量子力学 题纲.doc

键入文字一 量子力学基本原理原理1 态与波函数l 微观体系的状态被一个波函数完全描述，从这个波函数可以得出体系的所有性质。波函数一般应满足连续性，有限性和单值性三个条件。l 数学上，波函数是希尔伯特空间中的矢量。相差一个复数因子的两个矢量，描写同一状态。波函数归一化。l 波函数的几率解释。 ：在r点处的体积元中找到粒子的概率。l 定义一个量子体系的任意两个波函数y 与j 的内积, 原理2 力学量与算符l 描写微观系统物理量的是希尔伯特空间中的厄米算符。l 如果在经典力学中有相应的力学量，在量子力学中表示这个力学量的算符，由经典表示式中将动量p 换成算符得出：位置算符，动量算符， 角动量。直角坐标分量表示。 角动量算符的模方(的平方)：. 角动量在球面坐标系的表示： l 厄密算符的定义,性质和运算规则： 算符的复共轭算符，算符的转置算符，算符的厄米共轭算符或伴随算符：， 厄米算符（自伴算符）： 厄米算符的本征值必为实数， 厄米算符的属于不同本征值的本征函数彼此正交。厄米算符的本征函数组成正交归一函数系。 厄米算符所有本征函数组成的函数系构成完备系。l 算符的本征值方程 l 物理量所能取的值，是相应算符的本征值。如果用测量仪器测量这个力学量的取值，则只能测得其本征值。l 力学量的平均值公式。l 将体系的状态波函数用算符的本征函数展开：， 则在 态中测量力学量 得到结果为的几率是，得到结果在 与 范围内的几率是 。 。l 简并度和简并态: 如果属于本征值的本征态是（1）个，即力学量A的本征值方程为 则称本征值是重简并的。称fn为简并度。在出现简并时，简并态的选择并不是唯一的。在出现简并时，简并态的选择不是唯一的，而且一般说来，这些简并态并不一定彼此正交。但是，可以证明，总可以把它们适当地线性叠加，使之彼此正交。在常见的一些问题中，当出现简并时，为了把某力学量A的简并态确定下来，往往可以用A以外的其他力学量的本征值来对简并态进行分类，此时正交性问题将自动得到解决。这就涉及到了两个或多个力学量的共同本征态问题。l 算符的对易关系：微观系统中每个粒子的直角坐标下的位置算符Xi（i1，2，3）与相应的正则动量算符Pi有下列对易关系:。算符的其他对易关系都可以由此得到。而不同粒子间的所有算符均相互对易。l 一组算符具有共同本征函数的充要条件是，这组算符中的任意两个算符都可以对易。 的正交归一化共同本征函数为球谐函数, 其中的为关联勒让德函数，为球谐函数 ，(;)l 力学量完全集假定(,)是一组彼此独立而又相互对易的厄米算符，它们的共同本征函数记为ya，其中a 是一组量子数的笼统记号（如）。如果在给定一组量子数a 之后，就能够完全确定体系的一个可能状态，则称这一组力学量(,)构成了体系的一组力学量完全集。守恒量: if 和 , or ，则力学量A称为体系的一个守恒量。l 量子体系的守恒量与定态:守恒量是体系的一种特殊的力学量，它与体系的哈密顿量对易；守恒量在一切状态(不管是否是定态)下的平均值和概率分布都不随时间改变。定态是体系的一种特殊的状态，即能量本征态；在定态下，一切不显含时间t的力学量(不论其是否是守恒量)的平均值和测值概率分布都不随时间改变，这正是称之为定态的原因。l 守恒量与对称性空间平移不变性或空间均匀性 体系的动量守恒；空间转动不变性或空间各向同性 体系的角动量守恒；时间平移不变性或时间均匀性 体系的能量守恒。原理3 态叠加原理如y1, y2yn等都是体系的可能状态，那末它们的线性叠加态也是这个体系的一个可能状态，原理4薛定谔方程微观系统的状态|(t)随时间变化的规律是薛定谔方程,式中是体系的哈密顿算符( = 动能函数 + 势能函数), 对于一个粒子在势场V ( r )中运动的情况，有, 哈密顿算符决定了体系的量子态随时间的变化规律，在量子力学中占有特别重要的地位。当我们探索用新的理论模型来解释物理现象时，核心问题之一就是要找到该体系哈密顿算符的合理表达式。