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1 高等数学学习指导 Chapter 1 极极极限限限和和和连连连续续续 1 1概概概念念念解解解析析析 这一章讲了高等数学中最重要的概念 极限 极限的概念和思想贯穿在后面 的 多数章节 比如导数和微分 定积分 无穷级数等等 先讲了数列的极限 然后推 广到 函数的极限 1 1 1数数数列列列的的的极极极限限限 先从数列的极限讲起 以数列 xn 1 n 为例 直观上看 会发现当 n 越来越大 时 xn越来越接近于 0 在仔细想想 这个过程实际上包含两个变化过程 即数 列下标 n 和数列通项 xn的变化过程 并且这两个过程是因果关系 因为下标 变 大 从而通项靠近于 0 还要注意到一个靠近的程度问题 数列通项 xn是可以无 限接近于 0的 只要数列下标 n 一直增大下去 我们期望用一个严格的数学的概念来刻画这种极限的直观理解 引入两把尺 子 n N和 xn 0 来分别刻画数列下标 n 大的程度和通项靠近于 0的 程度 由于前述的两个变化过程的因果关系 大家会发现 给定一个尺度 数列 通项 xn和 0的距离总可以小于这个尺度 只要下标 n 足够大 并且从某一 个下 标开始 数列通项 xn和 0的距离都小于这个尺度 这个下标的门槛记作 N 这 个 N 是依赖于前一个尺度 的 例如 如果想让 xn 0 1 n 0 100 就可以了 如果距离用一般的形式 表达 则要满足 xn 0 1 n 0 1 这里的 既要变也要不变 在计算相关 联的尺度 N 时是暂时不变 的 而计算完了之后又要变为一个更小的距离 极限的定义中有几点需要理解 1 和 N 关系 N 是依赖于 但是 定下来之后 N 不是唯一的 比如前面 所述的 n 100 当然 n 200 n 1000 等等 都是可以的 2 N 的取整问题 事实上 N 只是代表了从哪一项开始通项就和给定的常数距 离 小于给定的 那么 N 不是整数也不影响它的这个作用 比如 n 200 表 示从 201 开始 n 200 31 也表示从 201 开始 所以定义中的存在整数 N可 以改为存在正数 N 3 的取值范围 定义中 是任意大于 0 的常数 实际上重要的是 可以连续 的变化到 0 因为 的作用是 刻画通项 xn和 0的距离 要刻画出极限的内在意 义 必须可以 变化到 0 如果不能变化到 0 也就不能刻画极限的含义了 基于 上述分析 只要从某个正数开始连续变化到 0 也同样能刻画极限的含义 于是 定义中任意 0 可以改为任意 0 c c 为某个 正常数 来看下面的例子 证明 lim n qn 0 q 0 我们需要找到 N 当 n N 时 有 qn 0 成 立 于是解不等式 qn 0 q n ln ln q 从上面那个不等式可以看出当 1 时 ln ln q 0 所以我们可以限制 0 0 于是把上述分析的过程倒序写出来就是 对任意给定的 0 1 存在 N ln ln q 当 n N 时 有 q n 0 ln ln q 0 此时都有 q n 0 成立 这个 事实也是有意义的 因为 1 时 对任意的通项都有 qn 0 1 成立 此 时 ln ln q 0 恰恰代表了从第一项开始就满足这个不等式 4 在用定义证明数列的极限时 很关键的一个步骤是解一个不等式 xn a 而有些不等式是复杂的 这时候可以利用放缩不等式的技巧将其转化为一个比 CHAPTER 1 4 较简单的不 等式 过程中往往用到一些常见的初等的不等式 来看下面的例子 试证明 lim n 3n2 6n 5 n 1 3 直接计算得到 3n2 6n 5 n 1 3 3n2 6n 5 3 n 1 2 n 1 2 n 1 3n2 6n 5 3 n 1 2 2 n 2 3n 3 n2 1 n 只要 1 n 1 就可以了 这个过程的本质是利用了 N 的不唯一性 我 们选取了一个足够大的 N 来满足 3n2 6n 5 n 1 3 0 使得任意的 n 都有 xn M 则称数列是有界的 也就是说数列所有的项的绝对值都小于同一个常数 这个 M 叫做 数列的一个界 可以看出数列的界不是唯一的 只要找到一个 界 M 所有比它大的数 都是数列的界 其实数列有界的定义还可以写成 存在常 