基于波利亚解题思想的高三习题课教学设计.pdf

2015 年第 5 期福建中学数学9 么 的问题 因此组长对中等学生的讲评要重点讲清 思路 讲明方法 其次要答疑解惑 注重细节 关 键要总结典型问题的规律性 案例案例 2 设 12 FF 分别是椭圆 22 41xy 的左 右焦点 若P是椭圆上的一个动点 求 12 PF PF 的最 大值和最小值 此题是 圆锥曲线综合问题 复习课后的一个 巩 固提高 层次的题目 对于此题 在得到 2 12 PF PFx 2 1y 后 中等学生的问题表现在两个方面 不 知道怎样求最值 没有挖掘出x的定义域 因此组 长在讲评时 主要突出强调这两个问题 1 首先明确目标 把向量坐标化 12 PF PF 22 1xy 2 目标式右边有两个变量xy 是此题的一 个难点 能不能消掉其中一个变量呢 x和y还有什 么关系 由 22 41xy 得 22 1 4yx 代入目标 式得 2 12 3 4 PF PFx 这是典型的二次函数求最值问 题 充分体现了转化与化归的数学思想 3 二次函数的定义域有何限制 因为点P在 椭圆上 所以 2 2 x 此题本质上就是闭区间上 二次函数的值域问题 组长讲评完此题后 可让中等学生做变式练习 设 12 FF 分别是双曲线 22 41xy 的左 右焦点 若 P是双曲线上的一个动点 求 12 PF PF 的最大值和最 小值 最后 总结此类问题的一般方法 根据目标 式的结构特征 转化为二次函数求解相关的最值问 题 2 3 中等生对学困生的讲评中等生对学困生的讲评 学困生对知识的掌握强调准确认知 突出要解 决 是什么 的问题 中等生对学困生的讲评要过审题 关 理清问题 联系教材 关键要注重基础 案例案例 3 已知抛物线 2 2 0 ypx p 的准线与圆 22 3 16xy 相切 则p的值为 此题是 圆锥曲线综合问题 复习课后的一个 夯 实基础 层次的题目 中等生对学困生的讲评要结合 条件 借助图形 突出基本公式 基本方法 1 抛物线 2 2 0 ypx p 的准线方程是什么 2yp 2 直线与圆相切 有什么结论 圆心到直线 的距离dr 从而 24p 8p 3 作业的分层讲评的策略和意义作业的分层讲评的策略和意义 需要强调的是 在作业分层讲评策略的实施过 程中 教师的作用并不是削弱了 教师要对整个讲 评过程进行分析 培训 评估 检测和反馈 确保 讲评效果 在此策略中 教师和学生的行为可以概 括为图 2 图 2 学生行为 教师行为 自我反思 归纳整理 组内互助 讲评培训 总结提升 检测反馈 巩固基础 强化技能 提成能力 完善知识体系 在这个过程中 教师和学生 学生和学生之间 进行了充分的交流 让不同层次的学生参与进来 在不断的质疑与答惑 反思与总结的过程中 学生 的思维更加严谨 知识结构更加完善 体现了 自主 学习 合作学习 探究学习 的理念 特别是在分层 讲评中 尊重了学生的个体差异 提高了讲评效率 让学困生巩固基础知识 中等生强化数学技能 优 等生提高了数学能力 从而实现了不同层次的学生 得到充分的发展 参考文献参考文献 1 中华人民共和国教育部 普通高中数学课程标准 S 北京 人民教育 出版社 2003 2 黄汉昌 提高数学作业讲评有效性的策略研究 J 中国数学教育 2011 Z3 35 37 3 郭传省 小组合作学习的研究 D 山东师范大学 2003 本文系广州市名师专项课题 高中数学作业分层设计的实践研究 课题编号 2013B263 的阶段性成果 基于波利亚解题思想的高三习题课教学设计基于波利亚解题思想的高三习题课教学设计 何春华北京市通州区永乐店中学 101105 波利亚是数学解题的思想大家 他不仅成功地 复兴了探索法 还总结出多种解题策略 他在 怎 