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线性代数 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 13 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 本章的重点是研究矩阵更深层的性质秩，它是矩阵理论的核心概念，是由德国数学家佛洛本纽斯在1879年首先提出的。为了研究矩阵秩的概念，首先要介绍一个重要的工具矩阵的初等变换概念，它不仅解决了求矩阵秩的问题，还是帮助求解线性方程组、求逆阵、判定向量组相关性等的有力工具，然后我们将应用秩理论解决方程组的求解问题，最后还要将初等变换概念在理论层次上加以提炼，即介绍初等方阵的概念。 1 矩阵的初等变换矩阵的初等变换是矩阵之间的一种十分重要的变换，是从实际问题的解决中抽象得到的。一、引例求解线性方程组 (1)-2 2+5-3-2-3 2(1) 问题10 共采取了几种变换将(1)变为的？ （三种：() 交换方程的次序；() 用数乘某方程； () 将某方程的k倍加到另一方程上。且这三种变换都可以看成是只对方程组的系数和常数项进行的）20 在这三种变换下，(1)与是否同解？即这三种变换是否都可逆？ （都可逆，即同解变换）30 采取这三种变换的目的是为了将(1)变为什么形状以便得到解？ （阶梯形。其寓意：方程表明方程组有一个多余的方程； 将代入得，表明(或)可任意取值，称之为自由未知量，其余的未知量称为非自由未知量，当某层的阶宽多于一个未知量时，就必有自由未知量，一般我们取每层阶梯的第一个未知量为非自由未知量，由于一旦确定下自由未知量，任给自由未知量一组数值，就可得到方程组的一个解，所以我们特别重视自由未知量）40 由于(1)与其增广矩阵 构成一一对应，那这三种变换在矩阵中对应的效果是什么？ 2-2-3 变换前后对应的矩阵一般不相等-2 2+5-3 .对于矩阵的行只作了三种变换，也就是说，为解线性方程组对方程组作变换，就相当于对其增广矩阵的行作同类变换，下面给出这三种对矩阵的行作的变换在矩阵中的正式定义：二、初等变换1、定义1 以下三种变换称为矩阵的初等行变换：() 对调两行（对调i、j两行记作： ）；() 以数k 0乘某行中的所有元素（第i行乘k记作：）；() 将某行所有元素的倍加到另一行对应元素上去（将第j行的k倍加到第i行记作：）。将定义中的 “行”换成“列”，即可得到矩阵初等列变换的定义，将记号中的r换成c就是初等列变换的记号。初等行、列变换通称初等变换。注 显然，三种初等变换都是可逆的，且其逆变换仍为同种的初等变换：的逆变换为； 的逆变换为； 的逆变换为. 注意矩阵的初等变换与行列式的性质运算从定义到记号虽然十分相似，但又根本不同，千万不能混淆。再次强调：经行列式运算得到的行列式与原行列式是相等的，但经初等变换得到的矩阵与变换前的矩阵千万不能用等号连接，它们是不相等的，我们称它们是等价:定义2 若对矩阵A实行有限次初等变换变成矩阵B，则称矩阵A与B等价，记作AB .类似于无穷小的等价概念，我们称A与B为等价是因为它确实是一种等价关系，它具有： 自反性 AA； （取k = 1，作乘数初等变换即可） 对称性 AB BA； （初等变换都是可逆的） 传递性 AB，BC AC . （将两次的初等变换合并到一起对A作即可） 初等变换是线性代数的一个重要工具，首先利用初等变换可以将任一矩阵化为形如的矩阵，我们形象地称之为行梯形阵，其特征：可画一阶梯线，线下方的元素均为0，每层台阶的高度只有一行，阶数即为非零行的行数，阶梯线的竖线后的第一个元素是一非零数，它也是非零行的第一个非零数。