南京航空航天大学《高等数学》12初等函数.pdf

基本初等函数基本初等函数 复合函数 初等函数复合函数 初等函数 双曲函数与反双曲函数双曲函数与反双曲函数 一 基本初等函数一 基本初等函数 1 幂函数幂函数 是常数是常数 xy o x y 1 1 1 1 2 xy xy x y 1 xy 2 指数函数指数函数 1 0 aaay x x ay x a y 1 1 a 1 0 x ey 3 对数函数对数函数 1 0 log aaxy a xyln xy a log xy a 1 log 1 a 0 1 4 三角函数三角函数 正弦函数正弦函数 xysin xysin xycos xycos 余弦函数余弦函数 正切函数正切函数xytan xytan xycot 余切函数余切函数 xycot 正割函数正割函数xysec xysec xycsc 余割函数余割函数 xycsc 5 反三角函数反三角函数 xyarcsin xyarcsin 反正弦函数反正弦函数 xyarccos xyarccos 反余弦函数反余弦函数 xyarctan xyarctan 反正切函数反正切函数 幂函数幂函数 指数函数指数函数 对数函数对数函数 三角函数和反 三角函数统称为 三角函数和反 三角函数统称为基本初等函数基本初等函数 xycot 反余切函数反余切函数arc xycot arc 二 复合函数 初等函数二 复合函数 初等函数 1 复合函数复合函数 uy 设 设 1 2 xu 2 1xy 定义定义 设函数设函数y f u 的定义域为的定义域为Df 函数 函数u x 的值域的值域 为为W u u x x D Df 则称函数 则称函数y f x 为为 x的的复合函数复合函数 自变量自变量 x 中间变量中间变量 u 因变量因变量 y 代入法代入法 注 注 不是任何两个函数都可以复合成一个 复合函数的 不是任何两个函数都可以复合成一个 复合函数的 arcsinuy 例如 例如 2 2 xu 2arcsin 2 xy 复合函数可以由两个以上的函数经过复合 构成 复合函数可以由两个以上的函数经过复合 构成 2 cot x y 例如 例如 uy cotvu 2 x v 2 初等函数初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算 和有限次的函数复合步骤所构成并可用 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算 和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子一个式子 表示表示的函数的函数 称为称为初等函数初等函数 例1例1 0 1 0 2 1 1 2 xf xx xx x xx xe xf x 求 设 求 设 解解 1 1 xx xe xf x 1 10时当时当 x 0 x或或 12 xx 20 x 0 x或或 11 2 xx 1 x 1 2 0 时当 时当 x 0 x或或 12 xx 2 x 0 x或或 11 2 xx 01 x 综上所述综上所述 2 1 20 01 1 2 2 1 2 2 xx x x x e x e xf x x 三 双曲函数与反双曲函数三 双曲函数与反双曲函数 2 ee shx xx 双曲正弦 双曲正弦 chxy shxy D 奇函数奇函数 2 ee chx xx 双曲余弦 双曲余弦 D 偶函数偶函数 1 双曲函数双曲函数 x ey 2 1 x ey 2 1 xx xx ee ee xcosh xsinh thx 双曲正切 双曲正切 奇函数奇函数 D有界函数有界函数 双曲函数常用公式双曲函数常用公式 chxshyshxchy yx sh shxshychxchy yx ch 1xshxch 22 shxchx2x2sh xshxchx2ch 22 2 反双曲函数反双曲函数 奇函数奇函数 D 内单调增加在 内单调增加在 arshxy 反双曲正弦反双曲正弦 1xxln arshxy 2 arshxy 1 内单调增加在 内单调增加在 1 D y反双曲余弦反双曲余弦archx 1xxln archxy 2 archx y 1 1 ln 2 1 x x 1 1 D 奇函数奇函数 1 1 内单调增加在 内单调增加在 y反双曲正切反双曲正切arthx arthxy tanharx y 四 小结四 小结 函数的分类函数的分类 函数函数 初等函数初等函数 非初等函数 分段函数 有无穷多项等函数 非初等函数 分段函数 有无穷多项等函数 代数函数代数函数 超越函数超越函数 有理函数有理函数 无理函数无理函数 有理整函数 多项式函数 有理整函数 多项式函数 有理分函数 分式函数 有理分函数 分式函数 思考思考 下列函数能否复合为函数下列函数能否复合为函数 xgfy 若能 写出其解析式 定义域 值域 若能 写出其解析式 定义域 值域 1 uufy 2 xxxgu ln 2 uu