立体几何中的应用与空间.doc

第5节 空间向量在立体几何中的应用重点难点重点：用向量方法讨论空间中的平行、垂直关系和求空间的角、距离难点：将立体几何问题转化为向量问题知识归纳一、空间中的角空间中的角包括两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角这些角都是通过两条射线所成的角来定义的，因而这些角的计算方法，都是转化为平面内线与线所成的角来计算的确切地说，是“化归”到一个三角形中，通过解三角形求其大小1异面直线所成的角：异面直线的夹角一般采用平移法，把它们化归到一个三角形中再通过解三角形求得而利用向量法则可直接运用两直线的方向向量的夹角公式来求得其取值范围是(0,90.2直线和平面所成的角：平面的斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角直线与平面所成角的范围是0,900时，直线在平面内或与平面平行90时，直线与平面垂直3二面角的平面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，在二面角的棱上任取一点O，在两个半平面内以O为垂足作棱的垂线OA与OB，则AOB叫做二面角的平面角二面角的取值范围是0,180). 0时两个半平面共面；090时为锐二面角；90时为直二面角；90180时为钝二面角作二面角的平面角的常用方法有：(1)定义法：根据定义，以棱上任一点为端点，分别在两个半平面内作垂直于棱的两条射线，则形成二面角的平面角(2)三垂线法：从二面角一个面内某个特殊点P作另一个面的垂线，过垂足A作二面角棱的垂线，垂足为B，连结PB，由三垂线定理得PB与棱垂直，于是PBA是二面角的平面角(或其补角)(3)垂面法：过二面角的棱上一点作平面与棱垂直，分别交两个面的交线，构成二面角的平面角二、空间中的距离1(1)两点间的距离连结两点的线段的长度(2)点到直线的距离从直线外一点向直线引垂直相交的直线，点到垂足之间线段的长度(3)点到平面的距离从平面外一点向平面引垂线，点到垂足间线段的长度连接平面外一点与平面内任一点的线段中，垂线段最短(4)平行直线间的距离从两条平行线中一条上任意取一点向另一条直线引垂线，这点到垂足间线段的长度(5)异面直线间的距离两条异面直线的公垂线夹在这两条异面直线间的线段的长度 (6)直线与平面间的距离如果一条直线和一个平面平行，从直线上任意一点向平面引垂线，这点到垂足间线段的长度(7)两平行平面间的距离两个平面的公垂线段的长度2求距离的一般方法和步骤求距离的思想方法和步骤与求角相似，其基本步骤是：找出或作出有关距离的图形；证明它符合定义；在平面图形内计算空间中各种距离的计算，最终都要转化为线段长度，特殊情况也可以利用等积法三、平面的法向量1如果表示向量a的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作a，如果a，那么向量a叫做平面的法向量2. 求平面法向量的方法设n是平面M的一个法向量，AB、CD是M内的两条相交直线，则=0，=0. 由此可以求出一个法向量n（及已知）.思想方法点拨一、运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题的一般步骤建立恰当的空间直角坐标系；求出相关点的坐标；写出向量的坐标；结合公式进行计算，论证；转化为几何结论二、用空间向量研究空间线面的平行与垂直关系1用向量方法研究两直线间的位置关系设直线l1、l2的方向向量分别为a、b.(1) l1l2或l1与l2重合ab存在实数t，使atb.(2) l1l2abab0.2用向量方法研究直线与平面的位置关系设直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，v1、v2是与平行的两个不共线向量(1)l或l存在两个实数、，使av1v2an0.(2)lan存在实数t，使atn.3用向量方法研究两个平面的位置关系设平面、的法向量分别为n1、n2.(1)或与重合 n1n2存在实数t，使n1t n2.(2) n1n2 n1n20.若v1、v2是与平行的两个不共线向量，n是平面的法向量则或与重合 v1且v2存在实数、，对内任一向量a，有av1v2.三、用向量法求空间的角1求异面直线所成的角设l1与l2是两异面直线，a、b分别为l1、l2的方向向量，l1、l2所成的角为，则a，b与相等或互补，则.2. 求直线与平面所成的角如图，设l为平面的斜线，a为的方向向量，n为平面的法向量，为l与平面所成的角，则3、求二面角平面与相交于直线l，平面的法向量为n1，平面的法向量为n2，= ，则二面角为或. 设二面角的大小为，则.