数学建模——食堂就餐问题.doc

某高校设有第1、2、3、4四个食堂，学生可以在任意一处就餐，假设现在学校准备在上述四处中挑选一处增开阅报栏，主要挑选依据是在就餐人数最多的食堂增开阅报栏。假设学生前后两次就餐地点发生变化的概率如下：上次就餐第1食堂第2食堂第3食堂第4食堂本次就餐第1食堂0.600.250.100.10 第2食堂0.200.500.200.25 第3食堂0.150.100.550.50第4食堂0.050.150.15 0.15请为学校新阅报栏选址建立差分方程数学模型，并根据此模型指出四个食堂的学生就餐人数的分布趋势，并且选择最合适的阅报栏地址。二、问题的假设1、假设食堂没有扩建；2、假设各个食堂间的竞争是良性的；3、假设本校学生全部在食堂就餐，该校共有3000名学生。三、符号说明：选取的进行考察的时间段：取出矩阵的第列：分别在这4个食堂就餐的概率组成的矩阵：在第个食堂就餐次的学生人数，四、模型的分析本题主要是考虑阅报栏的开设问题，所以只要从第1食堂、第2食堂、第3食堂和第4食堂中选取一个就餐人数最多的食堂开设阅报栏，以保证更多的阅读人数就可以了。对于这个问题，我们可以考虑运用差分方程模型来求解，利用表格中所给的学生就餐地点变化的概率，再运用绘图程序画出变化趋势图，可以更加直观的看出在哪个食堂就餐的人数最多，最占优势，然后在那个食堂开设阅报栏即可。五、模型的建立与求解5.1.1模型的建立记学生在食堂就餐第次的人数分别为，据此可写出在食堂就餐第次的人数为，（）。由题目所给数据可知，第一次在第1食堂就餐的概率为0.60，0.20,0.15,0.05，第二次在第1食堂就餐的概率为0.60,0.25,0.10,0.10，所以可得在第1食堂就餐的学生数量的差分方程为：；类似可得：在第2食堂就餐的学生数量的差分方程为：；在第3食堂就餐的学生数量的差分方程为：；在第4食堂就餐的学生数量的差分方程为：；综上所述，我们可得一阶差分方程组如下：用矩阵表示为：用matlab编程计算出的值，观察4个食堂就餐的学生人数的变化情况，见附录。如果想要直接看某段时间的食堂就餐学生数量变化趋势，可以直接用matlab作图，通过图形可以更加直观的看出变化趋势，进而能够确定阅报栏具体可开设的地点。5.1.2模型的求解（1）当把学生平均分配到四个食堂就餐，即，运用程序可以绘出图形，得到变化数目，具体见以下图表：第1食堂第2食堂第3食堂第4食堂平均分配750750750750第1次788863975375第2次823878928371第3次843882907368第4次854883898366第5次859883893365第6次862883891364第7次864883890364第8次864883889364第9次865883889364第10次865883889364第11次865883889364第12次865883889364由上图可以看出，时间充分长以后，在4个食堂就餐的学生数量逐渐趋向于865,883,889,364。通过上述结果，我们还可以考察这个结果是否与一开始平均分配的学生数量有关。（2）若最开始3000名学生都在第4食堂，即，具体情形见如下图表：第1食堂第2食堂第3食堂第4食堂任意分配0003000第1次3007501500450第2次5638481170420第3次7088751023394第4次785882953379第5次825884920371第6次845884920371第7次845884904367第8次855883896365第9次860883892365第10次865883889364第11次865883889364第12次865883889364由上图可以看出，时间充分长以后，在4个食堂就餐的学生数量仍然趋向于865,883,889,364。由此可知，此结果与初始值无关。（3）结论：有上面的讨论可知，第3食堂吸引学生最多，应该在第3食堂开设阅报栏。五、参考文献1淮阴工学院数学建模实验72王小才.差分方程课件3赵静.数学建模与数学建模实验.北京：高等教育出版社，2008.附录定义m文件：function x=ybl(n)A=0.6 0.25 0.1 0.1;0.2 0.5 0.2 0.25;0.15 0.1 0.55 0.5;0.05 0.15 0.15 0.15;x(:,1)=750,750,750,750;for k=1:n x(:,k+1)=A*x(:,k);end程序：A=0.6 0.25 0.1 0.1;0.2 0.5 0.2 0.25;0.15 0.1 0.55 0.5;0.05 0.15 0.15 0.15;n=10;x(:,1)=750,750,750,750;%x(:,1)=0,0,0,3000; for k=1:n x(:,k+1)=A*x(:,k);endround(x)k=0:n;plot(k,x)gridgtext(x1(k),gtext(x2(k),gtext(x3(k),gtext(x4(k)当时，运行结果为：ans = 750 788 823 843 854 859 862 864 864 865 865 865 865 750 863 878 882 883 883 883 883 883 883 883 883 883 750 975 928 907 898 893 891 890 889 889 889 889 888 750 375 371 368 366 365 364 364 364 364 364 364 364当时，运行结果为：ans = 0 300 563 708 785 825 845 855 860 863 864 864 865 0 750 848 875 882 884 884 883 883 883 883 883 883 0 1500 1170 1023 953 920 9