 5 3 r 2 ABD ADB BA D r 2 一般地 在半径为 r 的球面上 是否有 任意球面 ABC 的面积 A B C r2 A B C分别为 A B C的弧度数 事实上 这个猜想是正确的 即 在半径为 r 的球面上 任意球面 ABC 的面积 A B C r2 A B C分别为 A B C 的弧度数 特别地 在单位球面上 球面 ABC 的面 积 A B C 上述结论说明 球面三角形的内角和大于 这个结论非常重要 我们给出它的证明 分析 如图 13 直接 求球面 ABC 的面积不容易 但是 求 月 形 球 面 二 角 形 的面积容易 月 形 ABA C 的面积等 于球面面积的 2 倍 其中 球面角 BAC A A 互为对径 点 而且月形 ABA C 可以看作由球面 ABC 和球 面 A BC 拼接在一起 因此 我们考虑把求球面 ABC 的面积转化为求某些月形的面积 证明 如图 13 因为月形的两个顶点互为对 径点 设 A B C三点的对径点分别为 A B C 我 们分别观察以 A B C为顶点的三个月形 以 A 为顶点的月形A BA C 它可以看作由球面 ABC 和球面 A BC 拼接在一起 以 B为顶点的月形 BCB A 它可以看作由球面 BCA 和球面 B CA 拼接在一起 以 C 为顶点的月形CA C B 它可以看作由球面 CAB 和球面 C A B 拼接在一起 设球面 ABC 的三个内角 A B C分别 为 A B C 弧度 下面求月形 ABA C 的面积 我们知道 月形 ABA C 的面积等于整个球面面 积的 A 2 倍 即 月形 ABA C 的面积 A 2 4 r 2 2Ar 2 因此 球面 ABC 的面积 球面 A BC 的面积 月形 ABA C 的面积 2Ar 2 1 球面 ABC 的面积 球面 B CA 的面积 月形 BCB A 的面积 2Br 2 2 球面 ABC 的面积 球面 C BA 的面积 月形 CA C B 的面积 2Cr 2 3 又因为 球面 ABC 的面积 球面 A BC 的面积 球面 B CA 的面积 球面 CA B 的面积 左半 球面面积 4 2007 年 第 46 卷 第 9 期 数学通报 54 球面 CA B 的面积 球面 C AB 的面积 5 1 2 3 得 3 球面 ABC 的面积 球面 A BC 的面积 球面 B CA 的面积 球面 C BA 的面积 2 A B C r 2 6 将 4 5 代入 6 得 2 球面 ABC 的面积 2 r2 2 A B C r2 即 球面 ABC 的面积 A B C r2 因为面积是一个正数 因此 球面三角形的内角和大于 从这个命题的证明过程 我们不难看出 较强 的几何直观能力和空间想象能力是完成这个命题 证明的基础 显然 这个结论与平面三角形的内角和等于 有很大区别 也是球面几何不同于平面几何的重要 特征之一 进一步再考虑 球面三角形的内角和是不是可 以任意大 由于球面三角形的内角所对的边都小于大圆 周的一半 所以每个内角都小于 内角和小于 3 因此球面三角形的内角和不能任意大 其内角和显 然小于 3 实际上 由于球面三角形的周长小于大 圆周长 球面三角形的内角和可以更小 可以证明 球面三角形的内角和小于 2 实际上 从直观上看 任意一个球面三角形都不会超过整个球面的 1 4 而 球面的面积 S 4 r 2 所以 A B C r2 1 4 4 r 2 因此 A B C 2 在探索球面三角形的内角和过程中 我们建立 了球面三角形的面积与其内角和之间的关系 并用 了 如果两个球面三角形的三对角对应相等 那么 这两个球面三角形全等 这样一个完全不同于平 面三角形全等的结论 下面我们看一下球面三角形 的全等问题 5 球面三角形的全等 类似于平面三角形全等的定义 我们规定两个 球面三角形全等是指两个图形完全相等 即球面三 角形的六个元素 三条边 三个角分别相等 由于球面的半径不同 球面的大小也不一样 所以研究球面三角形的全等问题 只能在同一球面 上或半径相等的球面上才有意义 借助三面角这个 脚手架 我们很容易证明下 面一些球面三角形全等的判定定理 5 1 边边边 s s s 判定定理 如果两个球面三角形的三条边对应相等 那么 这两个球面三角形全等 5 2 边角边 s a s 判定定理 如果两个球面三角形的两条边对应相等 且它 们的夹角也相等 那么这两个球面三角形全等 5 3 角边角 a s a 判定定理 如果两个球面三角形的两对角对应相等 且它 们的夹边也相等 那么这两个球面三角形全等 5 4 角角角 a a a 判定定理 如果两个球面三角形的三对角对应相等 那么 这两个球面三角形全等 这个结论 我们可以这样理解 若两个球面三 角形的三对内角相等 那么它们的面积一定相等 所以 若两个球面三角形的三对内角相等 可以理 解为形状一样 则它们的面积必相等 可以理解 为大小一样 形状和大小一样的两个三角形当然 全等 所以在球面上有两个球面三角形全等的 角 角角 a a a 定理 