固体物理学讲义3.1.pdf

第三章 晶格振动与晶体的热学性质 晶格振动是描述原子在平衡位置附近的振动 由于晶体内原 子间存在着相互作用力各个原子的振动也不是孤立的而是相 互联系因此在晶体内形成各种模式的波只有当振动微弱时 原子间非谐的相互作用可以忽略即在简谐近似下简谐近似下这些模式才 是独立的由于晶格的周期性条件周期性条件模式所取的能量值不是连续 的而是分立的对于这些独立而又分立的振动模式可以用一系 列独立的简谐振子来描述和光子的情形相似这些谐振子的能 量量子称为声子 h这样晶格振动的总体就可以看成声子系综 若原子间的非谐相互作用可以看作微扰项 则声子间发生能量交 换并且在相互作用过程中某些频率的声子产生某些频率的 声子湮灭当晶格振动破坏了晶格的周期性使电子在晶格中的 运动受到散射而电阻增加可以看作电子受到声子的碰撞晶体 中的光学性质也与晶格振动有密切关系 在很大程度上可以看作 光子与声子的相互作用乃至强烈耦合 晶格振动最早是用于研究晶体的热学性质 其对晶体的电学 性质光学性质超导电性磁性结构相变等一系列物理问题 都有相当重要的作用 是研究固体宏观性质和微观过程的重要基 础 3 1 简谐近似和简正坐标 由原子受力和原子间距之间的关系可以看出 若离开平衡位 置的距离在一定限度原子受力和该距离成正比这时该振动可 以看成谐振动 用表示原子偏离平衡位置 n v 格点位移矢量对于三维 空间描述 N 个原子的位移矢量需要 3N 个分量表为 3 1 Ni i 2 L将体系的势函数在平衡位置附近作泰勒展开 高阶项 ji N ji ji i N i i VV VV 0 3 1 2 0 3 1 0 2 1 第一项为平衡位置的势能可取为零第二项为平衡位置的力 等于零若忽略高阶项因为势能仅和位移的平方成正比即为 简谐近似 N 个原子的动能可表示为 2 3 1 2 1 N i i mT 引入合适的正交变换 将动能和势能用所谓的简正坐标表示仅含 平方项而没有交叉项即 N i ii N i QVQT 3 1 22 3 1 2 2 1 2 1 由分析力学基本形式的拉格朗日方程为 32 1 Niq Q T Q T dt d i ii L 其中 32 1 1 Ni q fq i j N j ji L v v 为广义力 对于保守系令 L T V称为拉格朗日函数得到保守系 的拉格朗日方程 32 1 0Ni Q L Q L dt d ii L 则正则方程为 Q 3 2 1 0 2 NiQi ii L 其解为 sin tAQ ii 当考察某一个 j Q时则 sin tA m a j i ij i 一般来说一个简正振动并不表示某一个原子的振动而表示整 个晶体参与的振动且它们的振动频率相同由简正坐标所表示 的体系中所有原子一起参与的共同振动称为一个振动模 如果利用量子力学进行求解利用定态 Shrodinger 方程 EH 这里为系统的哈密顿量H 为系统的本征态E 为系统的本征 值VT H 在坐标表象中 N i ii i Q Q H 3 1 22 2 2 2 2 1 h对于 其中每一个简正坐标有 2 1 22 2 2 2 iiiii i QQQ Q h 其解为 iii n h 2 1 2 exp 2 ii nin HQ h 其中 i Q h Hn为厄密多项式而系统的本征解为 i N i i nE h 3 1 2 1 N i inN QQQQ i 3 1 321 L 3 2 一维单原子链 考虑图 3 1 一维单原子链假定为同种原子质量为 m原 子限制在沿链的方向运动各原子偏离平衡位置格点的位移 用L等表示L 11 nnn 假定只有近邻原子存在相互作用若平衡时互作用能为 ava 为晶格常数令 1 nn 则原子产生相对位移后的 相互作用势能为 L 2 2 2 2 1 a adr vd dr dv avav 上式第一项为常数第二项为零若作小振动近似则 2 2 2 2 1 a dr vd avav 因此相邻原子之间的作用力为 d dv F这里 a dr vd 2 2 表明相邻原子间的作用是正比于相对位移的弹性恢复力 考察第 n 个原子的运动其受到的为 11 nnnn 根据 牛顿定律有 11nnnn m n 1 2 N 这里 N 为原子个数共有 N 个线性齐次方程组假设试探解为 naqti nq Ae 1 代入方程得 1 cos2 2 2 aqeem iaqiaq 即 2 sin 4 22 aq m 2 上式和 n 无关表明只要2式成立则1为方程组的解 讨论1 由 1当第 n 个原子和第个原子的距离 满 足 n naan q 2 的整数倍时原子应振动而产生的位移相等 由此可见晶格中各个原子间的振动都存在着固定的 相位关系即在晶格中存在着角频率为的平面波 称为格波显然该格波为简谐平面波如下图 2格波的波长为 q 2 若令 表示沿格波传播方向的 单位矢量 n v 则nq vv 2 表示格波的波矢波速相速 为 q p v 3格波波矢是表征格波的因子由2式可以看出 在 22 aq 以外不会产生新的格波频率 因此 为了保 证格波波矢和频率的一一对应关系或者说为了使 是 q 的单值函数 nq 可以限定 a q a q 的取值范围常称为布里渊区正负 q 值对应一对相 反的传播方向 4由 2 sin 4 22 aq m 及 q p v可以看出格波的速 度是波长的函数 通常频率和波矢的关系称为色散关 系如下图 5由于原子链的两端原子的情况实际上和中间不同 因此前面所考虑的情况只适合于无限长链 为了避 免这种情况Born Von Karman 提出了周期性边 界条件假定有无限多个相同的链首尾相连即将 有限长度的链进行周期性的解析延拓 这样前面的 结果适用该链 该链和实际上的有限长度的情况的 确存在求解上的差别但仔细分析知道由于互作 用是短程的差别仅存在边界上少数几个原子就 有限晶体而言 大多数原子的实际运动情况不会受 到该假设的影响在该假设条件下第 1 个原子和 第 N 1 个原子的运动情况相同由1得到 lnaq 2 l 取整数 因 q 介于 aa 所以 l 为介于 2 2 NN 的整数 共 N 个 相应地 q 也只能分立地取 N 个不同的值 即不同取值的个数等于元胞的个数 6 在简谐近似下格波是独立的按量子理论格波的 振幅对应系统的简正坐标 每种简正振动的能级是 量子化的能量本征值为 qnq n h 2 1 能量 激发的单元是 q h如果用声子的语言来描述该 激发单元能量量子即为一个准粒子 声子 的能量一个格波即一种振动模称为一种一种声子当 振动模处于 q n h q 2 1 本征态时 称为有nq个声子 电子或者光子和晶格振动相互作用时 以能量量子 为单位 q h声子的数