样解题 著作中阐述了中学数学教学的首要任务是 加强解题的训练 通过有效的解题训练 不仅让学 10福建中学数学2015年第5期 生掌握数学的基础知识 基本方法和基本技能 还 进一步激发他们学习数学的兴趣 提升他们分析问 题 解决问题的能力 高三数学复习内容多 时间紧 如何设计出有 效的习题课课堂教学 是每一位高三数学教师首要 考虑的教学问题 我们再次梳理波利亚解题表的四 个步骤 理解题目 拟订方案 执行方案 回顾与 反思 这是我们进行解题训练的理论依据 更是为 我们提高学生的数学解题水平提供深层次的帮 助 本文以人教版 A 版 教材选修 2 1 中 P73 第 6 题为例 谈谈如何进行高三习题课的教学设计 1 低起点 夯实基础低起点 夯实基础 例题例题 如图 1 直线 2yx 与抛物线 2 2yx 相交于点A B 求证 OAOB 1 1 理解题目理解题目 已知直线与抛物线交于点A B 让我们证明 A B两点与原点的连线相互垂直 1 2 拟订方案拟订方案 如何用数量关系来表示两条直线相互垂直的位 置关系呢 我们联想到若两直线的斜率之积为1 则这两直线相互垂直 1 3 执行方案 解法 执行方案 解法 1 坐标法 设 11 A xy 22 B xy 联立 2 2 2 yx yx 将直线方 程代入抛物线方程中得 2 640 xx 得35x 当 35x 时 15y 当35x 时 1y 5 15 35 OB k 15 35 OA k 15 35 OBOA kk 151 5 1 9535 OAOB 1 4 回顾与反思回顾与反思 至此 我们可以判断OAOB 但我们还能用不 同的方法推导这个结论吗 别的什么题也可以利用 这个结论或方法吗 解法解法 2 利用韦达定理 根与系数关系 12 6xx 12 4x x 12121212 2 2 2 44y yxxx xxx 1122 1 OBOA kkyxyx OAOB 解法解法 3 向量法 11221212 0OA OBx yxyx xy y OAOB 解法解法 4 利用勾股定理 22 20 8 520 8 540OAOB 2 40AB 222 OAOBAB 90AOB OAOB 解法解法 5 利用圆的方程 以线段AB为直径的圆C的方程为 12 xxxx 12 0yyyy 当0 x 0y 时 1 212 0 x xy y 成立 即原点在圆C上 直径所对的圆周角等于 直角 90AOB OAOB 通过该例题的学习 我们不仅复习了直线与抛 物线的位置关系 斜率 垂直的判定 两点间距离 公式 向量的数量积 圆的方程等基础知识 还感 受到用代数的方法研究几何性质的解析思想以及用 设而不求方法简化运算的便捷 2 采采 蘑菇蘑菇 激发兴趣 激发兴趣 当我们成功地解决一道题后 仍不要忘记寻找 更多相似的题目 正如蘑菇的成串生成一样 在一 道好题的附近 我们应该四处看看 一定能找到更 多相似的好题 如果题目条件不变 我们还能研究哪些问题 变式变式 1 求弦AB的长度 22 12 1 l ABkxx 2 1212 2 42 10 xxx x 变式变式 2 求AOB 的面积 设原点到直线 2yx 的距离为d 则 2 2 2 d 1 2 1022 5 2 AOB S 有了上面例题的学习体验 学生解决这两个问 题就比较轻松了 也激发了他们进一步学习的兴趣 3 搭搭 脚手架脚手架 培养探索精神 培养探索精神 当我们了解学生已有的知识和能力水平后 就 要考虑他们学习的最近发展区 为了让他们达到新 的发展水平 教师需要把复杂的学习任务加以分解 以便把学生的理解逐步引向深入 最后让学生完全 积极主动的展开学习 并能独立完成某种任务 变式变式 3 已知线段AB长度为3 两端均在抛物线 2 2yx 上 试求AB中点M到y轴的最短距离 