k第十一章 正交设计与均匀设计.doc

第十一章 正交设计与均匀设计（于培彦编）在方差分析一章中，我们介绍了在单因素和双因素的各水平中“选优”的方法，但在科研、生产、管理中，经常遇到的因素更多，如何在多因素多水平中选择最佳水平组合？正交设计和均匀设计就是解决这个问题的有力工具。11.1 正交试验设计设想一个因素每因素水平的求最优水平组合问题，总共有个水平组合(处理)，如果每个处理只重复次，则需要进行54次试验，正交设计可以用较少的试验次数（小区数）找到最优水平组合。正交设计是利用正交表安排试验的一种设计方法，正交表用符号表示，其中k是这张表最多可以容纳的因素个数，m 是每个因子的水平数，n是试验次数。例如在正交表中，可以安排个因素，每个因素有个水平的试验。列号1、2、3、4是因素的代号，列号下面的1、2、3是该因素的水平代号(如右表)。当然，无论是因素代号还是水平代号，与实际因素和水平都应随机对应，正交表可以在附表14中查到。正交表有两个性质：每列中每个水平出现的次数相等，例如上表第2列中1、2、3各出现3次；任意两列同一行的有序数对出现次数相等，例如上表第1、2列中（1，1）只出现一次，其它有序数对也只出现一次，在表第1、2列中（1，1）出现两次，其它有序数对也只出现两次。这两个性质称为均匀分散性和整齐可比性，均匀分散性使选出的水平组合代表性强，整齐可比性则便于试验数据的统计分析。一. 不考虑交互作用的正交设计及分析例1 某厂用车床对车轴进行粗加工，为提高工效，对转速、走刀量和吃刀深度进行正交试验，各因素及其水平如下表：试验指标为工时，越短越好。第一步：选择合适的正交表。本例每因素是三水平，在正交表中查m3里的表，又因为本例是三因素，且不考虑交互作用，故选用正交表。第二步：表头设计。将1、2、3、4列用抓阄的办法对应三个因素A、B、C，假定第一列是A因素，第二列是B因素，第三列是C因素，第四列空置。然后将每一列中的1、2、3再用抓阄的办法对应三个水平，假定就是上表中的1、2、3，即第一列中的三个1都表示480转/分，三个2都表示600转/分，三个3都表示765转/分；第二列中的三个1都表示0.33mm/转，。 第三步：按表中试验号(横着看)所指示的水平组合进行试验，试验号1所指示的水平组合是1，1，1，即用转速480，走刀量0.33，吃刀深度2.5进行试验，试验结果是88秒，如此共进行9次试验，假定试验结果依次是88秒，145秒，194秒，70秒，117秒，155秒，57秒，93秒，123秒。整个试验设计及结果如下表所示。按设计共进行次试验，“工时”填在最后一拦。表中的是号水平的工时之和，例如转速的88+145+194427，= 427/3142.3，极差=142.39151.3，其余类推。结果分析：直观分析法。由于，说明“走刀量”各水平引起的工时变化最大，“吃刀深度”最小，因此影响工时的最强烈的因素是“走刀量”，其次是“转速”，最后是“吃刀深度”，当然，这是相对而言的结论。另一方面，转速的最小，说明785的转速所用工时在三个转速里最小；走刀量的最小，说明0.33的走刀量所用工时在三个走刀量里最小；吃刀深度的最小，说明2.5的吃刀深度所用工时在三个吃刀深度里最小，综合起来最优水平组合应当是785转速，0.33走刀量，2.5吃刀深度是最佳水平组合。注意，这个组合在表中个试验组合中并未出现。上述分析还可用一个折线图直观的表示出来。工时吃刀深度走刀量150125100755025转速 1 2 3 1 2 3 1 2 3 方差分析法转速之间无显著差异；走刀量之间无显著差异；吃刀深度之间无显著差异。，在0.05水平上，三个转速之间有显著差异，三个走刀量之间也有显著差异，三个吃刀深度之间无显著差异。用新复极差法(SSR法)作多重比较(对转速和走刀量)，用标记字母法表示比较结果。标准误结论 ：三个转速之间有极显著差异，三个走刀量之间有极显著差异，三个吃刀深度之间无显著差异，在最佳水平组合是785转速，0.33走刀量，吃刀深度可以是三个中的任一个。在计算过程中，所以影响工时的因素次序是走刀量、转速、吃刀深度。如果我们将表中空列计算其离差平方和，得它恰好等于剩余平方和，这不是巧合，而是正交设计的一个性质。二. 存在交互作用的正交设计正交设计是解决多因子试验的一种方案，多因子试验的特点就是可能存在交互作用。在存在交互作用的情况时，首先要把所有交互作用通过专业知识和经验筛选一遍，只保留可能有的交互作用。例如A、B、C三因子试验，所有交互作用有AB、AC、BC及ABC，一般高级交互作用ABC都不考虑，通过专业知识和经验假定只保留AB，这时把主因子A、B、C 和交互作用AB共四个因子一起考虑来设计表头，设计表头时交互作用排在那一列必须根据正交表中的提示。