四、用向量法求空间距离1、求点到平面的距离如图所示，已知点，平面内一点，平面的一个法向量n，直线与平面所成的角为，则. 由数量积的定义知，n=|n|，所以点到平面的距离.2、求异面直线间的距离如右图，若CD是异面直线a，b上的公垂线，A、B分别是a，b上的任意两点，令向量na，nb，则n/CD. 则由得，n=n+n+n，所以n=n，所以|n|=|n|，故，所以，异面直线a、b间的距离为.3、求直线到平面的距离设直线a/平面，n是平面的法向量，过A作，垂足为C，则/n. 因为n= n=n，所以|n|=|n|，故直线a到平面的距离为 4、求两平行平面间的距离（1）用公式求，n为两平行平面的一个法向量，A、B分别为两平面上的任意点.（2）转化为点面距或线面距求解.课堂典例讲练 题型一 用向量证明平行例1在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点求证：MN平面A1BD.证明：方法1：如图所示，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则可求得M，N，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，于是，设平面A1BD的法向量是n(x，y，z)则n0，且n0，取x1，得y1，z1.n(1，1，1)又n(1，1，1)0，n，又MN平面A1BD，MN平面A1BD.方法2：()，又MN平面A1BD.MN平面A1BD.点评：(1)证明直线l1l2时，分别取l1、l2的一个方向向量a、b，则ab存在实数k，使akb或利用其坐标(其中a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)(2)证明直线l平面时，可取直线l的方向向量a与平面的法向量n，证明an0；可在平面内取基向量e1，e2，证明直线l的方向向量a1e12e2，然后说明l不在平面内即可；在平面内找两点A、B，证明直线l的方向向量n.(3)证明平面平面时，设、的法向量分别为a、b，则只须证明ab. 题型二 用向量证明线面垂直例2在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为棱AB和BC的中点，试在棱B1B上找一点M，使得D1M平面EFB1.证明：分别以DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz，则A(1,0,0)，B1(1,1,1)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，E，M(1,1，m)(1,1,0)，又E、F分别为AB、BC的中点，.又，(1,1，m1)，D1M平面FEB1，D1MEF且D1MB1E.即0，且0.，m.故取B1B的中点M就能满足D1M平面EFB1.点评：证明直线 l1与l2垂直时，取l1、l2的方向向量a、b，证明ab0.证明直线l与平面垂直时，取的法向量n，l的方向向量a，证明an.或取平面内的两相交直线的方向向量a、b与直线l的方向向量e，证明ae0，be0.证明平面与垂直时，取、的法向量n1、n2，证明n1n20.或取一个平面的法向量n，在另一个平面内取基向量e1，e2，证明ne1e2.题型三 用向量法证明面面垂直与面面平行例3已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E、F、G分别是BB1、DD1、DC的中点，求证：(1)平面ADE平面B1C1F；(2)平面ADE平面A1D1G；(3)在AE上求一点M，使得A1M平面DAE.解析：以D为原点，、为正交基底建立空间直角坐标系Oxyz，则D(0,0,0)，D1(0,0,2)，A(2,0,0)，A1(2,0,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)，G(0,1,0)，B1(2,2,2)，C1(0,2,2)(1)设n1(x1，y1，z1)，n2(x2，y2，z2)分别是平面ADE、平面B1C1F的法向量，则n1，n1.，取y11，z12，n1(0,1，2)同理可求n2(0,1，2)n1n2，平面ADE平面B1C1F.(2)(2,0,0)(0,1，2)0，.(0,2,1)(0,1，2)0，.、不共线，D1G平面ADE.又D1G平面A1D1G，平面ADE平面A1D1G.(3)由于点M在AE上，所以可设(0,2,1)(0,2，)，M(2,2，)，(0,2，2)要使A1M平面DAE，只需A1MAE，(0,2，2)(0,2,1)520，.故当AMAE时，A1M平面DAE.