概率论与数理统计第5讲独立性ppt课件

第六节独立性 事件的相互独立性几个重要定理例题讲解小结 一 事件的相互独立性 一 两个事件的独立性 由条件概率 知 一般地 这意味着 事件B的发生对事件A发生的概率有影响 然而 在有些情形下又会出现 则有 1 引例 定义1 说明 事件A与B相互独立 是指事件A的发生与事件B发生的概率无关 事件独立性的性质 结论 1 2 独立与互斥的关系 这是两个不同的概念 两事件相互独立 独立是事件间的概率属性 两事件互斥 互斥是事件间本身的关系 二者之间没有必然联系 结论 A B互不相容与A B相互独立不能同时成立 证 若A与B独立 则 即A与B不互斥 相容 反例 两事件相互独立 所以两事件互斥 3 必然事件S及不可能事件 与任何事件A相互独立 证 SA A P S 1 P SA P A 1 P A P S P A 即S与A独立 4 若事件A与B相互独立 则以下三对事件也相互独立 注 称此为二事件的独立性关于逆运算封闭 4 若事件A与B相互独立 则以下三对事件也相互独立 证 1 又 A与B相互独立 3 4 若事件A与B相互独立 则以下三对事件也相互独立 1 三事件两两相互独立的概念 二 多个事件的独立性 定义2 2 三事件相互独立的概念 定义3 注意 在三个事件独立性的定义中 四个等式是缺一不可的 即 前三个等式的成立推不出最后一个等式 反之 最后一个等式的成立也推不出前三个等式的成立 3 n个事件的独立性 定义4 若事件A1 A2 An中任意两个事件相互独立 即对于一切1 i j n 有 个式子 设A1 A2 An为n个事件 若对于任意k 1 k n 及1 i1 i2 ik n 定义5 注 两个结论 用数学归纳法证明略 设事件相互独立 则 也相互独立 即n个独立事件至少有一个发生的概率等于1减去各自对立事件概率的乘积 结论的应用 n个独立事件和的概率公式 例1 常言道 三个臭皮匠 顶一个诸葛亮 这是对人多办法多 人多智慧高的一种赞誉 你可曾想到 它可以从概率的计算得到证实 解 不妨用Ai表示 第i个臭皮匠独立解决某问题 i l 2 3 B表示 问题被解决 并没每个臭皮匠单独解决某问题的概率分别为 看 三个并不聪明的 臭皮匠 居然能解出百分之九十以上的问题 聪明的诸葛亮也不过如此 事件的独立性在可靠性理论中的应用 一个元件的可靠性 该元件正常工作的概率 一个系统的可靠性 由元件组成的系统正常工作的概率 系统由元件组成 常见的元件连接方式 串联 并联 例2 设两系统都是由4个元件组成 每个元件正常工作的概率为p 每个元件是否正常工作相互独立 两系统的连接方式如下图所示 比较两系统的可靠性 S1 S2 注利用导数可证 当时 恒有 例3 例3 甲甲 乙甲甲 甲乙甲 解 而这三种结局互不相容 例3 解 甲乙甲甲 乙甲甲甲 甲甲乙甲 如 比赛3局 甲甲甲 比赛4局 而这三种结局互不相容 甲乙甲甲 乙甲甲甲 甲甲乙甲 如 比赛3局 甲甲甲 比赛4局 而这三种结局互不相容 小结 1 两个事件的独立性及多个事件的独立性定义 2 两个事件的独立性及多个事件的独立性性质 3 在独立性条件下 求n个事件至少发生一个的概率公式 注意 独立事件与互不相容事件的区别与关系 两两独立与相互独立的区别 一 主要内容 1 随机事件的定义 关系及其运算2 随机事件概率的定义 统计定义 古典概型定义 3 随机事件概率的计算注意利用 1 概率的加法公式 2 概率的性质 3 条件概率公式 4 乘法概率公式 5 全概率公式 6 贝叶斯公式 7 相互独立事件的概率计算公式 本章小结 y 二 应记忆的公式德莫根律加法公式当A与B互斥时条件概率公式乘法概率公式全概率公式贝叶斯公式相互独立事件的概率计算公式 y 三 重点与难点y 1 重点 随机事件的概念 古典概型的概率计算方法 概率的加法公式 条件概率和乘法公式的应用 全概率公式和贝叶斯公式的应用 2 难点 古典概型的概率计算全概率公式的应用 事件的独立性 四 典型例题y 例1 2000年 数学一 设两个相互独立的事件A和B不发生的概率为1 9 A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等 则P A 解 由题意得 y 解析 故答案为C y 思路 引进事件 例3 y 例3 解 由题意知 y 例3 y 思路 由于抽到的表与来自哪个地区有关 故此题要用全概率公式来讨论 例4 y 例4 解 y 例4 y 例4 又因为 同理可得 y 例4 y 第二章随机变量及其分布 随机变量 离散型随机变量及其分布律 随机变量的分布函数 连续型随机变量及其概率密度 随机变量的函数的分布 第一节随机变量 问题的引入随机变量的定义小结 一 问题的引入 随机事件和实数之间存在着某种客观的联系 有的问题看起来与数无关 只要稍加处理也可用数来描述 例1 E 从一批产品中任取一件是否是合格品 我们约定 若试验的结果是合格品 令X 1若试验的结果是不合格品 令X 0 样本空间S e 合格品 不合格品 引入变量X X e 10 对于每一个样本点e X都有一个值与之对应 则称X为随机变量 其定义域为样本空间 其值域依赖于样本空间 则随机变量是定义在样本空间S上的函数 试验的结果的出现是随机的 X e 的取值也是随机的 例2 E 将一枚硬币抛掷三次 问 三次投掷中 出现H的总次数 样本空间 X e 32221110 即对于S中每一个样本点e X都有一个值与之对应 则称X为随机变量 其定义域为样本空间 其值域依赖于样本空间 则随机变量是定义在样本空间S上的函数 试验的结果的出现是随机的 X e 的取值也是随机的 二 随机变量的定义 1 定义设S e 是随机试验E的样本空间 如果 1 对每个e S 存在一个实数X e 与之对应 即变量X是定义在样本空间S上的一个实单值函数 2 对每个x R 事件 e X e x 有确定的概率 则称X X e 为S上的随机变量 简记为r v X randomvariable 随机变量通常用大写字母X Y Z 或希腊字母 等表示 而表示随机变量所取的值时 一般采用小写字母x y z等 随机变量的特点 1 X的全部可能取值是互斥且完备的 2 X的部分可能取值描述随机事件 随机变量随着试验的结果不同而取不同的值 由于试验的各个结果的出现具有一