(2013绵阳二诊)数学理试卷及答案.doc

1 保密 启用前 考试时间 2013 年 1 月 26 日 15 00 17 00 绵阳市高中绵阳市高中 20102010 级第二次诊断性考试级第二次诊断性考试 数学 理科 数学 理科 本试卷分第 I 卷 选择题 和第 II 卷 非选择题 两部分 第 I 卷 1 至 2 页 第 II 卷 3 至 4 页 满分 150 分 考试时间 120 分钟 注意事项 1 答题前 考生务必将自己的姓名 考号用 0 5 毫米的黑色签字笔填写在答题卡上 并 将条形码粘贴在答题卡的指定位置 2 选择题使用 2 召铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上 非选择题用 0 5 毫米的黑 色签字笔书写在答题卡的对应框内 超出答题区域书写的答案无效 在草稿纸 试题卷上答 题无效 3 考试结束后 将答题卡收回 第第 I 卷 选择题 共卷 选择题 共 5050 分 分 一 选择题 本大题共 10 小题 每小题 5 分 共 50 分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的 1 直线x y 1 0 的倾斜角是 3 A 30 B 60 C 120 D 150 2 计算 1 i i2 i3 i100 i 为虚数单位 的结果是 A 0B 1C iD i 1 3 已知 那么 ab 0 是 方程 ax2 by2 l 表示双曲线 的 Rba A 必要不充分条件B 充分不必要条件 C 充要条件D 既不充分又不必要条件 4 为了得到函数 y 3sin 2x 的图象 只需把函数 y 3sin x 图象上所有点的 5 5 A 横坐标缩短到原来的倍 纵坐标不变 2 1 B 横坐标伸长到原来的 2 倍 纵坐标不变 C 纵坐标缩短到原来的倍 横坐标不变 2 2 1 D 纵坐标伸长到原来的 2 倍 横坐标不变 2 5 个正三棱柱 底面为正三角形的直棱柱 的三视图 如右图所示 则这个正三棱柱的 体积为 A B 2 33 C 4 D 6 33 6 若 loga a2 l loga2a0 是 ABC 的 三角形函数 以上命题正确的有 写出所有正确命题的序号 三 解答题 本大题共6小题 共75分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 16 本小题满分12 分 已知函数 f x sinx cosx 2 2sin2x I 求 f x 的单调递减区间 I I A B C 是 ABC 的三内角 其对应的三边分别为 a b c 若 f 8 A 2 6 12 AC 129 a 且 求 b c 的长 ACAB 72 17 本小题满分 12 分 如图 在四棱锥 P ABCD 中 底面 ABCD 是正方形 侧棱 PD 丄 底 4 面ABCD PD DC 点 E 是 PC 的中点 作EF丄PB交PB于F I 求证 PA 平面 EDB II 求证 PB 丄平面 EFD III 求二面角 C PB D 的大小 18 本小题满分 12 分 甲 乙两位同学练习三分球定点投篮 规定投中得三分 未投中 得零分 甲每次投中的概率为 乙每次投中的概率为 3 1 4 1 I 求甲投篮三次恰好得三分的概率 II 假设甲投了一次篮 乙投了两次篮 设 X 是甲这次投篮得分减去 乙这两次投篮 得分总和的差 求随机变量 X 的分布列 19 本小题满分 12 分 已知各项均不为零的数列 an 的首项 a1 2an 1an kan an 1 NN k是不等于 1 的正常数 4 3 I 试问数列是否成等比数列 请说明理由 I I 当 k 3 时 比较 an与的大小 请写出推理过程 53 43 n n 20 本小题满分 13 分 动点 M x y 与定点 F l 0 的距离和它到直线 l X 4 的距离之比 是常数 O 为坐标原点 2 1 I 求动点 M 的轨迹 E 的方程 并说明轨迹五是什么图形 II 已知圆 C 的圆心在原点 半径长为是否存在圆 C 的切线 m 使得 m 与圆 C 相切于 2 点 P 与轨迹 E 交于 A B 两点 且使等式成立 若存在 求 出 m 的方程 若不存 在 请说明理由 21 本小题满分 14 分 已知函数 f x xlnx x 0 I 求 g x 的单调区间与极大值 1 1 1 xx x xf II 任取两个不等的正数 x1 X2 且 X10 使 f x0 成立 12 12 xx xfxf 求证 X1 X00 c 0 b c 10 联立 且 b0 k 1 且 k 5 2 时 数列 12 1 n ak 是以 42 31k 为首项 1 k 为公比的等比数列 综上所述 当 k 5 2 时 数列 12 1 n ak 不成等比数列 当 k 0 k 1 且 k 5 2 时 数列 12 1 n ak 是等比数列 6 分 当 k 3 时 数列 1 1 n a 是以 1 3 为首项 1 3 为公比的等比数列 11 1 3 n n a 即 an 3 31 n n 1 1 31 n X 6 303 P 1 24 13 48 1 2 9 48 8 an 34 35 n n 1 1 31 n 1 1 35n 1 35n 1 31 n 334 35 31 n n n n 令 F x 3x 3x 4 x 1 则 F x 3xln3 3 1 F 0 F x 在 1 上是增函数 而 F 1 4 0 F 2 10 当 n 1 和 n 2 时 an3n 5 即 1 35n 1 31 n 此时 an 34 35 n n 综上所述 当 n 1 和 n 2 时 an 34 35 n n 12 分 20 解 由题意得 22 1 1 42 xy x 化简得 22 1 43 xy 即轨迹 E 为焦点在 x 轴上的椭圆 5 分 设 A x1 x2 B x2 y2 OA OB OPPA OPPB 2 OP OP PB PA OP PA PB 由题知 OP AB 故OP PB 0 PA OP 0 OA OB 2 OP PA PB 2 OP AP PB 0 假设满足条件的直线 m 存在 当直线 m 的斜率不存在时 则 m 的方程为 x 2 代入椭圆 22 1 43 xy 得 y 6 2 OA OB x1x2 y1y2 2 6 4 0 这与OA OB 0 矛盾 故此时 m 不存在 当直线 m 的斜率存在时 设直线 m 的方程为 y kx b OP 2 2 1 b k 即 b2 2k2 2 联立 22 1 43 xy 与 y kx b 得 3 4k2 x2 8kbx 4b2 12 0 x1 x2 2 34 8kb k x1x2 2 2 412 34k b y1y2 kx1 b kx2 b k2x1x2 kb x1 x2 b2 2 22 312 34 bk k 9 OA OB x1x2 y1y2 2 2 412 34k b 2 22 312 34 bk k 0 7b2 12k2 12 0 又 b2 2k2 2 2k2 2 0 该方程无解 即此时直线 m 也不存在 综上所述 不存在直线 m 满足条件 13 分 21 解 由已知有 1 1 f x g xx x ln 1 xx 于是 1 1 11 x g x xx 故当 x 1 0 时 g x 0 当 x 0 时 g x 1 lnln1 1 11 ttt h t tt 因为10t 只需证明ln 10tt 令ln 1ttt 则 1 10t t t 在 1 t 递减 所以10t 于是 h t 0 时 ln 1 x x 10 所以 式变为 1 2 11 lnln 2 nn n aa n 即 1 12 11 lnln 2 1 kk k aa k k N k 2 令 k 2 3 n 这 n 1 个式子相加得 1 121222 1