数 m M 使得任意的 n 都有 m xn M 很容看出这两个定义是等价的 要 证明这两个定义是等价的 实际上只要证明条件 xn M 和 m xn M 等 价 对一个数列 如果仅 仅能找到一个 M 满足 xn M 则称其为上有界的 M 叫做数列的一个上界 如果仅仅能找到一个 m 满足 xn m 则称其为下有 界的 m 叫做数列的一个 下界 可以证明一个数列有界当且仅当其上有界和下 有界 那么如何定义数列无界呢 无界就是说所有的正数都不是它的界 仔细想想 要 说明一个 正数 M 0 不是界 只要有一项 xk M 就行了 于是 我们要证明 任意的正数 M 0 都存在 xk M 注意这个 xk的选择是依赖于 M 0 的 我们说一个函数 f x 在某个区间 D 是有界的是指存在常数 M 0 使得 任意的x D 都有 f x M 同数列一样 函数也可以定义上有界和 CHAPTER 1 5 下有界 而函 数无界 就是要说明所有的正数都不是它的界 要说明一个正 数 M 0 不是界 只要存在一点 xM满足 f xM M 就行了 而不需要所有 的点都满足这个条件 一般说来 这个 xM是依赖于常数 M 0的 我用 xM表 示了这个依赖关系 但是又仔细想想 满足 f xM M 的点有无数个 因 为有了 xM1使得 f xM1 M 再取 f xM1 作为一个正数 则又存在一 个 xM2使得 f xM2 f xM1 这样做下去 可以得到一个列点 xMi i 1 来看看这个函数 f x 1 x sin 1 x 的无界性 对于任意的 M 0 总存在自然数 N 满足 2N 2 M 这是 显 然的 例如取 N M 1 令 xM 1 2N 2 很容易得到 f xM 2N 2 M 从上面的过程看到 sin 1 x 不好处理 我们取一类特定的点把正弦函数的干扰 去 掉了 我们还能看到 f x 有无数多的零点 因为 1 n n 1 都是其零点 来谈收敛数列的性质 第一个性质是说收敛数列必定有界 它的证明是先根据收敛数列的定义 给定 一个固定的 1 于是存在一个 N 当 n N 时 都有 xn a 1 也就 是 xn a 1 请注意 这个 N 是固定的一个整数 在这之后 的所有的通 项 由刚刚的不等式知道它们是有界的 界为 a 1 在这之前的项为有限项 再把这有限项填进去 当然还是有界的 教材上在取 M 这个界的时候 利用了 这样一个 基本的事实 有限个数组成的集合一定有最大的和最小的值 大家 会发现 数列的这个 极限的作用就是把数列从某一项开始的无穷多项都笼络 在其附近 从而保证了这个数列的 有界性 但是反过来 有界数列不一定收敛 1 n n 1 就是一个反 例 其实质是有界代表这个数列的通项会在某一个固定 的范围变化 但是它未必有一个集中 的趋势 也就是收敛 第二个性质是收敛数列的极限是唯一的 实际上这个很容易理解 极限就是数列 通项无限 接近的那个常数 无限接近的当然不会是两个或是更多的常数 只能唯 一 第三是关于数列和它的子列的极限的关系 如果一个数列是收敛的 它的所有的 子列都是 收敛的 并且收敛到同一个极限 这个事实是明显的 正如同大河东入 海 它的支流也会汇集而流入大海 而子列是数列的一部分 实际上 这个结论反 过来也是对的 就是如果一个数列所有的子列都收敛到同一个极限 则这个数列 CHAPTER 1 6 本身也是收敛到这个极限的 但是让我们证明个数列所有的子列都收敛到同一 个极限是做不到的 但是有一个替代的结论 lim k x2k lim k x2k 1 a lim n xn a 类似的有 lim k x3k lim k x3k 1 lim k x3k 2 a lim n xn a 可以试着证明并从中体会它的本质 这个关于数列和它子列的极限的定理常常 用来说明一 个数列的极限不存在 如果一个数列有两个子列 分别收敛于不同 的值 则这个数列就不是 收敛的 就是定理的推论的内容 比如 1 n n 1 它 的奇数列和 偶数列都是收敛的 但是不相等 所以其极限不存在 还可以知道 如果一个数列如果有 一个子列极限不存在 则它的极限就是不存在的 第四是数列的极限的有限无关性 这个说法似乎不是太严格 意思是说对于一个 数列 增 加改变或者去掉有限项 不影响它的极限 