下面我们给出它的证明 已 知 单 位 球 面 上 有 两 个 球 面 ABC 和 DEF 它们三对角对应相等 即 A D B E C F 求证 球面 ABC 球 面 DEF 分析 由于已经学过三个判定球面三角形全 等的判定定理 我们尝试把球面三角形中角的关系 转化为边的关系 由边的关系判定球面三角形全 等 由于球面三角形与它的球极三角形之间存在定 量的边角关系 因此我们设法通过构造球面三角形 的球极三角形 把球面三角形的角的关系转化为其 球极三角形的边的关系 进而证明结论 证明 设单位球面上球面 ABC 和 DEF 的 极 对 称 三 角 形 分 别 为 球 面 A B C 和 D E F 根据球面三角形和球极三角形之间的关 系 有 a A d D 数学通报2007 年 第 46 卷 第 9 期 55 b B e E c C f F 又因为 A D B E C F 所以 a d b e c f 因此 球面 A B C 球面 D E F 所以 A D B E C F 又根据球面三角形和球极三角形之间的关系 有 a A d D b B e E c C f F 所以 a d b e c f 因此 球面 ABC 球面 DEF 从球面三角形全等的 角角角 a a a 定理可 见 平面几何与球面几何有显著不同之处 在平面 几何中 如果两个三角形的三对角相等 那么这两 个三角形相似 不一定全等 而在同一个球面上 如 果两个球面三角形的三对角对应相等 那么这两个 球面三角形全等 也就是说 在同一个球面上 不存 在相似三角形这个概念 或者说 相似 的三角形 必定全等 从球面三角形的全等 我们不难看出 对于一 个球面三角形来说 边就是角 角就是边 在下面 球面三角形的边角关系 正弦定理 余弦定理 中 我们会定量地看到这种关系 6 球面多边形与欧拉公式 6 1 球面多边形的内角和 与先 学平面三 角 形 再学平面多边形一 样 我们在球面三角形 的基础上 自然引进球 面多边形的概念 我们知道 在平面 上 n n 3 条首尾相 接且互不相交的线段 围成的封闭图形叫做 n 边形 类似地 如图 14 在球面上有 n 个点 A1 A2 A3 An 且任意三点 不在同一个大圆上 经过这 n 个点中任意两点作大 圆 首尾顺次连结劣弧 A1A2 A2A3 An 1An 如 果这些劣弧互不相交 那么就把这些劣弧组成的封 闭图 形 叫 做 球 面 n 边 形 记 为 球 面 n 边 形 A1A2 An 1An 点 A1 A2 An称为球面 n 边形的 顶点 A1 A2 An称为球面n 边形的内角 类 似 平 面 凸 多 边 形 如 果 球 面 n 边 形 A1A2 An 1An总在它的每一边所在大圆的半个球 面内 那么称这个球面多边形为球面凸 n 多边形 这 里 我们只研究球面凸 n 多边形 在平面几何中 我们知道 平面 n 边形的内角和 为 n 2 在单位球面上 球面 ABC 的面积 S A B C 所以球面三角形的内角和为 S 我们大胆猜想 单位球面上 球面 n n 3 边形 的内角和等于 n 2 S 其中 S 为球面n 边形的 面积 事实上 这个结论是成立的 设单位球面上的 n n 3 边形 A1A2 An 1An 的 n 个内角分别为 A1 A2 An 它们的弧 度数分别为 A1 A2 An S为这个球面n 边形的面 积 则 A1 A2 An n 2 S 当 n 3 时 就是球面三角形的面积公式 结论 显然成立 当 n 4 时 我们总可以把两个不相邻的 顶点用大圆弧连结起来 由于这两个不相邻的顶点 都在一个大圆的半个球面内 所以这段圆弧是劣 弧 因此这段劣弧把球面四边形分为两个球面三角 形 而这两个球面三角形面积的和等于球面四边形 的面积 依次类推 便可得到球面 n 边形的面积 进 而得到球面 n 边形的内角和公式 6 2 用球面多边形的内角和公式证明欧拉公式 我们知道 多面体是由若干个平面多边形所围 成的封闭的几何体 如果一个多面体在它的每一个 面所决定的平面的同一侧 这个多面体称为凸多面 体 如果把多面体想象成由橡皮膜围成的 对这个 橡皮膜做成的多面体进行充气 如果能变成一个球 面 我们把这样的多面体叫做简单多面体 如果用 V 表示简单多面体的顶点数 E 表示简 单多面体的棱数 F 表示简单多面体的面数 通过计 算 我们发现 V E F 2 这个结论被称为简单多面体的欧拉公式 从橡皮变换角度看 简单多面体与球等价 简 单多面体的表面与球面等价 这时 我们大胆想象 橡皮膜变成球面后 组成简单多面体的每个面的各 条边可以与球面多边形建立一定的联系 而且在变 2007 年 第 46 卷 第 9 期 数学通报 56 化过程中 简单多面体的顶点数 棱数 面数都保持 不变 下面我们用球面多边形的内角和公式证明拓 扑学中的著名公式 欧拉公式 证明 我们设想简单多面体 的表面是由橡 皮膜围成的 所以它是可以任意变形的 即它的各 棱可以任意伸长 缩短或弯曲 我们在这个橡皮膜的简单多面体 中 吹入足 