基于预订销售的库存模型.pdf

广 西科 学 Gu a n g x i S c i e n c e s 2 0 0 7 1 4 2 1 2 8 1 3 1 基 于预订销售 的库存模 型 I n v e nt o r y a n d S a l e M o d e l Ba s e d o n Re s e r v a t i o n S a l e 朱彦利 孟立华 徐春 明 Z HU Ya n l i MENG L i h u a XU Ch u n mi n g 广西大学数学与信息科学学院 广西南宁 5 3 0 0 0 4 C o l l e g e o f Ma t h e ma t i c s a n d I n f o r ma t i o n S c i e n c e Gu a n g x i Un i v e r s i t y Na n n i n g Gu a n g x i 5 3 0 0 0 4 C h i n a 摘要 在需求率是价格 的函数 允许缺货 的条件下 采用动态价格策 略 考虑 允许顾客取 消预订 和货币时 间价值 的影响 建立一个库存一 销 售模 型 并用数值实例验证模 型的有效性 该模型能 够有效地确定 出最优 的销售价格 订 购量 预订销售周期 使得服务企业的净利润最大化 关键词 数学模型库存销售价格 中图法分类号 0 2 2 7 C 9 3 1 文 献标 识码 A 文章编号 1 0 0 5 9 1 6 4 2 0 0 7 0 2 0 1 2 8 0 4 Ab s t r a c t U n d e r t he a s s u mpt i o ns t ha t pr o du c t d e ma nd i s p r i c e de p e n de nt a n d a l l o wa bl e s h o r t a ge t h e i n v e n t o r y a n d s a l e mo d e l i s e s t a b l i s h e d b y d y n a mi c p r i c i n g a p p r o a c h i n wh i c h t h e t i me v a l u e o f mo n e y a n d r e s e r v a t i o n s ma y c a n c e l a d v a n c e o r d e r s i s i n e l u d e d a n d t h e v a l i d i t y i S v e r i f i e d b y nu me r i c a l e xa m p l e s The mo d e l i s de r i v e d t o f i nd t he o p t i m a l p r i c i ng o r d e r i ng q u a nt i t y a nd ma xi mi z e ne t p r o f i t Ke y wo r ds ma t he ma t i c a l mo d e l i nv e nt o r y s a l e pr i c i n g 预订销售是指顾客 向企业预先订购用于将来消 耗 的服务 如机票 宾馆房间等 企业通过预订销售 可以更好 的掌握需求的变化情况 同时 预订销售给 企业提供更多的时间销售它们的产 品 目前 预订销 售 问题得到 了深入的研究 例如 文献 1 指出 在预 订销售的高峰期 系统资源一般会发生短缺 在低峰 期则会发生 闲置 并论述了使 系统 的利润最大的分配 预订销售时间策略 文献 2 构建在无限时间水平下 带有预订销售的库存模型 其中需求率为价格的减函 数 不允许缺货并在预订期 间允许顾客取消预订 文 献F 3 分析预订服务的销售量与其价格敏感性之间的 关 系 指 出 当价 格敏 感 性 较低 高 时 预订 期 间 销售 的服务 减少 增加 价格是企业应对竞争环境变化最迅速的武器 是 扩大市场 占有率和追求长期利润增长的重要因素 价 格 的高低对需求有重要 的影响 因此 如何根据可变 的市场条件为产 品制定一个准确合理的价格是企业 面临的首要 问题 另外 随着竞争 日趋激烈 货币时 收稿 日期 2 0 0 6 1 O 2 3 作者 简介 朱彦利 1 9 8 2 一 男 硕 士研 究生 主要从事供 应链模型 与 优化研究工作 1 2 8 间价值在企业库存管理的研究中越来越受到重视 文 献 4 研究变质产品的临时价格折扣问题 并考虑 了 货币时间价值的影响 文献 E 5 研究易变质产 品的最 优价格问题 并给出一种启发式算法计算最优价格和 订购量 在有限时间水平内和库容有限的条件下 文 献 E 6 建立一个易变质产品的生产销售库存模型 确 定 了最优销售价格和订购量 文献 7 讨论在货币时 间价值的影响下变质产品的最优补充策略 并给出一 种确定最优解 的线性搜索方法 文献E 8 将文献 E 7 的 模型扩展到允许缺货的情形 并确定出最优周期和补 充 次数 本文在预订销售环境下 考虑了有限时间水平内 货币时间价值对服务企业的库存和销售的影响 在允 许缺货的假设下 建立一个库存一 销售模型 确定 出最 优的销售价格 订购量 预订销售周期 使得服务企 业的净利润最大化 1 基 于预订销售 的库存模 型 1 1 记 号与假 定 建立 的库存一 销售模型基于如下假定 1 企业提供 的服务是顾客用于将来消耗的 并 且通过预订购买 Gu