原来存在的仍然存在 不存 在的还不存在 仔细想想 数列的极限是数列的一种下标无限增大所代表的通项 的集中趋势 和前面有限 项是没有关系 1 1 2函函函数数数的的的极极极限限限 自变量变化的时候 函数值也会随着变化 所谓函数的极限 就是自变量在某一 个变化过程 中 函数值这个因变量的变化趋势 是和某一个值无限接近还是其他 的情形 就如同我们 研究数列的极限一样 一 极限 单侧极限 谈到自变量的变化趋势 主要有两大类 x 和一个固定的有限点 x0无限接近 记 作 x x0 还有一种是自变量无限增大 也就是无限远离原点 记作 x 再考虑到 x 轴的方向 那么自变量的变化趋势一共有六种 x x0 x x0 0 x x0 0 x x x 我们同样期望用一个严格的数学的概念来刻画这种极限的直观理解 引入两把 尺子 x x0 和 f x A 来分别刻画自变量 x 与 x0靠近的程度和 因变量 f x 靠近于 A的程度 由于前述的两个变化过程的 因果关系 大家会发 现 给定一个尺度 因变量 f x 和 A的距离 总可以小于这个尺度 只要自变 量 x 足够靠近 x0 也就是 x x0 这个 是依赖于前一个尺度 的 例 如 如果想让 ex 1 x ln 99 100 就可以了 写成绝对值的形式就是 x 0 ln 101 100 我 已经比较过 ln 101 100 和 ln 99 100 的绝对值的大小了 如果距离用一般的形式 表 达 则要满足 ex 1 同样的道理 只要 x 0 可以改为任意 0 c c 为某个 正常数 4 单侧极限lim x x0 0 f x 和lim x x0 0 f x 的讨论是类似的 只要把刻画自变量 距离改为 0 x x0 和 x x0 X x X 就行了 二 极限的性质 极限的局部保号性是重要的 所谓保号性 就是根据极限的符号来判断函数的符 号 所以 定理一定要求 lim x x0 f x A 中的 A 有符号 要么正要么 负 此时我 们可以得到结论 在比较靠近 x0的位置 函数 f x 的符号和极限 A 的符号一 致 这个保号性质对于数列也是成立的 对于极限 A 0 保号性质不成立 可以 看下面的反例 un 1 n n 和f x sinx 在 x 0 处 不等式性质 这个不等式性质对数列也是成立的 性质告诉我们符号 在取 CHAPTER 1 8 极限的时候是可以保持的 f x 0 lim x x0 f x 0 这里对六种极限过程都是对的 当然此时要求 f x 0 成立 的邻域有所不 同 但是符号 b 0 n 为自然数 事实上 an 1 bn 1 a b an an 1b an 2b2 abn 1 bn 由 a b 0 可得上述不等式 i 证明单调性 令 a 1 1 n b 1 1 n 1 则由不等式 可得 1 1 n n 1 1 1 n 1 n 1 n 1 1 n 1 n 1 1 1 n n 1 n 1 1 n n 移项可得 1 1 n 1 n 1 1 1 n n ii 证明有界性 a 1 1 2n b 1 则由不等式可得 1 1 2n n 1 1 n 1 1 2n 1 1 2n n CHAPTER 1 9 移项可得 1 1 2n n 2 平方得到 1 1 2n 2n 4 所以 1 1 n n 4 注 这里实际上我们利用了这样一个结论 单调的数列证明有界性只要证明其 一个子列 有界就可以了 这在很多情况下是方便简洁的 令 a 1 1 n b 1 1 n 1 利用 a n 1 bn 1 n 1 bn a b 可得 1 1 n n 1 1 1 n 1 n 1 n 1 1 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 1 1 n 1 n 1 n n 1 1 1 n 1 n 1 n 可得 1 1 n n 1 1 1 n 1 n 1 1 1 n 1 n 1 n 1 1 n 1 n 1 1 n 1 1 n 1 1 n 1 n 1 2 n 1 1 n 1 1 n 1 1 n 1 n 1 2 n 1 1 n n 1 1 1 n 1 n 1 2 n 1 1 n 1 2 1 1 n 1 n 2 即 xn xn 1 1 1 4习习习题题题精精精讲讲讲 一 填空题 1 lim n 1 1 