固体力学的基本观念.pdf

1 固體 學的基本觀 固體 學的基本觀 晉奇 明志科技大學機械系 2009 8 月 1 本文內容是以靜態 static 的線性 linear 應 分析為主題 固體 學部份 會談到材 學和彈性 學基本 與觀 2 本文 含軸對稱 axisymmetry 問題與板殼 plate and shell 3 本文內容均為基本 之大 介紹 關於詳細的 學與 學 者可在章末 出的 考文獻 1 14 中找到 本資 改編自 晉奇 褚晴暉著 有限元素分析與 ANSYS 的工程應用 滄海書局 2005 2 應 與應變應 與應變 圖 1 為受 物體的內部 面 面積 A 上之正向應 normal stress 和剪應 shear stress 的定義是 A Fn A 0 lim A Ft A 0 lim 1 其中 A 為一個很小的面積 Fn和 Ft分別為 A 上之正向 與 A 面垂直 與剪 與 A 面平 當 A 趨近於 0 時 式 1 就是應 的定義 其單位是 除以面積 如 N m2 即等於 Pa 或 lb in2 即 psi 它和壓 pressure 的單位是一樣的 圖 1 應 定義 圖 2 應變定義 a 正向應變 b 剪應變 圖 2 為受 物體的變形 況 假設為極小變形 infinitesimal deformation 圖 a 為受 到正向 F 作用後的一維變形 物體原長為 l 伸長 為 其正向應變 normal strain 定義為 l 2 圖 b 為受到剪 F 作用後之變形 其外形由矩形變為 形 角 變化 為 2 其 剪應變 shear strain 定義為 2 3 由 2 式可知正向應變是無因次的 3 式之剪應變的單位則是徑 radian 3 三維應 與應變三維應 與應變 任何需要做應 分析的對象 如機械 件 塑膠產品和鋼結構等 都是三維的實 體 它們內部的應 和應變均是三維的 以圖 3 左圖之機械 件 當它受 後 可 由其材 內部之任意位置截取一個點 V 該點的三維應 態 可用圖 3 之右圖 表示 之 其中包括 正向應 與剪應 這些應 可以用下 矩陣 表示 zzzyzx yzyyyx xzxyxx 4 4 式為一個對稱矩陣 剪應 xy yx xz zx yz zy 在 4 式中 共有 6 個獨 的 應 分 圖 3 V 點之三維應 態 圖 4 二維平面應 4 在材 學 許多問題的應 分析是假設為平面應 plane stress 態 即 zz xz yz 0 如圖 4 a 位於結構表面之 A 點 其應 可退化至 x y 平面 態 如圖 4 b ij或 ij下標之 i 和 j 分別代表 應 作用面之法向 與 應 作用方向 且必須 注意應 的正負號定義 如正值的正向應 為 應 而負值的正向應 為壓應 此外 應變也可寫為 似 4 式的矩陣型式 zzzyzx yzyyyx xzxyxx 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 5 其中 為正向應變 為剪應變 5 式也是一個對稱矩陣 剪應變 xy yx xz zx yz zy 以上的正向應 和正向應變之下標 xx yy zz 可以分別簡化表示為 x y z 如 xx x和 yy y 極小變形 態之應變與位移關係式 strain displacement relations 為 x u xx y v yy z w zz y u x v yxxy z v y w yzzy x w z u zxxz 6 其中 u v w 分別為座標 x y z 方向的位移 displacement 在結構材 中 各點所發 生之位移是因結構受 變形或運動而產生 在材 學課程中 我們曾經學過如圖 5 a 之二維應 態的莫耳圓 Mohr s circle 它的功能是求出結構中某一點座標轉換後的應 態 如圖 6 經由二維莫耳圓 可求得 個主應 principal stresses 1和 2 以及主軸 principal axes x 和 y 在三維的彈性 學基本 中 其莫耳圓是三維的 如圖 5 b 圖中可表示出三個 主應 1 2 3 此外 經由下式 0 zzzyzx yzyyyx xzxyxx 7 可計算 4 式矩陣之特徵值 eigenvalue i i 1 2 3 1 2 3即為三個主應 1 2 5 3 對於圖 5 b 之三維莫耳圓 其最大剪應 為 arestressesprincipalif 2 123 31 max 8 圖 5 a 二維應 態的莫耳圓 b 三維應 態的莫耳圓 圖 6 座標轉換後的應 態 