南京航空航天大学《高等数学》107斯托克斯公式.pdf

斯托克斯公式斯托克斯公式 环流量与旋度环流量与旋度 一 斯托克斯 stokes 公式一 斯托克斯 stokes 公式 斯托克斯公式斯托克斯公式 定理定理设 为分段光滑的空间有向闭曲线 是以 为边界的分片光滑的有向曲面 的正向与 的侧符合右手规则 函数 设 为分段光滑的空间有向闭曲线 是以 为边界的分片光滑的有向曲面 的正向与 的侧符合右手规则 函数P x y z Q x y z R x y z 在包含曲面 在内的一个空间区域内具 有一阶连续偏导数 则有公式 在包含曲面 在内的一个空间区域内具 有一阶连续偏导数 则有公式 dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R RdzQdyPdx n 是有向曲面的 正向边界曲线 是有向曲面的 正向边界曲线 右手法则右手法则 x y z o yxfz xy D C n 证明证明 设设 与平行于与平行于z轴的直线轴的直线 相相交交不多于一点 不多于一点 并并 取取 上侧 上侧 有向曲线有向曲线 C C 为为 的正的正 向边界曲线向边界曲线 在在xoy的投的投 影 影 且所围区域且所围区域 xy D 如图如图 RdzQdyPdx RQP zyx dxdydzdxdydz RdzQdyPdxdS RQP zyx coscoscos cos cos cos 另一种形式另一种形式 n 其中其中 便于记忆形式便于记忆形式 Stokes公式的实质 Stokes公式的实质 表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线 上的曲线积分之间的关系 表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线 上的曲线积分之间的关系 斯托克斯公式斯托克斯公式格林公式格林公式 特殊情形特殊情形 当 是 当 是xoy面的平面闭区域时 面的平面闭区域时 例 1例 1 计算曲线积分 计算曲线积分ydzxdyzdx 其中 其中 是平面是平面1 zyx被三坐标面所截成的 三角形的整个边界 它的正向与这个三角形上侧 的法向量之间符合右手规则 被三坐标面所截成的 三角形的整个边界 它的正向与这个三角形上侧 的法向量之间符合右手规则 0 xy D x y z n 1 1 1 解解按斯托克斯公式 有按斯托克斯公式 有 dzyxdyzdx dxdydzdxdydz 1 1 1 3 1 cos cos cos n xy D d3 x y o 1 1 xy D 2 3 如图如图 xy D dzyxdyzdx dzyxdyzdx dxdydzdxdydz dS3 3 1 例 2例 2 计算曲线积分 计算曲线积分 dzyxdyxzdxzy 222222 其中 其中 是平面是平面 2 3 zyx截立方体 截立方体 10 x 10 y 10 z的表面所得的截痕 若从 的表面所得的截痕 若从 ox 轴的正向看去 取逆时针方向 轴的正向看去 取逆时针方向 解解取 为平面取 为平面 2 3 zyx 的上侧被的上侧被 所围成的部分 所围成的部分 则则 1 1 1 3 1 n z x y o n 即即 3 1 coscoscos dS yxxzzy zyx I 222222 3 1 3 1 3 1 dSzyx 3 4 dS 2 3 3 4 xy D dxdy332 2 9 2 3 zyx上在 上在 xy D 2 3 yx 2 1 yx 2 1 22 轴方向看是顺时针往负 轴方向从正其中 轴方向看是顺时针往负 轴方向从正其中 z z zyx yx c dzyxdyzxdxyz c 02 sincos22 sin cos yxzyx令令 2 sincos3 sin cos2 0 2 22 d dzyxdyzxdxyz c 解法 解法 将曲线将曲线c 参数化参数化 例例3 2 13 23 22 2 2 2 1 22 dxdy dyyxdxyx yxdyx dyyxxdxyyx dzyxdyzxdxyz xoycc yx Green c c c 公式公式 平面上的投影 则在为记平面上的投影 则在为记 解法解法2 化空间曲线积分为平面曲线积分化空间曲线积分为平面曲线积分 解法解法3用用stokes公式公式 面上的投影 则在为 轴的正向夹角为钝角其法向量与 为边界的有限部分 上以取 面上的投影 则在为 轴的正向夹角为钝角其法向量与 为边界的有限部分 上以取 xoySyxD z LzyxS 1 2 22 22 2 D SS L dxdy dxdy yxzxyz zyx dxdydzdxdydz dzyxdyzxdxyz 二 环流量与旋度二 环流量与旋度 按所取方向的环流量沿曲线称为向量场 上的曲线积分中某一封闭的有向曲线则沿场 设向量场 按所取方向的环流量沿曲线称为向量场 上的曲线积分中某一封闭的有向曲线则沿场 设向量场 CA RdzQdyPdxsdA CA kzyxRjzyxQizyxPzyxA CC 1 环流量的定义 1 环流量的定义 Sd RQP zyx kji sdA C 环流量环流量 2 旋度的定义 2 旋度的定义 利用stokes公式 有利用stokes公式 有 Arot RQP zyx kji 为向量场的旋度称向量 为向量场的旋度称向量 k y P x Q j x R z P i z Q y R RQP zyx kji Arot 旋度旋度 斯托克斯公式的又一种形式斯托克斯公式的又一种形式 其中其中 coscoscoskjin 的单位法向量为的单位法向量为 kjit coscoscos 的单位切向量为的单位切向量为 dS y P x Q x R z P z Q y R cos cos cos dSRQP coscoscos 斯托克斯公式的向量形式斯托克斯公式的向量形式 dstAdSnArot dSAdSArot tn 或或 其中其中 cos cos cos y P x Q x R z P z Q y R nArotArot n coscoscosRQPnAAt Stokes公式的物理解释公式的物理解释 向量场向量场A 沿有向闭曲线沿有向闭曲线 的环流量等于向量场的环流量等于向量场 A 的旋度场通过的旋度场通过 所张的曲面的通量 所张的曲面的通量 的正 向与 的正 向与 的侧符合右手法则 的侧符合右手法则 dsAsdArot t