解解 如图 2 过点A B M分别向准线1 2x 作垂线 垂足分别为 A B M 设点M到y轴 的距离为d 则 1111 2222 dMMAABB O A B y x 图 1 2015年第5期福建中学数学11 111 1 222 FAFBAB min 1d 此时弦AB 经过抛物线的焦点F 变式变式 4 已知线段AB长度为2 两端均在抛物线 2 2yx 上 试求AB中点M到y轴的最短距离 解解 如图 3 当 2AB 时 恰为抛物线 2 2yx 的 通径长度 仿照变式 3 的解法易知 min 11 22 dAB 111 2 222 此时ABx 轴 弦AB恰为抛物线的 通径 中点M与焦点F重合 O A B y x F A B M M 图 2 x y O A B A B 图 3 AF x B A O B y 图 4 Q C M y B O N A K x P 图 5 变式变式 5 已知线段AB长度为1 两端均在抛物线 2 2yx 上 试求AB中点M到y轴的最短距离 分析分析 如图 4 我们仍仿照变式 3 的解法 但发 现FA FBAB 中的等号不成立 所以必须另辟蹊 径 线段AB的两个端点在抛物线上移动过程中 当 ABx 轴时 中点M到y轴的距离最小 因为 2 y 2 1 2 1 4 所以 2 21 8xy 即点M到y轴的 距离最小距离为1 8 此时ABx 轴 变式 3 4 5 分别研究线段AB的长大于抛物线 通径长 等于抛物线通径长 小于抛物线通径长时 弦AB的中点M到y轴的最短距离 这样变式 6 的出 现也就水到渠成 变式变式 6 已知线段AB长度为 0 a a 两端均在 抛物线 2 2yx 上 试求AB中点M到y轴的最短距 离 学生在独立研究变式 6 时 自然想到要对字母 0 a a 分02a 2a 2a 抛物线 2 2yx 的 通径长为 2 三种情况进行讨论 4 拓展延伸 提升能力拓展延伸 提升能力 坐标法是解析几何最基本的研究方法 通过坐 标法我们将几何问题转化代数问题 将代数问题转 化成方程或方程组解的问题 变式变式 7 直线 2ykx 与抛物线 2 2yx 相交于 点A B 求弦AB中点的轨迹方程 解解 设 11 A xy 22 B xy 联立 2 2 2 ykx yx 将 直线方程代入抛物线方程中得 22 42 40k xkx 22 0 42 160 k kk 解得1 4k 且0k 由韦 达定理根与系数关系得 2 12 42 xxkk 设弦AB 中点 M xy 则 2 12 2 21 21 xxxkk ykxk 消去 参数k得 2 2xyy 1 4k 且0k 4y 或 0y 即弦AB中点的轨迹方程为 2 2xyy 4y 或 0y 轨迹是抛物线 2 2xyy 在抛物线 2 2yx 含焦点的区域 且不包括两抛物线的相交点 变式变式 8 如图 5 所示 AB是抛物线 2 2yx 的弦 M为AB的中点 过点M作对称轴的平行线交抛物 线于点C 连接AC BC 再分别过AC BC的中 点N K作对称轴的平行线交抛物线于P Q两点 连接AP CP BQ CQ 求证 1 8 ACPBCQABC SSS 解解 设点 2 1 1 2 y Ay 2 2 212 2 y Byyy 则点 22 1212 42 yyyy M 2 1212 82 yyyy C 2 12 8MCyy 3 12 12 1 216 ABC yy SMCyy 同理 可求得 2 12 32NPyy 12 1 1 22 ACP yy SNPy 2 1212 11 23228 ABC yyyy S 同理可证 8 BCQABC SS 8 ACPBCQABC SSS 5 回顾与反思回顾与反思 在波利亚解题思想指导下 我们对课本上一道 习题进行变