南京航空航天大学《高等数学》77平面及其方程.pdf

第七节 平面及其方程第七节 平面及其方程 平面的点法式方程平面的点法式方程 平面的一般方程平面的一般方程 两平面的夹角两平面的夹角 x y z o 0 M M 如果一非零向量垂直于一平如果一非零向量垂直于一平 面 这向量就叫做该平面的面 这向量就叫做该平面的法线法线 向量向量 垂直于平面内的任一向量垂直于平面内的任一向量 已知平面已知平面 的法向量的法向量 CBAn nMM 0 0 0 nMM 一 平面的点法式方程一 平面的点法式方程 n 0000 zyxM 是平面是平面 上的一定点 上的一定点 则平面上的任一点则平面上的任一点 zyxM满足几何条件满足几何条件 代入向量的坐标代入向量的坐标 0 000 zzCyyBxxA 平面的点法式方程平面的点法式方程 平面上的点都满足上方程 不在平面上的 点都不满足上方程 上方程称为平面的方程 平面称为方程的图形 平面上的点都满足上方程 不在平面上的 点都不满足上方程 上方程称为平面的方程 平面称为方程的图形 其中法向量其中法向量 CBAn 已知点已知点 000 zyx 0000 CBAzzyyxxnMM 例 1 求过三点例 1 求过三点 4 1 2 A 2 3 1 B和和 3 2 0 C的平面方程的平面方程 6 4 3 解解 AB 1 3 2 AC 取取ACABn 1 9 14 所求平面方程为所求平面方程为 0 4 1 9 2 14 zyx 化简得化简得 015914 zyx 例 2 求过点例 2 求过点 1 1 1 且垂直于平面 且垂直于平面7 zyx和和 051223 zyx的平面方程的平面方程 1 1 1 1 n 12 2 3 2 n 取法向量取法向量 21 nnn 5 15 10 0 1 5 1 15 1 10 zyx 化简得化简得 0632 zyx 所求平面方程为所求平面方程为 解解 由平面的点法式方程由平面的点法式方程 0 000 zzCyyBxxA 0 000 CzByAxCzByAx D 0 DCzByAx平面的一般方程平面的一般方程 法向量法向量 CBAn 二 平面的一般方程二 平面的一般方程 结论 平面方程是三元一次方程 任意三元一次方程结论 平面方程是三元一次方程 任意三元一次方程 的图形是一平面 的图形是一平面 平面一般方程的几种特殊情况 平面一般方程的几种特殊情况 0 1 D平面通过坐标原点 平面通过坐标原点 0 2 A 0 0 D D平面通过 轴 平面通过 轴 x 平面平行于 轴 平面平行于 轴 x 0 3 BA平面平行于坐标面 平面平行于坐标面 xoy 类似地可讨论情形类似地可讨论情形 0 0 CBCA 0 0 CB类似地可讨论情形类似地可讨论情形 0 DCzByAx 例 3例 3 设平面过原点及点设平面过原点及点 2 3 6 且与平面 且与平面 824 zyx垂直 求此平面方程垂直 求此平面方程 设平面为设平面为 0 DCzByAx 由平面过原点知由平面过原点知 0 D 由平面过点由平面过点 2 3 6 知知0236 CBA 2 1 4 n 024 CBA 3 2 CBA 0322 zyx所求平面方程为所求平面方程为 解解 例 4例 4 设平面与设平面与zyx 三轴分别交于三轴分别交于 0 0 aP 0 0 bQ 0 0 cR 其中 其中0 a 0 b 0 c 求此平面方程 求此平面方程 设平面为设平面为 0 DCzByAx 将三点坐标代入得将三点坐标代入得 0 0 0 DcC DbB DaA a D A b D B c D C 解解 a D A b D B c D C 将将 代入所设方程得代入所设方程得 1 c z b y a x 平面的截距式方程平面的截距式方程 x轴上截距轴上截距 y轴上截距轴上截距 z轴上截距轴上截距 例 5 例 5 求平行于平面求平行于平面0566 zyx而与三个坐 标面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程 而与三个坐 标面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程 设平面为设平面为 1 c z b y a x x y z o 1 V 1 2 1 3 1 abc 由所求平面与已知平面平行得由所求平面与已知平面平行得 t cba 6 1 1 1 6 1 向量平行的充要条件 向量平行的充要条件 解解 化简得化简得 t cba 6 11 6 1 6 1 t a 1 t b 6 1 t c ttt6 11 6 1 6 1 1 代入体积式代入体积式 6 1 t 1 6 1 cba 666 zyx所求平面方程为所求平面方程为 定义定义 通常取锐角 通常取锐角 1 1 n 2 2 n 两平面法向量之间的夹角称为两平面的两平面法向量之间的夹角称为两平面的 夹角 夹角 0 11111 DzCyBxA 0 22222 DzCyBxA 1111 CBAn 2222 CBAn 三 两平面的夹角三 两平面的夹角 按照两向量夹角余弦公式有按照两向量夹角余弦公式有 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 212121 cos CBACBA CCBBAA 两平面夹角余弦公式两平面夹角余弦公式 两平面位置特征 两平面位置特征 21 1 0 212121 CCBBAA 21 2 2 1 2 1 2 1 C C B B A A 例6 研究以下各组里两平面的位置关系 例6 研究以下各组里两平面的位置关系 013 012 1 zyzyx 01224 012 2 zyxzyx 02224 012 3 zyxzyx 解解 1 22222 31 1 2 1 311201 cos 60 1 cos 两平面相交 夹角两平面相交 夹角 60 1 arccos 2 1 1 2 1 n 2 2 4 2 n 2 1 2 1 4 2 两平面平行两平面平行 21 0 1 1 0 1 1 MM 两平面平行但不重合 两平面平行但不重合 3 2 1 2 1 4 2 21 0 1 1 0 1 1 MM 两平面平行两平面平行 两平面重合两平面重合 例7例7 设设 0000 zyxP是平面是平面ByAx 0 DCz 外一点 求外一点 求 0 P到平面的距离到平面的距离 1111 zyxP Pr 01P Pjd n 1 P N n 0 P 0 0101 PrnPPPPjn 10101001 zzyyxxPP 解解 CBA CBA n 1 222 0 0 0101 PrnPPPPjn 1 101010 222 zzCyyBxxA CBA 222 111000 CBA CzByAxCzByAx 0 111 DCzByAx 1 P 01 PrPPjn 222 000 CBA DCzByAx 222 000 CBA DCzByAx d 点到平面距离公式点到平面距离公式 平面的方程平面的方程 熟记平面的几种特殊位置的方程 熟记平面的几种特殊位置的方程 两平面的夹角两平面的夹角 注意两平面的 注意两平面的位置位置特征 特征 点到平面的距离公式点到平面的距离公式 点法式方程点法