6 材 的 學性質材 的 學性質 機械性質機械性質 材 可分為等向性 isotropic 與非等向性 anisotropic 以及均質 homogeneous 與非 均質 non homogeneous 等向性是指材 內部在任意方向的性質是一樣的 而均質性是 指材 內部任意位置的性質均為相同 許多材 在固體 學的分析計算上 都可視為等 向性且均質性 如鋼 銅 鋁等 圖 7 a 為原長 l 指 gage length 且截面積為 A 的軸向負荷桿件 axially loaded member 受到軸向 F 作用 伸長 為 其一維的正向應 和正向應變 為 lA F 9 增加 F 且讓每個階段維持靜 平衡 針對延性材 ductile materials 的桿件 則可以得到圖 7 b 的應 應變關係 stress strain relationship 曲線 其中 Spl稱為比 限 proportional limit Sy稱為 伏強 yield strength Su稱為極限抗 強 ultimate tensile strength UTS Sf稱為破壞強 fracture strength 各 延性材 均有 似圖 7 b 的應 應變曲線 此曲線可經由標準的 伸試驗 tensile test 與試片測出 如圖 8 和圖 9 圖 7 a 受軸向負荷的桿 b 延性材 的應 應變曲線 F F l 7 圖 8 MTS 試驗機與 ASTM 試片 攝於本系電腦輔助 位設計與製造實驗室 圖 9 ASTM 伸試驗之試片 取自 ASM Handbook 和 ASTM 規範 ASM Handbook Volume 8 Mechanical Testing 8 材 內部的應 低於 Sy 則材 變形後仍在彈性 elastic 範圍 當外 去除後會 恢 原 會有永久變形 此外由圖 7 b 可看出 材 內部應 低於 Spl 則材 變形 僅 是 彈 性 而 且 是 線 性 linear 因 為 線 性 的 性 質 我 們 在 學 上 可 以 應 用 疊 加 superposition 原 使計算 簡單方 線性加上彈性 是線彈性 linearly elastic 在 線彈性的範圍內 其應 應變關係會符合虎克定 Hooke s law E 10 其中 E 為材 的楊氏模 Young s modulus 或稱彈性模 modulus of elasticity 即圖 7 b 中 Spl點以下那條直線的斜 值 圖 7 b 為延性材 的應 應變關係曲線圖 這 材 如鋼和銅等 其延展性好 在 應 超過 伏強 後 會產生塑性 plastic 變形 當外 去除後會有殘 的永久變形 此外當應 超過極限抗 強 後 則產生頸縮 necking 現象 接著會很快達到破壞 相 對的 脆性材 brittle materials 則沒有延性材 的性質 圖 10 為脆性材 的應 應變 關係曲線 它在應 達到破壞強 Sf後即產生破 沒有明顯的塑性變形與延展性 這 材 如鑄鐵 陶瓷 玻璃等 除 伸試驗 另有壓縮試驗用 測 材 之壓縮性質 大部份的材 在線彈性下 均假設其 伸與壓縮性質相同 如 者的楊氏模 相同或 伏強 相同 過 較特 殊的材 如混凝土和岩石 其抗壓強 會遠高於抗 強 圖 10 脆性材 的應 應變曲線 以圖 11 之結構受 態為 當考慮到二維或三維變形時 材 在施 方向會伸 9 長 另一方向則會收縮 其普松比 Poisson s ratio 定義為 xx yy 11 其中 xx為施 方向的正向應變 為正值 即表示伸長 yy為側向的正向應變 為負值 即 表示縮短 11 式以負號將普松比定義為正值 此外對於結構之受壓 態 普松比的定 義也是一樣 圖 11 普松比定義 虛線為變形前 實線為變形後 對於等向性材 的三維線彈性應 問題 其應 與應變的關係式 即廣義虎克定 generalized Hooke s law 為 1 zzyyxxxx E 1 zzxxyyyy E 1 yyxxzzzz E GE xy xyxy 12 GE yz yzyz 12 GE zx zxzx 12 12 其中 E 為楊氏模 為普松比 G 為剪 模 shear modulus 這三個材 係 的關 係為 12 E G 13 10 靜態線性應 分析靜態線性應 分析 一個 學問題 是靜 平衡系統 則可稱為靜態分析 static analysis 而所謂的 靜 態線性應 分析 是指材 在靜 平衡與線性的範圍 線彈性且極小位移 所做的應 與變形分析 由靜 學的知 可 解靜 平衡系統之意義 而在彈性 