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文档简介

二 连续与间断 一 函数 三 极限 习题课 函数与极限 第一章 1 一 函数 1 概念 定义 定义域 值域 图形 一般为曲线 设 函数为特殊的映射 其中 2 2 特性 有界性 单调性 奇偶性 周期性 3 反函数 设函数 为单射 反函数为其逆映射 4 复合函数 给定函数链 则复合函数为 5 初等函数 有限个常数及基本初等函数 经有限次四则运算与 复合而成的一个表达式的函数 3 思考与练习 1 下列各组函数是否相同 为什么 相同 相同 相同 4 2 下列各种关系式表示的y是否为x的函数 为什么 不是 是 不是 提示 2 5 3 下列函数是否为初等函数 为什么 以上各函数都是初等函数 6 4 设 求 及其定义域 5 已知 求 6 设 求 由 得 4 解 7 5 已知 求 解 6 设 求 解 8 解 利用函数表示与变量字母的无关的特性 代入原方程得 代入上式得 设 其中 求 令 即 即 令 即 画线三式联立 即 例1 9 二 连续与间断 1 函数连续的等价形式 有 2 函数间断点 第一类间断点 第二类间断点 可去间断点 跳跃间断点 无穷间断点 振荡间断点 10 有界定理 最值定理 零点定理 介值定理 3 闭区间上连续函数的性质 例2 设函数 在x 0连续 则a b 提示 11 有无穷间断点 及可去间断点 解 为无穷间断点 所以 为可去间断点 极限存在 例3 设函数 试确定常数a及b 12 例4 设f x 定义在区间 上 若f x 在 连续 提示 阅读与练习 且对任意实数 证明f x 对一切x都连续 P65题1 3 2 P74题 6 13 证 P74题 6 证明 若 令 则给定 当 时 有 又 根据有界性定理 使 取 则 在 内连续 存在 则 必在 内有界 14 上连续 且恒为正 例5 设 在 对任意的 必存在一点 证 使 令 则 使 故由零点定理知 存在 即 证明 即 15 上连续 且a c d b 例6 设 在 必有一点 证 使 即 由介值定理 证明 故 即 16 三 极限 1 极限定义的等价形式 以为例 即为无穷小 有 2 极限存在准则及极限运算法则 17 3 无穷小 无穷小的性质 无穷小的比较 常用等价无穷小 4 两个重要极限 6 判断极限不存在的方法 5 求极限的基本方法 或 18 例7 求下列极限 提示 19 令 20 则有 复习 若 21 例8 确定常数a b 使 解 原式可变形为 故 于是 而 22 例9 当 时 是 的几阶无穷小 解 设其为x的k阶无穷小 则 因 故 23 阅读与练习 1 求 的间断点 并判别其类型 解 x 1为第一类可去间断点 x 1为第二类无穷间断点 x 0为第一类跳跃间断点 24 2 求 解 原式 1 2000考研 注意此项含绝对值
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