南京航空航天大学《高等数学》35函数的极值及其求法.pdf

第五节 函数的极值及其求法第五节 函数的极值及其求法 函数极值的定义函数极值的定义 函数极值的求法函数极值的求法 一 函数极值的定义一 函数极值的定义 ox y a b xfy 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x o x y o x y 0 x 0 x 极值是局部区域上的 最大或最小值 极值是局部区域上的 最大或最小值 在间断点或端点处不 考虑极值 在间断点或端点处不 考虑极值 对连续函数 极大 极小交替出现 对连续函数 极大 极小交替出现 函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值 使函数取得 极值的点称为 使函数取得 极值的点称为极值点极值点 0 0 00 000 0 或极大点称为函数的极小点或极大值 的极小值是函数则称 或均有 对任意如果存在正数内的一个点 是内有定义在区间设函数 或极大点称为函数的极小点或极大值 的极小值是函数则称 或均有 对任意如果存在正数内的一个点 是内有定义在区间设函数 x xfxfxfxf xfxfxxx ba xbaxf 定义定义 二 函数极值的求法二 函数极值的求法 设设 xf在点在点 0 x处具有导数 且 在 处具有导数 且 在 0 x处取得极值 那末必定处取得极值 那末必定0 0 xf 定理1 必要条件 定理1 必要条件 定义定义 0 的驻点做函数 叫的实根即方程使导数为零的点 的驻点做函数 叫的实根即方程使导数为零的点 xf xf 注意注意 是极值点但函数的驻点却不一定 点的极值点必定是它的驻可导函数 是极值点但函数的驻点却不一定 点的极值点必定是它的驻可导函数xf 例如例如 3 xy 0 0 x y 0不是极值点但不是极值点但 x 极值存在的必要条件极值存在的必要条件 1 如果 1 如果 00 xxx 有有 0 xf而而 00 xxx 有 有0 xf 则 则 xf在在 0 x处取得极大值 2 如果 处取得极大值 2 如果 00 xxx 有有 0 xf 则 则 xf在在 0 x处取得极小值 3 如果当 处取得极小值 3 如果当 00 xxx 及及 00 xxx时 时 xf 符号相同 则符号相同 则 xf在在 0 x处无极值 处无极值 定理2 第一充分条件 定理2 第一充分条件 x y ox y o 0 x 0 x 是极值点情形是极值点情形 极值存在的充分条件极值存在的充分条件 x y ox y o 0 x 0 x 求极值的步骤 求极值的步骤 1 x f 求导数求导数 0 2 不存在的点和使的根方程求驻点不存在的点和使的根方程求驻点xfxf 3 判断极值点在驻点左右的正负号检查判断极值点在驻点左右的正负号检查x f 4 求极值求极值 不是极值点情形不是极值点情形 例1例1 解解 593 23 的极值求出函数的极值求出函数 xxxxf 963 2 xxxf 令 令0 x f 3 1 21 xx得驻点得驻点列表讨论列表讨论 x 1 3 3 1 1 3 x f xf 00 极大值极大值 极小值极小值 3 f极小值极小值 22 1 f极大值极大值 10 3 1 3 xx 593 23 xxxxf M m 图形如下图形如下 设 设 xf在在 0 x处具有二阶导数 且 处具有二阶导数 且0 0 xf 0 0 xf 那末 1 当 那末 1 当0 0 xf时 函数时 函数 xf在在 0 x处取得极小值 定理3 第二充分条件 处取得极小值 定理3 第二充分条件 证证 1 x xfxxf xf x lim 00 0 0 0 异号 与故异号 与故xxfxxf 00 时 当时 当0 有有 0 时 当时 当0 x 00 xfxxf 有有 0 所以所以 函数函数 xf在在 0 x处取得极大值处取得极大值 例2例2 解解 20243 23 的极值求出函数的极值求出函数 xxxxf 2463 2 xxxf 令 令0 x f 2 4 21 xx得驻点得驻点 2 4 3 xx 66 xxf 4 f 018 2 f故极小值故极小值 48 20243 23 xxxxf 图形如下图形如下 M m 注意 注意 2 0 00 仍用定理 处不一定取极值在点时 仍用定理 处不一定取极值在点时xxfxf 例3例3 解解 2 1 3 2 的极值求出函数 的极值求出函数 xxf 2 2 3 2 3 1 xxxf 2不存在时当不存在时当xfx 时 当时 当2 x f 时 当时 当2 x 0 x f 1 2 的极大值为的极大值为xff 在该点连续但函数在该点连续但函数xf 注意 注意 函数的不可导点函数的不可导点 也可能是函数的极值点也可能是函数的极值点 M 例4例4 解解 2 1 2 322 的极值求出函数 的极值求出函数 于是于是0 x为为 xf的极小值点的极小值点 当当0 x时 时 当当0 x时