勾股定理的姊妹定理及应用.doc

勾股定理的姊妹定理及应用湖南省华容县幸福中学 刘昌平 414207众所周知：直角三角形斜边c的平方等于两直角边a、b的平方和，简记为c2=a2+b2。这是著名的勾股定理。笔者把以下结论称之为勾股定理的姊妹定理斜高定理：12直角三角形斜边c与斜边上的高h之积，等于两直角边a、b之积，简记为ch=ab。证明：SRtABC= c h12SRtABC= a b 1212 c h= a b c h=a b 利用斜高定理进行直角三角形中的有关计算和证明，往往可化繁为简、化难为易，达到事半功倍、出奇制胜的效果。下面举例说明。一、用斜高定理求斜边上的高，简捷。例1，已知如图，CD是RtABC斜边AB上的高，AB=5，AC+BC=7，求CD的长。解：依题意，得 AC+BC=7（已知）（1） AC2+BC2=AB2=52（勾股定理）（2） ABCD=ACBC（斜高定理）（3）（1）两边平方，得AC2+BC2+2ACBC=72（4）把（2）、（3）代入（4），得52+25CD=49，CD=24例2，已知三角形的三边为6cm、8cm、10cm，求此三角形最长边上的高。解：设此三角形最长边上的高为h62+82=102，此三角形是直角三角形，且10cm为斜边，由斜高定理，得10 h=68，即h=4.8（cm）答：此三角形最长边上的高为4.8cm。二、用斜高定理证几何题，方便。1a21b21h2例3，已知在RtABC中，C=90，AB边上的高CD=h，BC=a，AC=b，求证： + = 证明：由勾股定理，得AB2=a2+b2（1）AB2(ABh)2a2+b2(ab)21a21b21h2由斜高定理，得ABh=a b (2)，(1)(2)2，得 = ,即 + = 。X2-r2例4，已知x、y、z、r均为正数，且x2+y2=z2 ,z =x2，求证：xy=rz。证明：如图构造RtABC，使BC=x，AC=y，则AB=zX2-CD2过C点作CDAB，垂足为D，由射影定理，得BC2=BDAB，X2-r2X2-CD2又由勾股定理，得BD= 即x2=z X2=Z X2-r2X2-CD2 z = z ，故CD=r。由斜高定理，得z r=xy ,即x y=r z.三、用斜高定理判定直线与圆的位置关系，明快。例5，在RtABC中，C=90，AC=3cm BC=4cm，以C为圆心，r=2.4cm为半径的圆与AB有怎样的位置关系？为什么？解：过C作CDAB，垂足为D，在RtABC中，由勾股定理，得345ACBCAB32+42AC2+BC2AB= = = 5，由斜高定理，得ABCD=ACBC即CD= = =2.4d=CD=2.4cm ， r=2.4cm，而d=r C和AB相切。四、用斜高定理计算有关问题，利索。例6，在O中，圆心角AOB=90，点O到弦AB的距离为4，则O的直径长为( ) 22（A）4 （B）8 （C）24 （D）162222x2+x2OA2+OB2解：作OCAB，垂足为C，则OC=4，设OA=OB=x0，又AOB=90，由勾股定理，得AB= = = x，由斜高定理，得ABOC=OAOB，即 x4=xx，故x=4 ，所以O的直径为8 ，应选（B）。例7，已知如图，四边形ABCD是等腰梯形，ADBC，ACBD，AD+BC=10，梯形的高DE为5，求BD的长。解：过D点作DFAC，交BC的延长线于F，又ADBCACFD是平行四边形DF=AC，CF=ADBF=BC+CF=BC+AD=10ACBD DFBD又ABCD是等腰梯形