够的空气 使它变成一个单位球面 在变形过程 中 保持橡皮膜不被吹破 这样 简单多面体 的一 个顶点就变成单位球面 上的一个点 的一条棱就 变成 上的一段曲线 此时 的各边就变成 上的一 个 网络 此时 再调整此 网络 使其上的每一条 曲线都变成 上的一段大圆弧 这样 就把简单多面 体 变成整个球面 且 的一个面变成 上的多边 形 这时 的顶点数 棱数 面数与 上的顶点数 棱 数 面数完全相同 我们把简单多面体 转化为单位球面 上的 网络 现在 只需研究 上的顶点数 棱数 面数关 系就可以了 把 的各个面编号 1 2 F 的第 1 个面变 成 上的第 1 个球面多边形 设此球面多边形有 n1 条边 它的 n1个内角的弧度数分别为 1 2 n1 其面积为 S1 由球面多边形的内角和公式有 1 1 n1 n1 2 S1 1 同理 的第2个面变成 上的第 2个球面多边形 设 此球面多边形有n2条边 它的 n2个内角的弧度数分 别为 1 2 n2 其面积为 S2 由球面多边形的内 角和公式有 1 2 n2 n2 2 S2 2 的第F 个面变成 上的第F 个球面多边形 设此球 面多边形有 nF条边 它的 nF个内角的弧度数分别 为 1 2 nF 其面积为 SF 由球面多边形的内角 和公式有 1 2 CnF nF 2 P SF F 我们将这 F 个式子相加 左边就是球面上 F 个 多边形的内角和 也就是围绕每个球面多边形顶点 球面多边形内角的和 而每个顶点处球面多边形的 内角和为 2P 又由于球面上 网络0 的 顶点0 数与 G 的顶点数是相同的 均为 V 故这 F 个式子相加后 左边 2PV 另一方面 右边 n1 2 P S1 n2 2 P S2 nF 2 P SF E F j 1 nj 2PF E F j 1 Sj E F j 1 nj 2PF S 其中 S 表示球面的面积 F 个球面多边形覆盖整个 球面 其面积和为球面的面积 S E F j 1 Sj 4P 我 们注意到 E F j 1 nj表示球面上 F 个球面多边形边数 总和的 2 倍 这是因为 在这个总和中 每一个球面 多边形的每一条边都被计算了 2 次 每一条边恰为 某两个球面多边形的公共边 所以 E F j 1 nj 2E E 为简单多面体的棱数 因此 2PV 2P E 2P F 4P 即 V E F 2 简单多面体的欧拉公式是拓扑学中的一个重 要公式 上述证明说明 球面几何与拓扑学有着紧 密的联系 7 球面三角形的边角关系 711 球面三角形的正弦定理和余弦定理 我们知道 平面三角形的边与角之间存在定量 的边角关系 正弦定理和余弦定理 在球面上 球面三角形的边与角之间也存在类似平面三角形 的定量关系 我们称之为球面上的正弦定理 余弦 定理 球面上的正弦定理 设半径为 r 的球面上的 球面 v ABC 的边长分别为a b c 三内角分别为 A B C 则 sinA sin a r sinB sin b r sinC sin c r 球面上的余弦定理 设的半径为 r 的球面上 的球面 v ABC 的三边长分别为 a b c 三内角分别 为 A B C 则 cos a r cos b r cos c r sin b r sin c r cosA cos b r cos c r cos a r sin c r sin a r cosB cos c r cos a r cos b r sin a r sin b r cosC 数学通报2007 年 第 46 卷 第 9 期 57 作为球面上余弦定理的应用 我们可以由地球 表面上任意两点的经度和纬度 求得它们两点间的 距离 712 从球面上的正弦定理看球面和平面 观察单位圆中的正弦线长与相应的弧长 可以 发现 当角度越来越小时 它们的值越来越接近 也 就是说 当边长趋近于 0 时 边长的正弦值可以近似 地看作边长 即当 a b c 很小时 sina U a sinb U b sinc U c 设球的半径为 r 则在此球面上的正弦定理为 sinA sin a r sinB sin b r sinC sin c r 当 a r b r c r 很小 即 a比r b比r c比r 小得多 时 a r 0 b r 0 c r 0 此时 sin a r U a r sin b r U b r sin c r U c r 所以sinA a r sinB b r sinC c r 可以近似表示为 sinA a sinB b sinC c 这说明 当球面三角形的边长相对于球的半径 来说很小时 球面上的正弦定理可以近似用平面上 的正弦定理表示 因此 相对于球面很小的一块区 域 这块很小的区域可以近似地看作平面 或者说 平面可以看作半径无穷大的球面 总之 球面几何 专题的开设应把握下面几 点 11 球面上两点间的距离是本专题的核心概念 本专题从球面上两点间的距离逐步展开 理解这个 概念是学习本专题的基础 21 类比是学习本专题最重要的思想方法 类比 平面上的直线 角 三角形 我们引入球面