3 1 32 1 3n lim n 1 1 3n 1 1 1 3 3 2 2 lim n 1 3 2n 1 n 3 n lim n n n n 1 n 3 n lim n 3n n 3 3 CHAPTER 1 10 3 lim n 3n2 6n 5 3n 2 lim n 3 6 n 5 n2 3 2 n 3 3 4 lim x 0 1 x 1 x lim x 0 1 x 1 1 x 1 x 1 x 1 lim x 0 1 1 x 1 1 2 5 lim h 0 x h 3 x3 3h lim h 0 3x2h 3xh2 h3 3h lim h 0 3x2 3xh h2 3 x2 6 因为 lim x 1 x3 x2 ax 4 x 1 lim x 1 x3 1 x2 1 a x 1 4 a x 1 lim x 1 x2 x 1 x 1 a 4 a x 1 存在且有限 当且仅当 4 a 0 想想为什么 即 4 a 7 因为 lim x 0 x f 2x 2 所以 lim x 0 2x f 4x 2 从而 lim x 0 f 4x x lim x 0 2 2x f 4x 2 lim x 0 2x f 4x 2 2 1 8 lim x 4 x2 2x lim x 4 x2 1 2 1 2 9 lim x 0 1 cos2x x2 lim x 0 2sin2x x2 lim x 0 2 sinx x 2 2 lim x 0 sinx x 2 2 10 lim n nsin 2n lim n 2 sin 2n 2n 2 lim n sin 2n 2n 2 11 lim x 0 1 2x 2 x lim x 0 1 2x 1 2x 4 lim x 0 1 2x 1 2x 4 12 lim n n 1 n n lim n 1 1 1 n n 1 n n 1 lim n 1 1 1 n n 1 lim n n n 1 1 e 13 lim n n ln n 2 lnn lim n ln 1 2 n n ln lim n 1 2 n n 2 2 ln lim n 1 2 n n 2 2 lne2 2 14 lim x 3x2 5 5x 3 sin 2 x lim x 3x2 5 5x 3 2 x sin 2 x 2 x lim x 6 10 x2 5 3 x sin 2 x 2 x 6 5 15 因为 lim x 0 sinx 0 cos 2 x 为 有界量 根据无穷小的性质可得 lim x 0 sinxcos 2 x 0 16 因为 lim x 1 x2 1 0 arctanx 为 有界量 根据无穷小的性质可得 lim x arctanx x2 1 0 CHAPTER 1 11 17 考虑水平渐近线 就是要计算lim x arctanx x 因为 arctanx 为有界量 lim x 1 x 0 根据无穷小的性质可得 lim x arctanx x 0 所以水平渐近线为 y 0 18 考虑竖直渐近线 就是要找到满足lim x x0 ln 3 x 的 x 0 因为 ln 3 x 定义 域为 0 且 lim x 0 ln 3 x 所以竖直渐近线为 x 0 19 分段函数在分段点 x0处连续 则必须满足 lim x x0 f x f x0 lim x x0 f x 分别计算可知 lim x 1 f x lim x 1 ex e 0 lim x 1 f x lim x 1 k x k 1 所以 k 1 20 函数在点 x0处间断 想通过补充定义的方式让这个点变为连续点 则此点 必须 是可去间断点 并且定义 lim x x0 f x f x0 分别计算可知 lim x 1 f x lim x 1 x 1 x 1 lim x 1 x 1 2 所以应该补充 f 1 2 21 有理分式函数间断点只出现在分母为零的点 间断点为 x 1 x 6 进 一步通过 计算可知 lim x 1 x 1 x2 5x 6 lim x 1 x 1 x 6 x 1 lim x 1 1 x 6 1 7 所以 x 1 为可去间断点 lim x 6 x 1 x2 5x 6 lim x 1 1 x 6 所以 x 6 为无穷间断点 二 选择题 1 C 数列的通项为 xn n 2 n 故 lim n