a ngx i S c i e nc e s Vo 1 1 4 No 2 M ay 20 07 维普资讯 2 采用动态价格策略 即销售价格在某一时刻 改变 3 需求为价格的减函数 即 户 一q一 其 中q 为正常数且 q P p 0 表示需求量为正数 4 预订发生在给定计划期 日 内 5 允许缺货 6 订购量 需求率 库存水平和订购时间为连 续变量 订购次数为离散变量 正整数 7 取消预订率与订购量无关且为时间的减 函 数 即 f 一 r t 其 中 为正常数 2 顾客取消预订 需支付一定的取消费用 建立模型所需的记号如下 预订销售周期长度 达 到最 大预订水平 时刻 决 策 变 量 m 订 购次 数 决 策 变 量 m 一 日 最大预 订水 平 Q 订购批 量 决策 变量 P I o T 内的销售价格 决策变量 户 I T T 内 的销售价格 决策变量 口 I o T 内取消预订顾客 需支付的单位费用 r 利率 c 服务的单位成本 c 单 位服务单位时间延迟订购成本 1 2 库存 一 销售 模型 令 I f 表示 0 内的预订水平 I f 表示 内的缺货水平 则预订销售从 t一 0时刻 开 始 在 0 内预订的价格为 P 预订水平以 d p 一 I f 增加 时刻预订水平达到最大 由于预 订需求仍在继续 但此 时企业已经不能满足顾客的预 订需 求 因此在 内发生缺货 且缺货完 全延 迟 缺货水平以 d p 一 I f 增加 T时刻一个 预订周期结束 预订水平状态如 图 1所示 图 1 预 司 水 半 状 态 Fi g 1 Th e l e ve l o f r e s e r v a t i on 由上述分析可知 在 0 内有 一 d p 一 r t l I 0 f 1 d l z t 一 d p 2 T f 2 注 意到 I 0 一 o I 2 一 0 由 1 式 和 2 式 得 到 f 一 南 d p 0 f 2 f 一 d p 2 f T1 T1 t T 而由 N I 得到 广 西科 学 2 0 0 7年 5月 第 1 4卷 第 2期 一 d p1 3 系统 的总利润 由企业 的销售利润 顾客取消预 订的利润 服务成本 企业的缺货延迟成本组成 1 2 1 销售利润净现值 企业 的销售利润 由 0 和 内的销售 1 利润组成 其净现值分别为 R 一 P I d p 一 f 一 出 一 P d p R 一 P 一 玎 一 1 户 2 d p 2 因此 O T 内销售利润净现值为 R 一 R1 R2 4 1 2 2 顾客 取 消预 订利 润净 现值 Rc e d t 一 T 1 J l 1 5 1 2 3 服务 成本 净现 值 c p c j d p z 出 丰 l d p J I 1 11 c e r T 一 T1 户 2 6 1 2 4 缺货 延迟 成本 净现 值 C b c 1 l I 2 f P 一 出一 C 1 e r T 一 r T 一 1 r T1 e r T 1 d p 2 7 由 4 7 式得到第一周期利润净现值为 r R R 一 Cp Cb 8 因此 得到计划期 日 内的总净利润为 户 1 P2 T1 一 r r 1 e 一 e 一 玎一 r 孑 其 中 T H m 订购批量 Q既要满足当前周期的预订量又要满 足上一周期的延迟预订量 所以第一周期 的订购批 量为 Q N 第 2到第 m周期的订购批量为 Q N j d p z 出 一 竿 d p 一 T 1 T 户 2 1 0 综上 基于预订销售的库存模型为 ma x r r p 1 P2 T1 1 1 2 模型求解 由于利率 r的值一般都很小 r 1 因而有 P r T 1 1 一 r r 2 将其代入 9 式 可 以得 1 2 9 9 l 维普资讯 到 H 内的总净利润 元 户 P T 的近似表达式为 宠 户 户z 丁 一 一 fl T 1 2 1一 r 1 二互 1 2 1 2 1 E q e 一 r 丁一 T1 8 一 r 一 T 1 1 e 一 一 r 丁一 1 r 丁 1一 r 丁 r 2 丁 户 r 2一 fi e T T 一 丁 n 丁 一 l r T r l 1 一 而 q c T 1 一q c 一 丁一丁 一 g c 1 e r T 一 r 丁 一 1 r 丁 g c 1 一 r 丁 丢 r 丁 r 1 c 对 固定 的 分别求 宠 户 P T 关于 P P T 的偏 导数 得到 一 1 2 1 7 1 q 一 7 丁 一 I r T 丁 3 v 三 罟 1 3 垒二 一 一 2 一 r T T T1 a p 一 q e Tr 2 T 一Tx 8 一 r z 一 T x fl c x e T 一 r 丁 一 1 r Tx 1 一 r 丁 丢 刀 2 孑 a T 一 一 1 1 7 监 二 户 一 1 7 一 r e 一 玎 q 1 e 一 玎 1 r T1 1 户 2 r 一 q c e r T1 1 7 这就可以给出求解模型 1 1 的近似算法如下 步骤 1 输入参数 步骤 2 对m一 1 2 分别利用 1 6 1 8 式 计算 P 7 P 7 TT 并代 入 1 2 式 中计算 宠 P 7 T7 步骤 3 计算 m 及 丁 满足 宠 户 户 丁 m 一 ma x p 7 P 7 T7 再 由 1 0 式计 算近似的最优订购量 Q 利 用本算 法计算得到 的 m 丁 和 Q 是模型 1 1 的近似最优解和最优值 3 数值实例 令需求率 户 一 1 5 0 4 p C一 5 C 一 0 4 n 一 4 