r1 r2r3 2r2-r3r3-2r1r4-3r1例如 x1 x2 x3 x4r1-r2r2-r3r3r4r4-2r3r2 2r3+5r2r4-3r2 .注 是一个更简单的行梯形阵，其特征：非零行的第一个非0元素均为1，且这个1所在的列中其它元素均为0。用方程组的语言来说这个特征：只有一个元素是1，其余元素均为0的列恰为非自由未知量所对应的列。它对应的同解方程组是 这个结果正是将回代入对应的方程组时所求得的解，即对应的方程组就是回代结果，即取为自由变量，并令，即得 x =，其中c为任意常数。这表明得到矩阵就等于得到了方程组的解，鉴于形式的重要性，我们给它起个名称行最简形。也就是说：解一个线性方程组，只需将它对应的增广矩阵B经初等行变换变成其行最简形即可得到方程组的解。 有无自由未知量决定于非零行的阶宽，对一个阶宽就多一个自由未知量。不看最后的常数列时，阶加宽一列，其阶数就少一层，故：自由未知量的个数 = 未知量个数 - 非零行行数 =nr ！ 由于方程组与其增广矩阵是一一对应的，故自然地猜想：任何一个矩阵的行最简形式是唯一的，从而行阶梯形中非零行的行数也必唯一，从而自由未知量的个数也必唯一。2、矩阵的标准形如果对行最简行再进行初等列变换，可将矩阵变成更简单的以下形式：c3c4c4+c1+c2c5-4c1-3c2+3c3 .我们称F是矩阵B的标准形。可以证明，一般地任一mn矩阵A都可以经初等变(行变换和列变换)变成标准形 A 其中r就是A行阶梯形的非零行的行数。注 任一个矩阵都有标准形，且若行阶梯形的非零行的行数r是唯一的话，标准形是唯一的。 由于进行了列变换，增广矩阵的标准形与方程组的解之间没有关系。 容易证明一个重要结论：矩阵AB A与B的标准形相同(BAF，且等价具传递性)。所有与A等价的矩阵组成的集合称为是一个等价类，A的标准形F就是这个集合里最简单的那个矩阵，可视为是这个等价类的代表元。小结 本节特点概念多，内涵信息多。主要概念初等变换，但小概念多自由和非自由未知量，行阶梯形，行阶梯形的非零行的行数，行最简形，标准形，等价。清楚这些概念与方程组的关系对下面的学习是十分重要的。比如：数r与行阶梯形的非零行的行数，与自由未知量的个数之间应为何关系？ 2 矩阵的秩上节我们猜测：矩阵经初等变换化为行阶梯形时，其非零的行数r是唯一确定的，且这个行数r与自由未知量的个数有关：自由未知量的个数 = 变量个数n r. 由此可见，r是矩阵的一个很重要的数字特征，实际上将其抽象出来就是矩阵秩的概念。但非零行数的唯一性未经证明，故不能直接从行阶梯形的非零行数来抽象矩阵秩的概念，我们从另一个角度建立秩的概念，然后再沟通矩阵的秩与其行阶梯形非零行数的关系。为此先引入1、k 阶子式 定义2 在mn矩阵A中，任取k行与k列()，位于这些行列交叉处的这k2个元素，按原位置次序构成的k阶行列式，称为矩阵的k阶子式。例如， ， 得其3阶子式： .注 mn矩阵A共有个k阶子式。2、秩的定义及其求法定义3 设在矩阵A中有一个不为0的r阶子式D，且所有的r+1阶子式(若存在的话)均为0，则称D为矩阵A的最高阶非零子式，数r称为矩阵A的秩，记作R(A). 并规定R(O)=0.注 显然，矩阵A的秩就是A所有非零子式的最高阶数。只要A不是零阵，就有R(A) 0. 并且秩有以下基本性质: R(A)minm,n 若有一个r阶子式不为0，则R(A)r； 若所有的r+1阶子式都等于0，则R(A)r； RR(A).例1 求矩阵A与B的秩，其中A， B.解 A有2阶子式，且A只有一个3阶子式，即， R(A) = 2.B有3阶子式，由于B的第4行元素均为0，故B的4阶子式均为0，R(B) = 3.注 若n阶方阵的行列式，则A的最高阶非零子式就是，所以R(A) = n，故称A为满秩矩阵；若，则称A为降秩矩阵。 当矩阵的行、列数都较高时，用定义求秩是困难的，定义主要具有理论价值。 