南京航空航天大学《高等数学》43分部积分法.pdf

第三节 分部积分法第三节 分部积分法 duvuvudv 问题问题 dxxe x 解决思路解决思路 利用两个函数乘积的求导法则利用两个函数乘积的求导法则 设函数设函数 xuu 和和 xvv 具有连续导数具有连续导数 vuvuuv vuuvvu dxvuuvdxvu duvuvudv 分部积分公式分部积分公式 cos xdxx cosdxxe x arcsin xdx 1ln 2 dxxx 例1求积分例1求积分 dxxe x 解解 xx xdedxxe Cexe xx xdexe xx xxdxxxdxlnlnln lnCxxx 例2求积分例2求积分 cos xdxx 分析 令分析 令 cosxu dvdxxdx 2 2 1 xdxxcos xdx x x x sin 2 cos 2 22 显然 显然 选择不当选择不当 积分更难进行 积分更难进行 vu 解解令令 xu dvxdxdx sincos xdxxcos xxdsin xdxxxsinsin cossinCxxx 例3求积分例3求积分 2 dxex x 2 xu dvdedxe xx 解解 dxex x2 dxxeex xx 2 2 2 2 Cexeex xxx 再次使用分部积分法 再次使用分部积分法 xu dvdxe x 总结总结若被积函数是若被积函数是幂函数幂函数和和正正 余余 弦函数弦函数 或或幂函数幂函数和和指数函数指数函数的乘积的乘积 就考虑设幂 函数为 就考虑设幂 函数为 使其降幂一次使其降幂一次 假定幂指数是正整 数 假定幂指数是正整 数 u 例4 求积分例4 求积分 arctan xdxx 令令 arctan解解xu dv x dxdx 2 2 xdxxarctan arctan 2 arctan 2 22 xd x x x dx x x x x 2 22 1 1 2 arctan 2 dx x x x 1 1 1 2 1 arctan 2 2 2 arctan 2 1 arctan 2 2 Cxxx x 例5求积分例5求积分 ln 3 xdxx ln解解xu 4 4 3 dv x ddxx xdxx ln 3 dxxxx 34 4 1 ln 4 1 16 1 ln 4 1 44 Cxxx 总结总结 若被积函数是若被积函数是幂函数幂函数和和对数函数对数函数 或或幂函数幂函数和和反三角函数反三角函数的乘积 就考 虑设对数函数或反三角函数为 的乘积 就考 虑设对数函数或反三角函数为 u 例6求积分例6求积分 sin ln dxx 解解 dxx sin ln sin ln sin lnxxdxx dx x xxxx 1 cos ln sin ln cos ln cos ln sin lnxxdxxxx dxxxxx sin ln cos ln sin ln dxx sin ln cos ln sin ln 2 Cxx x 例7求积分例7求积分 sin xdxe x xdxe x sin 解解 x xdesin sinsinxdexe xx xdxexe xx cossin xx xdexecossin coscos sinxdexexe xxx xdxexxe xx sin cos sin xdxe x sin cos sin 2 Cxx e x 注意循环形式注意循环形式 例8求积分例8求积分 1 arctan 2 dx x xx 解解 1 1 2 2 x x x dx x xx 2 1 arctan 2 1arctanxxd arctan1arctan1 22 xdxxx dx x xxx 2 22 1 1 1arctan1 dx x xx 2 2 1 1 arctan1 令令txtan dx x 2 1 1 tdt t 2 2 sec tan1 1 tdtsec Ctt tanln secCxx 1ln 2 dx x xx 2 1 arctan xx arctan1 2 1ln 2 Cxx 例 8例 8 已 知已 知 xf的 一 个 原 函 数 是的 一 个 原 函 数 是 2 x e 求求 dxxfx 解解 dxxfx xxdf dxxfxxf 2 Cedxxf x xfdxxf 两边同时对 求导两边同时对 求导 得得x 2 2 x xexf dxxfx dxxfxxf 2 2 2 x ex 2 Ce x 练习 练习 1 x edx 2 sin 1x dx 1 22 xx xeeC 2 2 1cos 12sin 1xxxC 把换元法和分部积分法结合使用 效果更好把换元法和分部积分法结合使用 效果更好 2 3 1 x x xe dx e 合理选择 正确使用分部 积分公式 合理选择 正确使用分部 积分公式 vu dxvuuvdxvu 二 小结二 小结 cos sin