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第十一讲 矩阵的QR分解一、Givens矩阵与Givens变换1. 定义：设实数c与s满足，称()为Givens（吉文斯）矩阵（初等旋转矩阵），也记作. 由Givens矩阵所确定的线性变换称为Givens变换（初等旋转变换）.说明：（1）实数，故存在，使.（2）中确定了将向量变成的一种变换，正是Givens变换. 二阶情况下， 确定的正是平面直角坐标系中绕原点的一个旋转变换（按顺时针方向旋转角）.（3）以上实Givens矩阵也可推广成为复初等旋转矩阵.其中与仍为满足的实数，为实角度，.显然，；当时，；当时，.2. 性质（1）, ,（即旋转度再反向旋转度，就可还原），.（2）设，则有当时，总可以选，使定理1 设，则存在有限个Givens矩阵的乘积，使得.说明：（1） (为实向量时)；（为复向量时）；（2）.证：先考虑的情形：（1）构造， .（2）对再考虑，（3）依此类推，构造，（） 直至. 令，则有 .再考虑的情形：若 ，则从第一个不为零的开始运用上述方法即可.证毕 .推论：对于任何非零列向量及任何单位列向量，均存在着有限个Givens矩阵的乘积，使.证：由上述定理，对存在有限个Givens矩阵的乘积，使 .对同理存在有限个Givens矩阵的乘积，使 ， ，即 其中 为有限个Givens矩阵的乘积. 证毕.例1. 用Givens变换将向量变换为与同方向.解：对构造，则，对构造，则于是.例2. 用Givens变换将向量变换为与同方向.解：对构造，则，对构造，则于是.二、 QR分解1. 定义：如果实（复）非奇异矩阵可化为正交（酉）矩阵与实（复）非奇异上三角矩阵的乘积，即，则称上式为的分解.2. 求分解的方法（1）Gram-schmidt正交化方法:定理2. 设是阶非奇异矩阵，则存在正交（酉）矩阵与实（复）非奇异上三角矩阵使得，且除去相差一个对角元素的绝对值（模）全为1的对角因子外，上述分解唯一.证：设记为，由非奇异线性无关.采用Gram-schmidt正交化方法将它们正交化： 先对正交化，可得其中 , 将上式改写为 再对单位化，可得，即 .用矩阵形式表示为其中是正交（酉）矩阵是实（复）上三角矩阵唯一性: 采用反证法。设存在两个QR分解，则 式中仍为实非奇异上三角矩阵.于是（ ）为正交矩阵（酉矩阵）.于是 故，D只能为对角阵，且D是对角元素绝对值（模）全为1的对角阵.这一证明方法可推广为：定理3. 设是的实（复）矩阵，且其个列线性无关，则具有分解其中是实（复）矩阵，且满足，是阶实（复）非奇异上三角矩阵. 该分解除了相差一个对角元素的绝对值（模）全为1的对角矩阵
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