数学分析课后习题答案2.3.pdf

3 数列极限存在的条件数列极限存在的条件 1 利用e n n n 1 1 lim求下列极限 1 n n n 1 1 lim 2 1 1 1 lim n n n 3 n n n 1 1 1 lim 4 n n n 2 1 1 lim 5 n n n 1 1 lim 2 解 1 n n n 1 1 lim n n n n 1 lim 1 1 1 1 1 1 1 lim 1 nn n n e nn n n 1 1 1 1 1 1 1lim 1 1 2 1 1 1 lim n n n ee nn n n n 1 1 1 lim 1 1 lim 3 n n n 1 1 1 lim e nn n n 11 1 1 1 1 1 1 lim 4 n n n 2 1 1 lim e nn n n n n 2 2 1 2 2 1 1 lim 2 1 1 lim 5 设 2 1 1 n an 则0 n a 01lim n n a 由第二节习题知 n n n 1 1 lim 2 n n n n 1 2 2 1 1 lim 1 1 1 lim 2 2 n n n n 注 以上的 4 5 用到事实 若0lim aan n 则 1 lim n n n a这一点请读者自行证明 2 试问下列解题方法是否正确 求 n n 2lim 解 设 n n a2 及a n n 2lim 由于 1 2 nn aa 两边取极限 n 则有aa2 所以 0 a 答 以上解题方法不正确 因为只有证明了 n a的极限存在以后才可设aan n lim 而 2 n 是递增且无上界的数列 它不存在极限 所以以上解题方法不正确 3 证明下列极限存在并求其值 1 2 2 11nn aaa 2 设 0 11 caaca nn 3 0 c n c a n n 证 1 22 1 a设2 n a 则 22 1 nn nn nnnn aa aa aaaa因之 n a是递增且有上界的数列 由单调有界 定理知 n a极限存在 设其为 a 对等式 nn aa2 1 令 n取极限 有 2 2 解之得 0 1 舍去 2 2 故2lim n n a 2 由 0 1 ca知 211 acaca 设 1 kk aa 即caa kk 则caccaca kkk 1 从而caca kk 1 即 21 kk aa 由数学归纳法 知 对任意的自然数 n 有 1 c时 cca 1 1 设 can 1 则caa nn 1 ccccc n a 所以0 故 2 411 lim c an n 3 易见 1 1 1 1 1 n c n c n c n c aa nnn nn 取自然数 N 使 cN 时 有0 1 1 1 N a 可见 1Nnn a有下界 由单调有界定理知 n a 极限存在 设其为 对 1 1 n c aa nn 两端令 n去极限 得0 故0lim n n a 4 利用 n 1 1为递增数列的结论 证明 1 1 1 n 为递增数列 证 因 n 1 1是递增数列 所以对任意的自然数 n 都有 1 1 1 1 1 1 nn nn 即 n 从而有 n n nn nn 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12 2 1 1 1 2 2 nn nn n nn n 必存在 N 当 n N 时 N 时 对任意的自然数p 有 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 sin 2 2sin 2 1sin 2121 取1 1 N 当Nnm 时 111 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 222 从而aaa k in 由此知对任意的自然数 n 有aan 从而 n a递增且有上界的数列 由单调有界定理知 n a一定是收敛数列 7 证明 若1lim 0 1 L a a a n n n n 且 则0lim n n a 证 因为1lim 1 L a a n n n 所以存在p 使 1 pL由极限的定义知 对于 0 pL 存 在 N 当Nn 时 1 pLL a a pL n n 时 有 1 1 0 1 1 1 1 2 2 1 1 一定存在 0 n 使 就有 0 n a 故 所以 sup lim nn n aa 当 n a为递减有界数列时 同理可证 inf lim nn n aa 逆命题不成立 如令 为奇数 为偶数 n n n an 1 1 1 则有 sup 1lim nn n aa 但 n a不单调 9 利用不等式 1 11 abanab nnn 0 ab 证明 1 1 1 n n 为递减数列 并由此推出 1 1 n n 为有界数列 证 由题设不等式可得 0 ab 有 1 1 nabnab nn 令 1 1 1 n a n b 1 1 代入以上不等式得 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n n n n nn nn 2 2 1 1 1 1 1 1 nnnn n22 1 1 1 1 1 1 1 1 1 nn nnn 所以 1 1 1 n n 为递减数列 而4 11 1 1 1 1 21 nn nn 所以 1 1 n n 为有界数列 10 证明 nn e n 3 1 1 从而 n n n n n n nn 1 1 1 即 nn n n n n 1 1 于是 1 1 1 1 1 1 nn nn 所以 1 1 1 n n 单调递减 2 因 1 1 1 n n 递减 且e n n n 1 1 1 lim 1 1 n n 递增 且e n n n 1 1 lim 从而 1 1 1 1 1 nn n e n 因此 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 nnnnn e n e nnnnn nnnn n 3 1 1 1 作出其等差中项 2 11 2 ba a 与等比中项 112 bab 一般地令 2 1 nn n ba a nnn bab 1 证明 n n a lim与 n n b lim皆存在且相等 证 由题设有0 n a 0 n b 2 1 n 所以 2 1 nn n ba a nnn bba nnn bab 1nnn bbb 2 1 nn n ba a n nn a aa 2 nn ab 1 11 2 2 a ba a 所以 nn ba都是单调有界数列 它们的极限都存在 设aan n lim bbn n lim 对 2 1 nn n ba a 两端令 n取极限 得 2 ba a 所以ba 12 设 n a为有界数列 设 sup 1 nnn aaa与 inf 1 nnn aaa 证明 1 对任何的自然数n nn aa 2 n a为递减数列 n a为递增数列 且对任何的自然数m n 有 mn aa 3 设aa 分别是 n a和 n a的极限 则aa 4 n a有极限的充要条件是aa 证 1 由于aa 是同一数集的上 下确界 所以 nn aa 2 1 n 2 由于 211 nnnn aaaa 故 1 nn aa 2 1 n 即 n a为递减数列 同理可证 n a为递增数列 由 n a递减知 对任意的自然数m