跟踪练习1已知四棱锥PABCD的底面是直角梯形，ABCBCD90，ABBCPBPC2CD，侧面PBC底面ABCD.(1)证明：PABD；(2)证明：平面PAD平面PAB.证明：(1)取BC的中点O，侧面PBC底面ABCD，PBC为等边三角形，PO底面ABCD.以O为坐标原点，以BC所在直线为x轴，过点O与AB平行的直线为y轴，建立如图所示空间直角坐标系不妨设CD1，则ABBC2，PO.A(1，2,0)，B(1,0,0)，D(1，1,0)，P(0,0，)(2，1,0)，(1，2，)0，PABD.(2)取PA的中点M，连结DM，则M.，(1,0，)，0，即DMPA.又0，即DMPB.DM平面PAB，平面PAD平面PAB.点评：线线垂直即直线的方向向量垂直；线面垂直即直线的方向向量与平面的法向量平行；面面垂直即二平面的法向量垂直.题型四 用向量法求异面直线所成的角例4(2010衡水市模考)正四棱锥PABCD的所有棱长相等，E为PC的中点，那么异面直线BE与PA所成角的余弦值等于（ ）A B C D解析：以，为基向量，则()()，由条件知，|1，0，(|2)，|2(|2|2|2222)(111011)，|，cos，故选D.点评：由几何体的特殊性，在求|时，可直接在正三角形PBC中得|BE.可连结AC，取AC中点O，则EOPA，BEO为所求角，通过解BEO求得.题型五 线面角例5如图，已知点P在正方体ABCDABCD的对角线BD上，PDA60.(1)求DP与CC所成角的大小；(2)求DP与平面AADD所成角的大小解析：如图，以D为原点，DA为单位长建立空间直角坐标系Dxyz.则(1,0,0)，(0,0,1)，连结BD，BD.在平面BBDD中，延长DP交BD于H.设(m，m,1)(m0)，由已知，60，由|cos，可得2m.解得m，所以.(1)因为cos，所以，45，即DP与CC所成的角为45.(2)平面AADD的一个法向量是(0,1,0)因为cos，跟踪练习2(2010湖南理)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱DD1的中点(1)求直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值；(2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F平面A1BE？证明你的结论解析：设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系.(1)依题意，得B(1,0,0)，E(0,1，)，A(0,0,0)，D(0,1,0)，所以(1,1，)，(0,1,0)在正方体ABCDA1B1C1D1中，因为AD平面ABB1A1，所以是平面ABB1A1的一个法向量，设直线BE与平面ABB1A1所成的角为，则sin.即直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值为.(2)依题意，得A1(0,0,1)，(1,0,1), (1,1，)设n(x，y，z)是平面A1BE得一个法向量，则由n0，n0，得所以xz，yz.取z2，得n(2,1,2)设F是棱C1D1上的点，则F(t,1,1)(0t1)又B1(1,0,1)，所以(t1,1,0)，而B1F平面A1BE，于是B1F平面A1BEn0(t1,1,0)(2,1,2)02(t1)10tF为C1D1的中点这说明在棱C1D1上存在一点F(F为C1D1的中点)，使B1F平面A1BE.题型六 二面角例6(2010陕西理)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，APAB2，BC2，E，F分别是AD，PC的中点(1)证明：PC平面BEF.(2)求平面BEF与平面BAP夹角的大小解析： (1)如图，以A为坐标原点AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，APAB2，BCAD2，四边形ABCD是矩形A，B，C，D，P的坐标为A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2，0)，D(0,2，0)，P(0,0，2)，又E，F分别是AD，PC的中点，E(0，0)，F(1，1)，(2,2，2)，(1，1)(1,0,1)，2420，2020，PCBF，PCEF，BFEFF，PC平面BEF.(2)由(1)知平面BEF的法向量n1(2,2，2)，平面BAP的法向量n2(0,2，0)，n1n28，设平面BEF与平面BAP的夹角为，解法2：(1)连接PE，EC，在RtPAE和RtCDE中，PAABCD，AEDE，PECE，即PEC是等腰三角形，又F是PC的中点，EFPC，又BP2BC，F是PC的中点，BFPC，又BFEFF，PC平面BEF.