學中 靜 平衡 之應 態必須滿足平衡方程式 equilibrium equations 0 x xz xy xx f zyx 0 y yzyyyx f zyx 14 0 z zz zy zx f zyx 其中 fx fy fz 為體積 body forces 如重 為體積 的一種 11 材 的破壞準則材 的破壞準則 一般延性材 的結構設計 均將材 內部的應 值設計為低於 Sy或 Spl 這樣的設 計 是為 要確保結構安全且 會 伏 而脆性材 的結構設計 是將應 設計為低 於 Sf 以防止材 發生破 以上的設計準則稱為破壞準則 theories of failure 針對延性之等向性材 如鋼 銅等 經常使用的破壞準則為 von Mises 準則 von Mises criterion 用 7 式算出之三個主應 由下式可算出 von Mises 等效應 von Mises equivalent stress eqv 2 23 2 31 2 21 2 1 eqv 15 其中 eqv必為正值 而 von Mises 準則是以下式表示 yeqv S 16 其中 Sy為材 伸試驗之 伏強 16 式之意義是 von Mises 等效應 小於 伏 強 則代表材 會發生塑性變形與永久變形 即 會 伏 此時結構是安全的 von Mises 準則又稱為最大畸變能準則 maximum distortion energy theory 而等效應 之英 文 equivalent stress 與符號 eqv 亦經常使用 effective stress 和 eff分別表示之 此 外必須注意的是 von Mises 準則只能用於等向性材 對於延性材 另一種破壞準則為 Tresca 準則 Tresca criterion 即最大剪應 準則 maximum shear stress theory 公式如下 可對照圖 5b 之三維莫耳圓 22 123 31 max y S 17 最大剪應 小於 伏強 之 1 2 則代表材 會 伏且結構是安全的 過去的實驗 已證明 von Mises 準則的 伏預測較 Tresca 準則準確 結構是由脆性材 如鑄鐵 陶瓷 玻璃 矽等 製成 則 可使用 16 或 17 式 必須使用其他準則 判斷是否破壞 如最大正向應 準則 maximum normal stress theory f S 系統為靜 定 穩定 jmr2 系統為靜 定 穩定 jmr3 系統為靜 定問題 此外在圖 13 c 中 r 4 m 6 j 5 結果為jmr2 但因為桿件與支撐點的 當配置 使得 abcd 之桿 件組 能抵抗側向外 而會發生運動 因此該系統為 穩定問題 15 扭轉問題為如圖 14 之圓桿 長為 l 其截面積半徑 r 極慣性矩 J 與剪 模 G 皆 為定值 它假設桿件只受到一對扭矩 torque T 作用 沒有其他 型的負荷 當扭矩作用 時會造成扭轉角 angle of twist 在極小變形與線彈性 態之下 其基本公式為 剪應 與剪應變 J T l 23 虎克定 G 24 最大剪應 J Tr max 25 扭轉角 GJ Tl 26 其中 為截面的徑向位置 以圓心為原點 圖 14 扭轉問題 所謂的樑是指如圖 15 和 16 之細長結構 它僅受橫向負荷 集中 分布 彎矩 而 受其他 型負荷 其變形包括橫向的撓 deflection v 與旋轉角 rotating angle 樑 beam theory 主要有 種假設 1 Bernoulli Euler beam theory 亦稱為工程樑 engineering beam theory 2 Timoshenko beam theory 一般材 學所講述的樑 為工程樑 其假設為純彎曲 pure bending 且無剪 效 應 因此樑截面在變形後仍保持平面且與中性面垂直 Timoshenko 樑 則考慮 剪變 形效應 為廣義 且 Timoshenko 樑 的適用範圍亦涵蓋 工程樑 以圖 15 長為 l 且高為 h 之樑為 工程樑 的適用條件 一般估計是實際樑的 16 h l 1 15 即短樑 short beam 則採用 Timoshenko 樑 解 題 但樑越短則與實際值的誤差越大 當樑之 h l 遠小於 1 15 時 工程樑 和 Timoshenko 樑 計算之答案會很相近 圖 15 樑問題 圖 16 樑的變形 在極小變形且為線彈性之下 工程樑 的彎曲應 公式如下 考圖 15 彎曲應 I My y x 27 最大彎曲應 I Mc x max 28 其中 M 為彎矩 I 