B的秩较好求是因为它是一个行阶梯形阵，显然行阶梯形阵的最高阶非零子式就是其非零行的第一个非零数所在的行与列所构成的子式，即 阶梯形阵的秩就等于其非零的行数！自然的想法：能否将矩阵化为行阶梯形阵来求其秩？即问题是等价矩阵的秩是否相等？下面的定理给出了回答：定理1 若AB，则R(A)=R(B)，即初等变换不改变矩阵的秩。证 (分析：只需证在一次初等变换下：R(A)R (B)且R(A)R(B).)设R(A)= r，且A的某个r阶子式Dr 0. 因为AB，故A可经初等变换变为B，又RR(A)，所以可仅就行变换的情形给出证明：(1) 先证经一次初等行变换后，R(B)R(A)= r：ri kri rj当A B 或A B时，则B中与D r 相对应的子式必满足或，或，从而总有 R(B)r；ri+krj当A B时， 若Dr不含第i行，或同时含第i行和第j行，则0，所以R(B)r； 若Dr中含第i行但不含第j行，则有 若0，则0R(B)r；若0，则就是A的不含第i行的r阶子式，由知R(B)r，综合以上知，经一次初等行变换后R(B)R(A).(2) 再证经一次初等行变换后R(B)r：因为初等行变换均可逆，再由(1)的证明知：R(B)R(A)；综合以上知经有限次初等行变化后，R(A)= R(B). 注 由于初等变换不改变矩阵的秩，故我们可用初等行变换将A化为行梯形阵，即得其秩例2 设 ，求R(A)，并求A的一个最高阶非零子式。r4-r3r3-3r2r4-4r2r1r4r2-r4r3-2r1r4-3r1解 A ，由于A的行阶梯形有3个非零行，所以R(A)= 3 ；由上知，A的最高阶非零子是3阶的，故只需找A的一个不为零的三阶子式。又A的行阶梯形有一个最高阶非零子式：，与它相对应的是A的1、2和4三列，只需在这三列构成的矩阵这并不是A的最高阶非零子式中找个三阶的非零子式。因为3阶子式：，所以它就是A的最高阶非零子式。例3 设，求矩阵A及B的秩。r2 2r3+5r2r4-3r2r22r3-r2r4+3r2r2 -2r1r3+2r1r4-3r1解 R(A)= 2，R(B)= 3 .注 上面只作了初等行变换，故它们对应的方程组是同解方程组，而B的行阶梯形所对应的方程组含有矛盾方程 (矩阵第3行所对应的方程)，所以B对应的非齐次线性方程组无解，问题个关键是R(A)= 2 R(B)= 3造成的。 注意，事实上R(A) R(B) R(A) R(B) 在B的行最简形阵中的最后一个非零行对应出现矛盾方程0 =1 方程组无解。这个具体问题不禁让我们猜想：一个线性方程组有没有解应与它系数矩阵与增广矩阵的秩的关系有关？！这是我们下面一节中专门要讨论的问题。 3 线性方程组的解关于方程组我们的问题是：非齐次线性方程组什么时候有解？什么时候无解？有解的时候有多少？即唯一不唯一？不唯一时有多少？有解时如何求出解来？现在我们将以矩阵的秩为工具给出解的判定定理。从最简单的情形入手。定理2 n元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是R (A) n. 证 “”： 若方程组有非零解，往证R (A) n. 用反证法。设R (A) = n 在A中有一个n阶非零子式Dn Dn对应的线性方程组只有零解，这与原方程组有非零解矛盾，即假设错误，所以R (A) n .“”: 若R (A) = r n A的行阶梯形矩阵只有r个非零行 方程组有n-r个自由未知量，任取一个自由未知量为1，其余的自由未知量全取为0所得到的那个解，就是方程组的非零解。 注 克莱姆法则(定理5 /) 齐次线性方程组有非零解的必要条件是，即R (A) = n. 显然克莱姆法则是定理2的特例的不完全叙述，即定理2涵盖了克莱姆法则，定理2的特例：还与什么等价？