南京航空航天大学《高等数学》34函数单调性的判别法.pdf

1 第四节 函数单调性的判别法第四节 函数单调性的判别法 函数单调性的判别法函数单调性的判别法 函数单调区间的求法函数单调区间的求法 2 一 单调性的判别法一 单调性的判别法 x y o xfy x y o xfy a b A B 0 x f0 x f 定理定理 0 2 0 1 上单调减少在那末函数 内如果在上单调增加 在 那末函数内如果在 导 内可上连续 在在设函数 上单调减少在那末函数 内如果在上单调增加 在 那末函数内如果在 导 内可上连续 在在设函数 baxfy xfbaba xfyxfba babaxfy a b B A 3 证证 21 baxx 21 xx 且且应用拉氏定理应用拉氏定理 得得 211212 xxxxfxfxf xx 0 x fba内 若在内 若在 0 f则则 12 xfxf 上单调增加在上单调增加在baxfy 0 x fba内 若在内 若在 0 f则则 12 xfxf 上单调减少在上单调减少在baxfy 4 例1 解 例1 解 1的单调性讨论函数的单调性讨论函数 xey x 1 x ey 0 内在内在 0 y 函数单调增加函数单调增加 注意 注意 函数的单调性是一个区间上的性质 要用导数 在这一区间上的符号来判定 而不能用一点处的导 数符号来判别一个区间上的单调性 函数的单调性是一个区间上的性质 要用导数 在这一区间上的符号来判定 而不能用一点处的导 数符号来判别一个区间上的单调性 D 又又 5 例例2 讨论函数讨论函数y x sinx 的单调性 解 的单调性 解 y 1 cosx 0 y x sinx在在 上单调增加上单调增加 24681012 2 4 6 8 10 12 几何上看 单调区间的分界点 是使 几何上看 单调区间的分界点 是使f x 0的点的点 6 二 单调区间求法二 单调区间求法 问题 问题 如例如例1 函数在定义区间上不是单调的 但在各个部分区间上单调 函数在定义区间上不是单调的 但在各个部分区间上单调 定义 定义 若函数在其定义域的某个区间内是单调 的 则该区间称为函数的单调区间 若函数在其定义域的某个区间内是单调 的 则该区间称为函数的单调区间 导数等于零的点和不可导点 可能是单调区间 的分界点 导数等于零的点和不可导点 可能是单调区间 的分界点 7 讨论函数的单调性可以按以下步骤进行 讨论函数的单调性可以按以下步骤进行 1 确定函数 确定函数 f x 的定义域 的定义域 2 求 求 f x 找出 找出 f x 0和和 f x 不存在的点 以这些点为分界点 把定义域分成若干区间 不存在的点 以这些点为分界点 把定义域分成若干区间 3 在各个区间上判别 在各个区间上判别 f x 的符号 以此确定的符号 以此确定 f x 的单调性 的单调性 8 例3 解 例3 解 312 92 23 的单调区间 确定函数 的单调区间 确定函数 x xxxf D 12186 2 xxxf 2 1 6 xx 得 解方程得 解方程0 x f 2 1 21 xx 时 当时 当1 x f上单调增加 在上单调增加 在 1 时 当时 当21 x 0 x f 上单调减少 在上单调减少 在 2 1 时 当时 当 x f 上单调增加 在上单调增加 在 2 单调区间为单调区间为 1 2 1 2 9 例4 解 例4 解 32 的单调区间确定函数的单调区间确定函数xxf D 0 3 2 3 x x xf 0导数不存在时当 导数不存在时当 x 时 当时 当0 x f上单调增加 在上单调增加 在 0 时 当时 当 x0 0 0时 时 6 sin 3 x xx 证 令证 令 6 sin 3 x xxxF 2 1cos 2 x xxF 0 2 sin 2 2 22 sin2 22 2 2 xxxx F x 在在 0 内单调上升 又内单调上升 又F 0 0 F x 在在x 0处连续 处连续 三 利用单调性证明不等式三 利用单调性证明不等式 0 即 即 xF 6 sin 0 6 sin 33 x xx x xx 11 例6 证 例6 证 1ln 2 0 2 成立试证时当成立试证时当xxxxx 1ln xxxf 设设 1 x x xf 则 则 0 0 0 xfxf可导 且在上连续在可导 且在上连续在 上单调增加 在上单调增加 在 0 0 0 f 时 当时 当0 x 0 1ln xx 1ln xx 即 即 1ln 2 2 xxxxg 设 设 12 又又01 0 01 1 xxfxxxf则则 f x 在 在 上单调上升 上单调上升 13 四 小结四 小结 单调性的判别是拉格朗日中值定理定理的 重要应用 单调性的判别是拉格朗日中值定理定理的 重要应用 定理中的区间换成其它有限或无限区间 结论仍然成立 定理中的区间换成其它有限或无限区间 结论仍然成立 应用 利用函数的单调性可以确定某些方 程实根的个数和证明不等式 应用 利用函数的单调性可以确定某些方 程实根的个数和证明不等式 14 思考思考 若若0 0 f 是否能断定 是否能断定 xf在原点的 充分小的邻域内单调递增 在原点的 充分小的邻域内单调递增 15 解答解答 不能断定不能断定 例例 0 0 0 1 sin2 2 x x x xx xf 0 f 1 sin21 lim 0 x x x 01 但但0 1 cos2 1 sin41 x xx xxf 16 2