為慣性矩 c 為中性軸至截面上表面或下表面的最大距 以矩形截面 c h 2 而彎曲應 之分布如圖 17 a 雖然工程樑 在推導式子時 其假設是純彎曲且無剪 效應 但因為實際的樑仍 受到剪 作用 所以亦須計算樑內之剪應 其公式為 It yVQ y 29 其中 V 為剪 Q 為面積的一次矩 t 為截面寬 矩形截面的剪應 分布如圖 17 b 17 圖 17 矩形截面之樑應 分布 a 彎曲應 b 剪應 圖 18 複合負荷 所謂的複合負荷問題 是指如圖 18 之結構 它同時受到軸向負荷 橫向負荷與扭 矩等 因此求解這種問題時就必須同時計算軸向負荷問題 樑問題與扭轉問題等 在 線性範圍 則可將這三種題型分別求解 最後再以疊加原 將答案相加起 複合負荷 問題可 是最實用的 因為大部份的實際工程問題均是受到複合負荷 18 彈性 學的平面問題彈性 學的平面問題 二維之平面問題 plane problems 包含平面應 plane stress 與平面應變 plane strain 大 假設 這 問題是屬於彈性 學課程 碩士班課程 範圍 對於傳統的彈性 學 這種簡化方法可使其 學求解過程 加簡 而對於有限元素分析 這 種簡化則使得電腦求解時間縮短 低計算成本 所謂的平面應 問題是指圖 19 之簡化方式 三維結構為薄板 如在 z 方向 很薄 即指 z 方向尺寸遠小於另外 個方向的尺寸 而施 條件均加在薄板側面 施 方向與 x y 平面平 且沿著厚 方向均勻分布 結構外形 材 邊界條件和受 均 隨 z 座標而變化 在該結構中 與 z 方向 厚 方向 有關之應 均可假設為 0 xzyzzz 30 於是圖 19 a 之三維結構 可以簡化為圖 19 b 之二維平面應 模式 圖 20 為一些可簡 化為平面應 之問題 此外 由 30 式之條件 平面應 態下之應 矩陣變為 000 0 0 yyyx xyxx 31 圖 19 a 三維應 態的薄板結構 b 二維平面應 之簡化模式 p 為均勻分布之 應 19 圖 20 a 薄樑結構 b 薄板圓盤結構 所謂的平面應變是指圖 21 之簡化方式 三維結構為長條 如在 z 方向很厚 且長 即指 z 方向尺寸遠大於另外 個方向的尺寸 而施 條件均加在側面且方向與 z 軸垂直 結構外形 材 邊界條件和受 均 隨 z 座標而變化 且 z 方向位移 w 為 在該結構中與 z 方向有關之應變均假設為 00 w xzyzzz 32 於是圖 21 a 之三維結構 可以簡化為圖 21 b 之二維平面應變模式 這 假設常用於受 均勻分布 之長形結構上 如隧道 堤防 水壩等 圖 21 a 三維應 態的長條結構 b 二維平面應變之簡化模式 p 為均勻分布之壓應 20 平面應 和平面應變問題 都是由原三維結構中 取一個截面 片 分析 如圖 19 b 和 21 b 該截面代表任意 z 座標位置的截面 因此結構外形 材 邊界條 件必須與 z 座標無關 而求解出 的位移與應 等結果也是跟 z 無關 對於以上的平面問題 結構 越薄 使用平面應 假設所算出的答案越準確 結構 越厚 使用平面應變假設所算出的答案就越準確 結構 薄也 厚 使用 平面應 或平面應變 其答案均較 準 比較合適的方法是採用三維的應 分析計算 許多工程問題無法以材 學的題型求解 必須使用彈性 學的平面問題方式 求 解 如圖 22 之結構 圖 22 含圓孔平板之應 集中分析 p 為均布 應 21 三維實體之應 分析三維實體之應 分析 任何物體都是三維實體 three dimensional solid 都是具有體積和厚 的 然而 許多三維實體是 規則的外形 如圖 23 材 學和彈性 學均無法將它簡 化處 也無法求解 面對這 問題 只能用實驗 學方法或有限元素法 求出應 與應變 a b 圖 23 規則外形的三維實體 22 考文獻 考文獻 1 R C Hibbeler Mechanics of Materials 5th edition New Jersey Prentice Hall 2003 2 W F Riley and L Zachary Introduction to Mechanics of Materials New York John Wiley Sons 1989 3 E P Popov Engineering Mechanics of Solids New Jersey Prentice Hall 1990 4 R G Budynas Advanced Strength and Applied Stress Analysis 2nd edition