南京航空航天大学《高等数学》83全微分及其应用.pdf

全微分的概念全微分的概念 全微分在近似计算中的应用全微分在近似计算中的应用 一 全微分的概念一 全微分的概念 点处的微分函数在则 若 概念曾讲了一元函数的微分在 点处的微分函数在则 若 概念曾讲了一元函数的微分在 0 7 2 xxxAdy xxxAy ch 的一个近似是表明的一个近似是表明ydy 的高阶无穷小量误差为 是线性的关于 的高阶无穷小量误差为 是线性的关于 x xdy 2 1 的线性逼近是综合的线性逼近是综合ydy 1 问题的提出问题的提出 y x o y dy M N y f x T x x xx 0 0 x P Q 改变量几何上切线的纵坐标的 改变量几何上切线的纵坐标的 dy 的高阶无穷小 关于使误差 处全增量在点 的高阶无穷小 关于使误差 处全增量在点 能否表达能否表达 22 0000 0000 00 yxyBxAz yyxBxyxA yxfyyxxfz yxpyxfz 全微分有类似的概念对于全微分有类似的概念对于 yxfz oyyxBxyxA yxfyyxxfz 0000 0000 可表示成可表示成 yyxBxyxAdzdz 0000 即记作即记作 的全增量 处在点若内有定义 的某个邻域在点设 的全增量 处在点若内有定义 的某个邻域在点设 00 00 yxpyxfz yxpyxfz 00 00 的全微分在点为而称 处可微分在点则称 的全微分在点为而称 处可微分在点则称 yxyxfzyBxA yxpyxfz 2定义定义 定义定义1 22 yx 内可微 在内每点均可微则称函数在若 内可微 在内每点均可微则称函数在若 D Dyxf 定义定义2 1可推知由定义 可推知由定义 00 00 连续在点 可微在 连续在点 可微在 yxpyxfz yxPyxfz 件即连续是可微的必要条 事实上 件即连续是可微的必要条 事实上 0 limlim 0000 0 0 0 0 oyyxBxyxAz y x y x 与一元函数类似与一元函数类似 定理定理1 3 可微的条件可微的条件 定理定理2 必要条件必要条件 yyxfxyxfdz yxfyxfyxp yxpyxfz yx yx 0000 000000 00 且 存在处 在点 处可微在点若 且 存在处 在点 处可微在点若 y y z x x z dz A x xo A x z x z x x x 00 limlim oyyxBxyxAz 0000 xoxAoxA yxfyxxfzz x y 0000 0令令 则则 证明证明 处可微在点处可微在点 00 yxpyxfz y z B 同理证得 同理证得 x y y z x x z dz 但是反之未必成立 各个偏导数存在 多元函数全微分存在注 但是反之未必成立 各个偏导数存在 多元函数全微分存在注 1 前面举例事实上 前面举例事实上 0 0 偏导数存在未必可微 不连续一定不可微不连续在 偏导数存在未必可微 不连续一定不可微不连续在 yxf 00 0 22 22 24 2 yx yx yx yx yxf lim00 00 0 0 0 不存在但不存在但yxfff y x yx 0 0 0 0 0 1 sin 22 22 yx yx yx yx yxf 反之未必成立 函数连续 多元函数全微分存在注 反之未必成立 函数连续 多元函数全微分存在注 2 不存在 不存在 xx x x fxf xx 1 sinlim 0 0 0 0 lim 00 0 0 不存在同理 不存在同理 y f 故不可微故不可微 22 22 22 1 sin0yx yx yx 0 0 0 1 sinlim 22 22 0 0 f yx yx y x 可微 使得那么还须加什么条件能而不是充分条件 件存在仅是可微的必要条上面的讨论表明偏导数 可微 使得那么还须加什么条件能而不是充分条件 件存在仅是可微的必要条上面的讨论表明偏导数 yxfz 定理定理3 充分条件充分条件 0000 可微在点连续 在点的若 可微在点连续 在点的若 yxyxfzyx yxfyxfyxfz yx 与偏导数联系上要把与偏导数联系上要把 z oy y z x x z oyBxAz 证明证明 要证分析证明思路要证分析证明思路 0000 yxfyyxxfz 0000 0000 yxfyyxf yyxfyyxxf yyyxfxyyxxf yx 200010 1 0 21 00200 0 0 00010 0 0 lim lim yxfyyxf yxfyyxxf yy y x xx y x 连续连续 y z x z yyxfxyxf yxfyyxxfz yx 0000 0000 0limlim 0 0 0 0 y x y x 其中其中 0lim 0 0 得证 得证 yx y x yx yfxfz yx 故 故 0 yx 分条件偏导数连续是可微的充 要条件偏导数存在是可微的必综合 分条件偏导数连续是可微的充 要条件偏导数存在是可微的必综合 微分之和全微分等于它的两个偏 习惯上 微分之和全微分等于它的两个偏 习惯上 dy y f dx x f dz dyydxx 1 2 元以上的函数可完全类似地推广到二 在的充分条件全微分定义及全微分存 元以上的函数可完全类似地推广到二 在的充分条件全微分定义及全微分存 注 处连续 在任何点 处连续 在任何点yxPxe y z ye x z xyxy 的全微分 处若可微计算在是否可微函数 的全微分 处若可微计算在是否可微函数1 2 xy ez 2 1 2 2 1 2 2e y z e x z y x y x dyedxedz 22 2 故 故 例例1 解解 4 4 2yx ycos 全增量全微分 时的处当在求 全增量全微分 时的处当在求 dydxz 例例2 解解 2sin 2 2cos 2sin yxyyx y z yxy x z 2 2 74 8 2 zdz 的全微分 求的全微分 求 222 zyxu 例例3 2xydzxzdyyzdxxyzdu 0 0 0 0 00 0 1 sin 22 22 22 不连续在点但可微在 证明 不连续在点但可微在 证明 yxfyxf yx yx yx xy yxf yx 例例4 0 00 0 00 0 lim0 01 0 0 y y x x f x fxf f 22 1 sin00 0 00 0 2 yx yxyx fyxfz 22 1 sin yx yxyBxA 解解 22 22 1 sin yx yx yx yBxAz 22 22 1 sin yx yx yx yBxAz 1 sin 22 o yx yxz 可微可微 0 0 2 1 22 yx 时当时当0 0 00 03 yx f x lim 0 0 不存在不存在yxf x x y 222 22 2 22 2222222 1 cos 21 sin 2 1 cos 1 sin yx yx yx yx y yx x yx xy yx yyxf x 2 1 c