齐次线性方程组 有非零解 R (A) n A是降秩阵 ？这就圆满解决了第一章最后一节的一个遗留问题定理5/是充分必要条件。 定理5/的逆否命题：齐次线性方程组 有唯一零解 R (A) = n A是满秩阵 A可逆 ？.定理3 n元齐次线性方程组有解的充分必要条件是R (A) = R (B)，其中. 证 “”： 若方程组有非零解，往证R (A) = R (B) .用反证法。设R (A) R (B) B的行阶梯形阵的最后一个非零行对应矛盾方程：0 = 1，这与原方程组有解矛盾，即假设错误，所以R (A) = R (B).“”: 若R (A) = R (B)，往证方程组有解。设R (A) = R (B) = r (rn)，则B的行阶梯形矩阵中含有r个非零行，将这r个非零行的第一个元所对应的个未知量作为非自由未知量，其余n-r个作为自由未知量，并取这n - r个自由未知量为0，即得方程组的一个解。 注 显然定理2是定理3的特例，定理3也可以解释齐次线性方程组必有解 因为R (A) = R (B) 永远成立。 因为自由未知量的个数为 n-r，所以当n = r时方程组没有自由未知量，即R (A) = R (B)= n 时方程组没有自由未知量，即只有唯一解； 当R (A) = R (B) n时，方程组有n-r个自由未知量，令它们分别等于，可得含n-r个参数的解，显然自由未知量可以任意取值，故方程组就有无穷多解，且含n-r个参数的解可以表示方程组的任一个解，从而称之为通解。 综合定理2、3及注，可得 有解判别定理：线性方程组有解 R (A) = R (B)，且有解判定定理蕴含了解题的思路，小结求解线性方程组的程序如下：选取自由未知量写出通解B行最简形行阶梯形 初等行变换 R (A) = R (B) r n 齐次时可省去第一步R (A) R (B) 秩r = n 唯一解无解非零行中除第一个非零元外对应的未知量 例4 求解齐次线性方程组 . r1-2r2r3-r2r2（-3）r2-2r1r3-r1解 ，是由两个自由未知量分别取1,0和0,1所得， 从而都是解，是两个特解，即通解可由特解的线性组合得到得 ， 取自由变量为，得 x =，其中为任意常数。注 这使我们联想起在微分方程中高阶齐次线性微分方程解的结构有十分类似的结论，希望它也是线性方程组解结构的一般性结论。例5 求解非齐次线性方程组 .r3- r2r2-3r1r3-2r1解 ，因为R(A)= 2，R (B) =3不相等，所以方程组无解。例6 求解非齐次线性方程组 .r2r1-r2r2-3r1r3-r1 r3+r2解 ，由两部分构成，前面是对应齐次方程组解的线性组合，且这两个解也是自由未知量分别取1,0和0,1所得，从而是两个特解解，即非齐次的通解可表示为对应齐次的通解和它的一个特解x =，其中为任意常数。注 这使我们再次联想起在微分方程中高阶非齐次线性微分方程解的结构也有十分类似的结论，希望它也是线性方程组解结构的一般性结论。例7 设有线性方程组 ， 问取何值时，此方程组 (1) 有唯一解； (2) 无解； (3) 有无限多解？ 并在有无限多解时求其通解。r1r3解 r3-+r2r2-r1r3-(1+l)r1 ,(1) l 0且l 3时，R (A) = R (B) = 3，所以方程组有唯一解；(2) l = 0时，R (A) = 1，R(B) = 2，方程组无解；(3) l = -3时，方程组有无限多解，直接将l = -3代入B的行阶梯形中，得 B R).注 讨论含参数l 的线性方程组问题切忌作初等行变换 、 和，因为可能为零因式，如不得已非作这种变换，则应分别对和两种情形进行讨论。 