南京航空航天大学《高等数学》76空间曲线及其方程.pdf

第六节 空间曲线及其方程第六节 空间曲线及其方程 空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程 空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程 空间曲线在坐标面上的投影空间曲线在坐标面上的投影 0 0 zyxG zyxF 空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程 曲线上的点都满足 方程 满足方程的点都在 曲线上 不在曲线上的点 不能同时满足两个方程 曲线上的点都满足 方程 满足方程的点都在 曲线上 不在曲线上的点 不能同时满足两个方程 x o z y 1 S 2 S C 空间曲线空间曲线C可看作空间两曲面的交线可看作空间两曲面的交线 特点 特点 一 空间曲线的一般方程一 空间曲线的一般方程 注 表示同一条曲线的方程不唯一 注 表示同一条曲线的方程不唯一 例2 方程组表示怎样的曲线 例2 方程组表示怎样的曲线 6332 1 22 zyx yx 解解 1 22 yx表示圆柱面 表示圆柱面 6332 zyx 表示平面 表示平面 6332 1 22 zyx yx 交线为椭圆交线为椭圆 例1例1 xoy平面上的曲线可看作是柱面平面上的曲线可看作是柱面 f x y 0与平 面 与平 面z 0的交线 的交线 0 0 z yxf 例3 方程组表示怎样的曲 线 例3 方程组表示怎样的曲 线 4 2 2 22 222 a y a x yxaz 解解 222 yxaz 上半球面上半球面 4 2 2 22 a y a x 圆柱面圆柱面 交线如图交线如图 tzz tyy txx 当给定当给定 1 tt 时 就得到曲线上的一个点时 就得到曲线上的一个点 111 zyx 随着参数的变化可得到曲线上的全 部点 随着参数的变化可得到曲线上的全 部点 空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程 二 空间曲线的参数方程二 空间曲线的参数方程 动点从动点从A点出 发 经过 点出 发 经过t时间 运动到时间 运动到M点点 例 3例 3 如果空间一点如果空间一点M在圆柱面在圆柱面 222 ayx 上以 角速度 上以 角速度 绕绕z轴旋转 同时又以线速度轴旋转 同时又以线速度v沿平行于沿平行于z 轴的正方向上升 其中轴的正方向上升 其中 v都是常数 那么点都是常数 那么点 M构成的图形叫做构成的图形叫做螺旋线螺旋线 试建立其参数方程 试建立其参数方程 A M M M在在xoy面的投影面的投影 0 yx M tax cos tay sin vtz t 螺旋线的参数方程螺旋线的参数方程 取时间取时间t为参数 解 为参数 解 x y z o 螺旋线的参数方程还可以写为螺旋线的参数方程还可以写为 bz ay ax sin cos v bt 螺旋线的重要螺旋线的重要性质性质 00 00 bbbz 上升的高度与转过的角度成正比 上升的高度与转过的角度成正比 即即 上升的高度上升的高度 bh2螺距螺距 2 注 空间曲线的两种方程形式并非一定可以互相转化 注 空间曲线的两种方程形式并非一定可以互相转化 以下的做法并非总是行的通 以下的做法并非总是行的通 例 曲线例 曲线C 222 2222 byx azyx 两式相减两式相减 22 baz 上方程组等价上方程组等价 22 222 baz byx 参数方程 参数方程 22 sin cos baz tby tbx 而而 tan sin cos z y x x y z yx1 22 消去参数消去参数 0 0 zyxG zyxF 消去变量消去变量z后得 后得 0 yxH 曲线关于的曲线关于的投影柱面投影柱面 xoy 投影柱面的投影柱面的特征特征 设空间曲线的一般方程 设空间曲线的一般方程 以此空间曲线为准线 垂直于所投影的坐标面以此空间曲线为准线 垂直于所投影的坐标面 三 空间曲线在坐标面上的投影三 空间曲线在坐标面上的投影 如图如图 投影曲线的研究过程投影曲线的研究过程 空间曲线空间曲线投影曲线投影曲线投影柱面投影柱面 类似地 可定义空间曲线在其他坐标面上的投影类似地 可定义空间曲线在其他坐标面上的投影 0 0 x zyR 0 0 y zxT 面上的面上的投影曲线投影曲线 yoz 面上的面上的投影曲线投影曲线 xoz 0 0 z yxH 空间曲线在面上的空间曲线在面上的投影曲线投影曲线xoy 例4 求曲线在坐标面上的投影例4 求曲线在坐标面上的投影 2 1 1 222 z zyx 解解 1 消去变量 消去变量z后得后得 4 3 22 yx 在面上的投影为在面上的投影为 xoy 0 4 3 22 z yx 所以在面上的投影为线段所以在面上的投影为线段 xoz 2 3 0 2 1 x y z 3 同理在面上的投影也为线段 同理在面上的投影也为线段 yoz 2 3 0 2 1 y x z 2 因为曲线在平面上 因为曲线在平面上 2 1 z 例5 求抛物面例5 求抛物面xzy 22 与平面与平面 02 zyx 的截线在三个坐标面上的投影曲线方程的截线在三个坐标面上的投影曲线方程 截线方程为截线方程为 02 22 zyx xzy 解解 如图如图 2 消去 消去y得投影得投影 0 0425 22 y xxzzx 3 消去 消去x得投影得投影 0 02 22 x zyzy 1 消去 消去z得投影得投影 0 045 22 z xxyyx 补充 空间立体或曲面在坐标面上的投影 补充 空间立体或曲面在坐标面上的投影 空间立体空间立体 曲面曲面 例例6 3 4 22 22 面上的投影 求它在锥面所围成和 由上半球面设一个立体 面上的投影 求它在锥面所围成和 由上半球面设一个立体 xoyyxz yxz 解解 半球面和锥面的交线为半球面和锥面的交线为 3 4 22 22 yxz yxz C 1 22 yxz 得投影柱面消去得投影柱面消去 面上的投影为在则交线面上的投影为在则交线xoyC 0 1 22 z yx 一个圆一个圆 面上的投影为所求立体在面上的投影为所求立体在 xoy 1 22 yx 空间曲线的一般方程 参数方程 空间曲线的一般方程 参数方程 四 小结四 小结 空间曲线在坐标面上的投影 空间曲线在坐标面上的投影 0 0 zyxG zyxF tzz tyy txx 0 0 z yxH 0 0 x zyR 0 0 y zxT 思考题思考题 求椭圆抛物面求椭圆抛物面zxy 22 2与抛物柱面与抛物柱面 zx 2 2的交线关于的交线