n 2 n 1 CHAPTER 1 12 2 B lim n 4 n n2 4n 4 16n8 1 分子分母同除最高次n2 lim n 4 1 n7 1 4 n 4 16 1 n8 1 2 3 D 1 lim x 0 1 ex 1 2 lim x 0 e 1 x不存在 因为 lim x 0 e 1 x lim x 0 e 1 x 3 lim x sinx 显然不存在 4 lim x x2 1 x2 lim x 1 1 x2 1 1 4 C lim x 0 tanx 6x 1 3 lim x 0 tanx 2x 1 3 5 D lim x 0 x2sin 1 x sinx lim x 0 x sinxxsin 1 x lim x 0 x sinx lim x 0 xsin 1 x lim x 0 xsin 1 x 0 有界函 数乘无穷小 6 B 1 lim x sinx x lim x 1 x sinx 0 有界函数乘无穷小 2 lim x 0 arctanx x 1 3 lim x 0 xsin 1 x 0 有界函数乘无穷小 4 lim x 0 xtanx 0 7 B lim x 1 1 kx mx lim x 1 1 kx kx m k lim x 1 1 kx kx m k e m k 8 C lim x 0 x ex 1 x lim x 0 ex 1 x ex 1 x lim x 0 e 1 x ex ex x 1 ex e lim x 0 1 x ex ex x lim x 0 1 ex e2 9 A 如果 lim x 1 1 ax 1 3 x3 1 1 则必须有 lim x 1 1 ax 1 否则lim x 1 1 ax 1 1 1 a 而 lim x 1 3 x3 1 左右不等 于是 a 1 10 D 考虑水平渐近线 就是要计算lim x x 3 x2 因为 lim x x 3 x2 0 所以水平渐近线 为 y 0 11 C lim x 0 sin x 1 x x 1 分母趋向于0 分子 趋向于 sin1 而 lim x 1 sin x 1 x x 1 lim x 1 1 x sin x 1 x 1 1 利用重要极限 所以竖直渐近线为 x 0 12 C CHAPTER 1 13 当 x 0 时 f x 比 x 高阶 意味着 lim x 0 f x x 0 通过计算可得 lim x 0 3x x 3 lim x 0 3 x x lim x 0 x sinx x 1 lim x 0 sinx x 0 lim x 0 ln 1 2x x 2 lim x 0 ln 1 2x 2x 2 13 B lim x 1 x2 1 1 x lim x 1 x 1 x 1 14 A 当 x 0 时 f x 与 x 等价 意味着 lim x 0 f x x 1 通过计算可得 lim x 0 ln 1 x x 1 lim x 0 1 x 1 x lim x 0 1 1 x 1 1 2 lim x 0 sin2x x 1 lim x 0 xsinx x 0 lim x 0 3 x x 15 D 当 x 0 时 f x 为无穷大量 意味着 lim x 0 f x 通过计算可得 lim x 0 tanx x 1 lim x 0 ex 1 lim x 0 sin 1 x不存在 lim x 0 lnx2 16 B f x 在 x 0 处连续 意味着 lim x 0 f x f 0 1 sinx x 在 x 0 无定义 2 f x x x 0 ln 1 x x 0 lim x 0 f x lim x 0 ln 1 x 0 lim x 0 f x lim x 0 x 0 所以 lim x 0 f x 0 f x 3 lim x 0 ln x 4 lim x 0 e 1 x不存在 这是因为 lim x 0 e 1 x lim x 0 e 1 x 0 17 C f x sin2x x x 0 存在 N 1 当 n N 时 都有 1 n2 0 0 存在 N 1 3 1 3 1 当 n N 时 都有 2n 1 3n 1 2 3 0 因为 lim n un a 所以存在 N 当 n N 时 都 有 un a 而此时亦有 un a un a N1时 有 x2k a N2时 