例2 研究某种经济林在品种、密度、施肥量及施肥日期个因素对年产量的影响，每一因素取两水平如下表所示。根据经验已知交互作用AB、AC 应考虑，其它交互作用可不考虑。个主因子及两个交互作用共占列，故正交表至少要有列，查正交表知满足需要。先把A、B 安排在1、2 列上，由的交互作用表知1、2列的交互作用在第列，所以把AB 排在第列，将C 排在第列，查1、4列的交互作用在第列，所以把AC排在第列，D可排在第或第列上，我们把它排在第列上。具此就可以实际操作了，试验指标为年产量(kg / 年)，结果如下表所示。从极差大小看，影响产量的因素主次顺序是AC ，A，D，AB ，C，B。在分析最佳水平组合时，由于AC 是第一要素，所以要列出A与C的两向表（见下表），在A与C的两向表中，最高产量是与产生的，所以最佳水平组合中有；在A与B两向表中，最高产量是产生的，所以最佳水平组合中应有；D因素的大，取，综合之，最佳水平组合是。事实上由于空列的极差反映剩余因素的变异，而表中B，AB，C，D的极差都小于空列极差，所以可以肯定它们都是不显著的，因为较小的密度和施肥量成本较低，所以在最佳水平组合中可取和而施肥日期D的水平取舍可按其它标准决定。进一步可作方差分析，结果如下表所示。其中的等等。三. 水平数不等的试验当遇到各因素水平数不等的情况时，可选用水平数不等的正交表，例如，这个表可以安排一个因素水平，四个因素水平的试验。如没有现成的表可用，则可采用“拟水平”法，所谓拟水平，是指将较少水平的因素增加一个水平，增加的水平是原有水平中的某一个，以达到所有因素水平数相等的目的。11.2 均匀试验设计在正交表中，试验次数n是水平数m的平方的整数倍，当m增加时，n将急剧增加，试验次数的增加，不但提高了试验成本，有时还使得试验无法进行。对于m很大的试验，均匀设计是一种很好的试验设计方案。同正交设计一样，均匀设计用“均匀设计表”安排试验。均匀设计表用和表示，其中的 n 既是水平数又是试验次数，k是最多可容纳的因素数，带“”和不带“”表示不同类型的均匀表，带“”的表有更好的均匀性，应优先选用。每一个均匀设计表由设计表和使用表组成，例如和的设计表，使用表如下： 在设计表中，第1列的17表示试验序号，第2行的1，2，3，4表示因素代号，表内的17是水平代号。在使用表中，D是均匀偏差度，应选择较小的偏差度。k下面的2，3，4是实际的参试因素，如果有4个参试因素，只能用表，把 4 个因素安排在4列，第1次试验按表中的（1，2，3，6）水平组合进行，第2次试验按表中的（2，4，6，5）进行，。如果有3个参试因素，则应选择，因为它的D = 0.2132 较小，把3个参试因素安排在中的2，3，4列，第1次试验按（3，5，7）水平组合进行，第2次试验按（6，2，6）水平组合进行，。例3 在啤酒生产的某项试验中，选择了如下的因素和水平。解：选用来安排（在附表16中），由它的使用表应选1，3 两列，试验结果Y是吸氨量（克）列于下表均匀设计由于每个因素的水平都没有重复，所以不能用正交设计中的极差分析和方差分析，需要使用回归分析，建立y与、的线性回归方程，经Excel计算结果如下：结论：底水量对吸氨量y有极显著的负作用，底水量愈少，吸氨量愈高，底水量每减少1克，吸氨量约增加0.691克；吸氨时间对吸氨量y有极显著的正作用，吸氨时间愈长，吸氨量愈高，吸氨时间每增加1分钟，吸氨量约增加0.019克；回归方程为：，经方差分析，方程是极显著的，很小，可以用方程作预报。在前面的试验方案及结果表中可知吸氨量最高的是第2次试验，所以137克的底水，240分钟的时间是比较好的水平组合。如果回归方程不显著，说明y与，的关系不是线性，这时应建立如下的多项式回归方程：其中的是交互作用项，然后用逐步回归筛选出作用显著的项。习 题 十 一1.合成氨最佳工艺条件试验。根据已积累的经验决定选取的因素与水平如下表所示：假定各因素之间无交互作用，试验的目的是提高氨的产量，选择正交表，表中列号1，2，3对应因素A，B，C；水平号对应上表里的1，2，3九次试验的产量依次为1.72，1.82，1.80，1.92，1.83，1.98，1.59，1.60，1.80。试找出最佳水平组合，并指出影响产量的主要因素是什么。2. 考虑A、B、C、D四个因素，每个因素二水平及交互作用BC，AB，BD，试在正交表上进行表头设计。3. 为了探讨高频电场处理种子后所产生的生物效应, 设计了以下实验。根据以往经验, B 和A，C，D之间可能存在交互作用, 其它各因素间的交