4 初等矩阵一、 初等阵的概念引例 设A，E(1,2)，实际上，E(1,2)是由单位阵E3交换1、2两行所得，则有相当于直接对矩阵A作交换1、2两行的变换相当于直接对矩阵A作交换1、2两行的变换 鉴于这种由单位阵作一次初等变换而得到的矩阵的重要性，为能深入研究，给出它的数学定义：定义4 对单位阵E进行一次初等变换后得到的矩阵称为初等矩阵。三类初等变换就分别得到的三种初等矩阵，分别记为：1、对调第i，j两行或第i，j两列，记为 E(i, j) 2、以数k 0乘第i行或第i列，记为 E( i (k)3、某行或列的k倍加到另一行或列上去，记为 E(i j (k) )注 E(i, j) E( i (k)既可以看成是对行作一次变换所得，也可以看成是对列作一次同类变换所得，所以初等阵有了第1条基本性质： 10 初等矩阵的转置仍为同类型的初等矩阵。二、 初等矩阵的性质定理4 设矩阵A是一个m n阵，则(1) 对A实施一次初等行变换，相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；(2) 对A实施一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵。即 行变换 左乘初等矩阵; 列变换 右乘初等矩阵。注 由于初等阵对应初等变换，根据初等变换的性质，即有初等阵的第2条基本性质：20 初等矩阵都是可逆的且其逆阵仍为同类型的初等矩阵。例1 求矩阵A的标准形，并用初等矩阵表示所作的初等变换。r3-r2r2r3r3-r1解 A ，这三个变换对应的初等阵分别为：Q1 ， Q2 ， Q3 ，注 由定理4知， Q 3 Q2 Q1 A = E . 这似乎表明初等方阵与可逆阵有关联，事实上我们有结论：定理5 方阵A可逆的充分必要条件是存在有限多个初等方阵，使得 .证 “”： 若A可逆 A E E可经有限次初等变换变为A，不妨设为 l次 存在l个初等方阵，使得 .“”： 若能表示成 l个初等方阵的乘积 ，由初等方阵的可逆性和乘积阵的可逆性知，A是可逆的。 注 再添一个可逆的充要条件。 由定理4和定理5立即可得一个具有重要的推论：推论 m n矩阵A B的充要条件是：存在m阶可逆矩阵及n阶可逆矩阵，使得PAQ = B.注 A B还有哪些等价条件？ 不算定义看能否再找4个？ 初等阵的理论价值在这里凸显出来了，用它可建立起来一个等价矩阵的等式表达式，这为今后许多理论问题的研究搭起了一座桥梁。一些涉及到初等变换的问题不容易说清楚，或说起来很罗嗦的，现在可以用等式的建立来进行推导了。三、初等方阵的应用若在矩阵得乘积运算中有初等阵，可以简便运算，例如求乘积：.利用定理5可以可以得到第三种，也是最简便实用的求逆矩阵的方法，现推导如下：设A可逆，由定理5知 ， (*)上式表明作行初等变换把A变成单位阵E的同时可以将E变成，这实际上给出了用初等变换求逆阵的思路 构造一个程序，将A变成单位阵E的这一过程中，同时让所作的这些行变换同步地作用到E上，从而同步地得到，即想法子将(*)式合成一个等式，我们构造等式： . 例8 设A，求. 解 ， .例8 求矩阵X，使，其中A，. 分析 若A可逆，则，即将AX变为X所作的初等行变换，就是将A变为E的初等变换且这些变换也是将B变为B = X，即可将求与求X放在同步进行，具体做法如下：解 A可逆，且.注 逆阵的应用求解矩阵方程:求解矩阵方程， ， 可作初等行变换使，即得； 求解方程，可作初等列变换使，或行变换使，即得. 2007年11月16日至18日，有幸参加了由李尚志教授主讲的国家精品课程线性代数（非数学专业）培训班，使我受益匪浅，在培训中，我见识了一种全新的教学理念。李老师的“随风潜入夜，润物细无声”“化抽象为自然”“饿了再吃”等教学理念很值得我学习。作为刚参加工作的年轻教师，我应该在以后的教学中，慢慢向这种教学理念靠拢，使学生在不知不觉中掌握较为抽象的知识。下面这个