并不意味着算符等于算符，在自然界中真正能够实现的波函数y ( t )的演化必须满足薛定谔方程，而绝不是说方程对于任意波函数y ( t )都成立。定态薛定谔方程:当哈密顿算符不显含时间t时，薛定谔方程 可以分离变量，对应的定态薛定谔方程(能量本征值方程)为 原理5全同性原理见课本p242二 填空简答题：1. 黑体辐射和光电效应揭示了 。2. 几率连续性方程的数学表达式是: 3. 测不准关系反映了微观粒子的波粒二象性。4. 写出对量子力学发展有重要贡献的物理学家： , , , , 。 5. 一维自由粒子的动量本征函数是： 。6. 如果不考虑电子的自旋，描写氢原子状态所需要的力学量的完全集合是： 7. 量子力学中，表示力学量算符的矩阵是厄密矩阵。8. 全同粒子体系的哈密顿量具有 对称性。9. 对易关系 ，。10. ，则 11. 自旋角动量。泡利矩阵。12. 实物粒子的德布罗意波与电磁波、机械波有什么区别？13. 最先证明实物粒子的波动性质的是哪一个实验？14. 微观实物粒子的波粒二象性。15. 几率流密度矢量。16. 角动量算符。17. 希尔伯特空间。18. 氢原子的1s态的波函数：，19. 何谓不确定关系？为什么说不确定关系与实验技术或仪器的改进无关？20. 不确定关系对宏观物体是否适用？为什么经典力学在考虑粒子运动规律时都不考虑其波动性？21. 说明波函数的统计意义，波函数应满足什么物理条件？22. 将波函数在空间各点的振幅同时增为 倍，则粒子在空间分布的概率将：(1) 增为 倍； (2) 增为2 倍；(3) 增为 倍；(4) 不变23. 什么叫隧道效应？在什么条件下隧道效应就不显著了？24. 说明定态薛定谔方程的物理意义。25. 泡利不相容原理;26. 波函数的统计解释是_，其标准条件是_。27. 什么是跃迁的选择定则？中心力场中，电偶极跃迁的选择定则为；。28. 考虑到电子自旋，氢原子能级的简并度为_；碱金属原子能级的简并度为_。29. 两个角动量，耦合的总角动量J=_和_。相应耦合态个数分别为_个和_个。 30. 对易关系：；。31. 在表象中，在自旋态中的可能测值为_和_，其相应几率分别为_和_。32.三 计算证明题：1) 求粒子处于态时角动量的x分量和y分量的平均值以及.利用.2) 证明: 一维运动的粒子的动量平均值可表示为：.3) 证明 ， 4) 已知一量子态的波函数为,试求y 态中角动量L2和Lz的可能取值、概率以及和.5) 在状态中，讨论的值，并求.6) 设体系哈密顿量为。本征值方程，。证明：（1） （2）7) 求在动量表象中角动量的矩阵元和的矩阵元。8) 求线性谐振子哈密顿量在动量表象中的矩阵元。9) 转动惯量为I、电偶极矩为的空间转子处在均匀电场在中，如果电场较小，用微扰法求转子基态能量的二级修正。(5.2)10) 单价原子自发能级跃迁过程的选择定则及其理论根据。11) 束缚定态的主要性质12) 设氢的状态是 , 求轨道角动量z分量和自旋角动量z分量的平均值； 求总磁矩 的 z分量的平均值（用玻尔磁矩子表示）。(7.5)课本习题 2.3; 3.6 3.8 3.9 3.10 4.1 4.2 4.5 5.4 5.6 5.7 7.1 7.3 7.5 7.6 5.2 转动惯量为I、电偶极矩为的空间转子处在均匀电场在中，如果电场较小，用微扰法求转子基态能量的二级修正。 解：取的正方向为Z轴正方向建立坐标系，则转子的哈米顿算符为 取，则 由于电场较小，又把视为微扰，用微扰法求得此问题。 的本征值为 本征函数为 的基态能量为，为非简并情况。根据定态非简并微扰论可知 #5.8 求线性谐振子偶极跃迁的选择定则 解： 由 时， 即选择定则为 #Xxxx 一维无限深势阱，微观粒子质量为，能量本征值为：，相应本征函数为：，；已知时，初态波函数为：；1.1)将初态波函数：归一化，求出归一化因子；（5分）1.2)求波函数（5分）1.3)求几率密度：（5分）1.4)求位置的平均值：（8分）1.5)求动量的