有 x2k 1 a N时 总有 xn a 0 存在 3 当 0 x 3 时 都有 f x A 3x 1 8 3 x 3 0 存在 当 0 x 2 时 都有 f x A x 2 4 x 2 4 x 2 x 2 0 存在 X 1 3 2 当 x X 时 都有 f x A 1 x 3 2x3 1 2 1 2 x 3 所以 lim x 1 x3 2x3 1 2 7 lim x 0 f x lim x 0 x x 1 lim x 0 f x lim x 0 x x 1 所以 lim x 0 x x 不存在 8 1 x 1 为分段点 lim x 1 f x lim x 1 3x 1 2 lim x 1 f x lim x 1 2x 2 所以 lim x 1 f x 2 2 lim x 2 f x lim x 2 3x 1 5 3 lim x 0 f x lim x 0 2x 0 9 1 lim x 4 x2 6x 8 x2 5x 4 lim x 4 x 4 x 2 x 1 x 4 lim x 4 x 2 x 1 2 3 2 lim x 0 1 x 1 x x lim x 0 1 x 1 x 1 x 1 x x 1 x 1 x lim x 0 2 1 x 1 x 1 3 lim x 3 3 x 5 2 x 1 2 lim x 3 3 x 5 2 3 x 5 2 2 3 x 5 4 x 1 2 x 1 2 x 1 2 3 x 5 2 2 3 x 5 4 lim x 3 x 3 x 1 2 x 3 3 x 5 2 2 3 x 5 4 lim x 3 x 1 2 3 x 5 2 2 3 x 5 4 1 3 CHAPTER 1 16 10 由条件可知 若要 lim x 3 x2 2x k x 3 4 必有lim x 3 x2 2x k 3 k 0 即 k 3 11 lim x 1 x3 ax2 x 4 x 1 lim x 1 x3 1 a x2 1 x 1 4 a x 1 lim x 1 x2 x 1 a x 1 1 4 a x 1 b 必有 4 a 2 2a b 即 a 4 b 10 12 因为 n n2 n n2 1 n2 2 n2 n x1 由归纳法可以说明 xn是递增的 显然 xn 2 所以极限存在 对递推公式左右 取极限可得 lim n xn 1 5 2 14 1 lim x 0 sin2x tan5x lim x 0 sin2x 2x 5x tan5x 2 5 2 5 2 lim x 0 1 cos2x xsinx lim x 0 2sin2x xsinx lim x 0 2sinx x 2 3 lim n 2nsin x 2n lim n xsin x 2n x 2n x 4 lim x 0 x sinx x sinx lim x 0 1 sinx x 1 sinx x 0 5 lim x xsin2 x lim x 2 sin 2 x 2 x 2 6 lim x 1 1 x tan x 2 lim x 1 1 x cot 1 x 2 lim x 1 2 2 1 x tan 1 x 2 2 15 1 lim x x x 2 x lim x 1 2 x 2 x 2 2 2x x 2 lim x 1 2 x 2 x 2 2 lim x 2x x 2 e 2 CHAPTER 1 17 2 lim x 0 1 2x 1 x lim x 0 1 2x 1 2x 2 e 2 3 lim x 0 1 x 1 x 1 2x lim x 0 1 x 1 x 1 2 1 x 1 x 1 2 e 1 2 e 1 2 e 4 lim x 0 1 x2 1 1 cos x lim x 0 1 x2 1 x2 x2 1 cos x lim x 0 1 x2 1 x2 x2 x2 2 e2 5 lim x 0 cosx 1 sin2x lim x 0 1 cosx 1 1 cos x 1 cos x 1 sin2x lim x 0 1 cosx 1 1 cos x 1 x2 2 x2 e 1 2 16 1 lim x x3 2x 2 x2 3x sin 2 x lim x 0 x3 2x 2 x2 3x 2 x sin 2 x 2 x 2 2 lim x 0 1 x 1 s