0 1 2 r一 0 0 8且都带有适合的单位 计划 期长度 H 一 1 2 月 由表 1 可知 模型 1 1 的近似最优 解 为 m 一 1 1 户 一 2 0 8 2 户 一 2 1 3 0 丁 一 0 5 3 7 5 Q 一 6 7 8 6 g 一 7 6 7 3 5 表 1 数值 实例计算 结果 Ta bl e 1 The r e s ul t s of nume r i c a l e x ampl e s 每次改变一个参数 的值 得到模型 1 1 的最优 解的灵敏度 表 2 7 显示 户 Q 宠 随 q 的增 大而 增 大 随 的增大 而减小 户 随 C 的增 大而增 大 Q 宠 随 C的增 大而 减小 随着 C 的增 大而增 大 Q 随 C 的增 大而减 小 不 随 C 变化 P x 随 n 的增 大而 减小 Q 宠 随 n 的增大 而增 大 不 随 n 变化 户 Q 宠 随 7的增大而减小 不随 7变 化 丁 不随 q C C n 7 变化 丁 只与 m有关且随 r n的增 大而减 小 c 孑 二 口 再 分 别 令 上 述 偏 导 数 等 于 零 井 求 解 相 厦 的万 程组 1 3 1 4 和 1 5 得到 丁 一 去 1 6 一 r 1 8 一 户 一 r q 一 1 I C l r T c 1 1 8 一 玎 I 户 z 一 一十 二 F 二 十 4 r e r T e 一 1 8 一 玎 一 一 1 1 3 0 Gu a n g x i S c i e n c e s Vo 1 1 4 No 2 Ma y 2 0 0 7 维普资讯 表 3 最优解对参数 卢的灵敏度 T a b l e 3 S e n s i t i v i t y a n a l y s i s f o r 卢 表 2 7的结论是符合实际 的 当企业某种服务 广西科学 2 0 0 7年 5月 第 1 4 卷 第 2期 的成本增大 减小 时 在其它条件不变的情况下 其 价格 亦会增 大 减小 而其订购量 与利润则会减小 增 大 另外 在某一计划期 内 由于是等周期订购 因此周期大小 只与订购次数有关 订购次数越多 周 期越小 反之亦成立 4 结束语 本文在考虑货币时间价值影 响的条件下 建立 采用预订销售策略 的库存一 销售模 型 给出一种确定 最优销售价格 预订销售周期 订购量及最优净利润 的近似方法 数值例子分析结果显示 新建立的库存一 销售模型符合企业的实际情况 预订销售还包括很多 方面 如果进一步研究 还可以考虑需求与价格 库存 水平 服务质量等多种因素相关 的问题 或者考虑需 求是随机的情形 另外 多种服务的问题也是一个很 有意义的研究课题 有待于进一步研究 参考文献 1 C HE N Y T L E E K H A f l e x i b l e s e r v i c e mo d e l f o r a d v a n c e r e s e r v a t i o n I J 1 Co mp u t e r Ne t wo r k s 2 0 0 1 3 7 25 1 26 2 E 2 1 Y OU P E NG S HE N G Or d e r i n g a n d p r i c i n g o f s e r v i c e p r o d u c t s i n a n a d v a n c e s a l e s s y s t e m wi t h p r i c e d e p e n d e n t d e ma n d J 1 E u r o p e a n J o u r n a l o f O p e r a t i o n a l R e s e a r c h 2 006 17 0 57 7 1 3 L E E KHAI S HE ANG NG I R E NE C L Ad v a n c e d s a l e o f s e r v i c e c a pa c i t i e s a t he o r e t i c a l an a l y s i s o f t h e i mpa c t o f p r i c e s e n s i t i v i t y o n p r i c i n g a n d c a p a c i t y a l l o c a t i o n s J 3 J o u r n a l o f Bu s i n e s s Re s e a r c h 2 0 0 1 5 4 2 1 9 2 2 5 4 1 彭作 和 田彭 考 虑货币时 间价值 的变质商 品临 时价 格 折扣模型 J 1 系统工程理论 与实践 2 0 0 4 9 I 8 E s 1 WE E HUI MI N G L AW S HT YA N Re p l e n i s h me n t a n d p r i c i n g p o l i c y f o r d e t e r i o r a t i n g i t e ms t a k i n g i n t o a c c o u n t t h e t i me v a l u e o f mo n e y J I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l o f Pr o du c t i o n Ec on omi c s 2 001 71 2 13 22 0 6 C HE N J E NMI NG C HE