(2)PA平面ABCD，PABC，又ABCD是矩形，ABBC，BC平面BAP，BCPB，又由(1)知PC平面BEF，直线PC与BC的夹角即为平面BEF与平面BAP的夹角，在PBC中，PBBC，PBC90，PCB45.所以平面BEF与平面BAP的夹角为45.题型七 异面直线间的距离例7已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1.求异面直线DA1与AC的距离解析：如图建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)、C(0,1,0)、B1(1,1,1)、A1(1,0,1)，向量(1,1,0)，(1,0,1)，(1,0,0)设向量n(x，y,1)，且n，n，则，解得，所以n(1，1,1)异面直线DA1与AC的距离为d.题型八 点、线、面到平面的距离例8如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，所有棱长均为1，则点B1到平面ABC1的距离为_解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A，B(0,1,0)，B1(0,1,1)，C1(0,0,1)，则，(0,1,0)，(0,1，1)，设平面ABC1的法向量为n(x，y,1)，则有，解得n，则d.答案：跟踪练习3如图所示，已知边长为4的正三角形ABC中，E、F分别为BC和AC的中点，PA平面ABC，且PA2，设平面过PF且与AE平行，求AE与平面间的距离解析：设、的单位向量分别为e1、e2、e3，选取e1，e2，e3作为空间向量的一组基底，易知e1e2e2e3e3e10，2e1，2e2，2e3，()2e1e2e3，设nxe1ye2e3是平面的一个法向量，则n，n，ne1e3 直线AE与平面间的距离为d.题型九 求线段长例9如图所示，在60的二面角AB中，AC，BD，且ACAB，BDAB，垂足分别为A、B，已知ABACBDa，求线段CD的长 分析：欲求线段CD的长，将|CD|看作是的模，将用已知长度及夹角关系的，来表示，其中与所成的角等于二面角的大小.解析：ACAB，BDAB，0，0，又因为二面角AB为60的二面角，120，于是|22()22222223a22a2cos1203a2a22a2，CDa点评：|a|2aa，将求线段长的问题转化为向量的数量积运算是求距离的主要方法跟踪练习4(2010河北邯郸市模考)如图所示，在正三棱柱ABCA1B1C1中，底面边长为a，侧棱长为a，D是棱A1C1的中点(1)求证：BC1平面AB1D；(2)求二面角A1AB1D的大小；(3)求点C1到平面AB1D的距离解析(1)连结A1B与AB1交于E，则E为A1B的中点，D为A1C1的中点，DE为A1BC1的中位线，BC1DE.又DE平面AB1D，BC1平面AB1D，BC1平面AB1D.(2)解法1：过D作DFA1B1于F，由正三棱柱的性质可知，DF平面ABB1A1，连结EF，DE，在正A1B1C1中，B1DA1B1a，由直角三角形AA1D中，ADa，ADB1D，DEAB1，由三垂线定理的逆定理可得EFAB1.则DEF为二面角A1AB1D的平面角，又DFa，B1FEB1AA1，EFa，DEF.故所求二面角A1AB1D的大小为.解法2：(向量法)建立如图所示空间直角坐标系，则A(0，a,0)，B1(0，a，a)，C1(a,0，a)，A1(0，a，a)，D(a，a，a)(0，a，a)，(a，a,0)设n(x，y，z)是平面AB1D的一个法向量，则可得即，取y1可得n(，1，)又平面ABB1A1的一个法向量n1(a,0,0)，设n与n1的夹角是，则cos.又知二面角A1AB1D是锐角，所以二面角A1AB1D的大小是.(3)解法1：设点C1到平面AB1D的距离为h，因AD2DBAB，所以ADDB1，故SADB12a2，而SC1B1DSA1B1C1a2，由VC1AB1DVAC1B1DSAB1DhSC1B1DAA1ha.解法2：由(2)知平面AB1D的一个法向量n(，1，)，(a，a，a)，da.即C1到平面AB1D的距离为a.练习题1在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线BA1和AC所成的角的大小为()A45 B60 C90 D30答案B分析先选取基向量，将与用基向量表示，然后依据两向量夹角公式求出，再转化为异面直线所成的角，或建立空间直角坐标系，用坐标法求