高考数学二轮复习 第二部分 专题五 立体几何 5.3.2 角与距离课件 理.ppt

5 3 2角与距离 2 利用空间向量求空间角 多维探究 题型1求异面直线所成的角例1如图 四边形abcd为菱形 abc 120 e f是平面abcd同一侧的两点 be 平面abcd df 平面abcd be 2df ae ec 1 证明 平面aec 平面afc 2 求直线ae与直线cf所成角的余弦值 3 1 证明连接bd 设bd ac g 连接eg fg ef 在菱形abcd中 不妨设gb 1 从而eg2 fg2 ef2 所以eg fg 又ac fg g 可得eg 平面afc 因为eg 平面aec 所以平面aec 平面afc 4 5 解题心得由于异面直线所成的角的范围是 利用向量的数量积所求的两个向量的夹角有可能是钝角 为此取向量夹角余弦值的绝对值作为异面直线的夹角的余弦值 即若ab cd为异面直线 所成的角为 则cos 6 对点训练1 2017江苏无锡一模 15 如图 已知正四棱锥p abcd pa ab 2 点m n分别在pa bd上 且 1 求异面直线mn与pc所成角的大小 2 求二面角n pc b的余弦值 7 解 1 设ac与bd的交点为o 以点o为坐标原点 建立空间直角坐标系oxyz 则a 1 1 0 b 1 1 0 c 1 1 0 d 1 1 0 30 故异面直线mn与pc所成角为30 8 9 题型2求线面角例2如图 四棱锥p abcd中 pa 底面abcd ad bc ab ad ac 3 pa bc 4 m为线段ad上一点 am 2md n为pc的中点 1 证明mn 平面pab 2 求直线an与平面pmn所成角的正弦值 10 取bp的中点t 连接at tn 由n为pc中点知tn bc tn bc 2 又ad bc 故tn am 四边形amnt为平行四边形 于是mn at 因为at 平面pab mn 平面pab 所以mn 平面pab 2 解取bc的中点e 连接ae 由ab ac得ae bc 从而ae ad 11 12 解题心得求线面角可以用几何法 即 先找 后证 再求 也可以通过平面的法向量来求 即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角 取其余角就是斜线和平面所成的角 13 对点训练2 2017山西太原三模 理19 如图 在三棱柱abc a1b1c1中 侧面acc1a1 底面abc a1ac 60 ac 2aa1 4 点d e分别是aa1 bc的中点 1 证明 de 平面a1b1c 2 若ab 2 bac 60 求直线de与平面abb1a1所成角的正弦值 14 1 证明取ac的中点f 连接df ef e是bc的中点 ef ab abc a1b1c1是三棱柱 ab a1b1 ef a1b1 ef 平面a1b1c d是aa1的中点 df a1c df 平面a1b1c 又ef df f 平面def 平面a1b1c de 平面a1b1c 2 解过点a1作a1o ac 垂足为o 连接ob 侧面acc1a1 底面abc a1o 平面abc a1o ob a1o oc a1ac 60 aa1 2 ab 2 oab 60 由余弦定理得ob2 oa2 ab2 2oa abcos bac 3 15 ob aob 90 ob ac 分别以ob oc oa1为x轴 y轴 z轴 建立如图的空间直角坐标系oxyz 设m x1 y1 z1 是平面abb1a1的一个法向量 16 17 题型3求二面角例3 2017全国 理18 如图 在四棱锥p abcd中 ab cd 且 bap cdp 90 1 证明 平面pab 平面pad 2 若pa pd ab dc apd 90 求二面角a pb c的余弦值 1 证明由已知 bap cdp 90 得ab ap cd pd 由于ab cd 故ab pd 从而ab 平面pad 又ab 平面pab 所以平面pab 平面pad 18 2 解在平面pad内作pf ad 垂足为f 由 1 可知 ab 平面pad 故ab pf 可得pf 平面abcd 建立如图所示的空间直角坐标系f xyz 19 20 解题心得如图 设平面 的法向量分别为n1 n2 二面角的平面角为 0 则 cos cos 结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角 21 对点训练3 2017全国 理19 如图 四棱锥p abcd中 侧面pad为等边三角形且垂直于底面abcd ab bc ad bad abc 90 e是pd的中点 1 证明 直线ce 平面pab 2 点m在棱pc上 且直线bm与底面abcd所成角为45 求二面角m ab d的余弦值 22 1 证明取pa的中点f 连接ef bf 因为e是pd的中点 所以ef ad ef ad 由 bad abc 90 得bc ad 又bc ad 所以ef bc 四边形bcef是平行四边形 ce bf 又bf 平面pab ce 平面pab 故ce 平面pab 23 因为bm与底面abcd所成的角为45 而n 0 0 1 是底面abcd的法向量 24 25 空间点到面的距离例4如图 在多面体abcdef中 底面abcd是边长为2的菱形 bad 60 四边形bdef是矩形 平面bdef 平面abcd de 2 m为线段bf的中点 1 求m到平面dec的距离及三棱锥m cde的体积 2 求证 dm 平面ace 26 1 解设ac bd o 以o为原点 ob为x轴 oc为y轴 过o作平面abcd的垂线为z轴 建立空间直角坐标系 27 解题心得求空间的距离用找公垂线的方法比较难下手 用向量代数的方法则简捷 高效 2 异面直线间的距离可以通过在两条直线上任意各取一点a b 求向量在公垂线的方向向量n上的投影来解决 直线到与其平行的平面的距离 平行平面间的距离都可转化为点到平面的距离 28 对点训练4a1b1 a1d1的中点 1 在图中作一个平面 使得bd 且平面aef 不必给出证明过程 只要求作出 与直棱柱abcd a1b1c1d1的截面 2 若ab aa1 2 ba