江苏省泰州市2019届高三上学期期末考试数学试题(解析版).doc

泰州市2019届高三上学期期末考试数学试题2019.1（参考公式：柱体的体积，椎体的体积）一填空题:本大题共14小题，每小题5分，计70分不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上1.函数的最小正周期为 【答案】【解析】试题分析：的周期为考点：三角函数周期2.已知集合A4，B1，16，若AB，则_.【答案】4【解析】【分析】根据集合A4，B1，16，若AB，从而得到，得到结果.【详解】因为AB，可知，解得，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关集合元素的特征，注意交集非空的条件，得到参数所满足的关系，属于简单题目.3.复数z满足（i是虚数单位），则z_.【答案】5【解析】【分析】首先根据复数的运算法则，得到，之后利用复数模的公式求得结果.【详解】因为，所以，所以，故答案是：5.【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的除法运算，复数的模，属于简单题目.4.函数的定义域是_.【答案】1,1【解析】【分析】令被开方式大于等于零，解不等式求出函数的定义域.【详解】要使函数有意义，需要满足，解得，所以函数的定义域是，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关函数的定义域的求解问题，属于简单题目.5.从1，2，3，4，5这五个数中随机取两个数，则这两个数的和为6的概率为_.【答案】【解析】【分析】根据题意，列举从5个数中一次随机取两个数的情况，可得其情况数目与取出两个数的和为6的情况数目，由等可能事件的概率公式，计算可得答案.【详解】根据题意，从5个数中一次随机取两个数，其情况有：（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（2,3），（2,4），（2,5），（3,4），（3,5），（4,5），共10种情况，其中这两个数的和为6的有：（1,5），（2,4），共2种，则取出两个数的和为6的概率为，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关古典概型的概率求解问题，在解题的过程中，注意该类问题的求解步骤，首先需要将所有的基本事件写出，之后找出满足条件的基本事件，最后应用概率公式求解即可.6.一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的T的值是_.【答案】8【解析】【分析】首先拟执行该程序，最后求得结果.【详解】第一步：；第二步：，推出循环；此时.【点睛】该题考查的是有关程序运行后对应的输出值的问题，在解题的过程中，注意对语句的正确理解.7.已知数列满足1，则_.【答案】4【解析】【分析】首先根据对数的运算法则，可求得，从而可以断定数列是以2为公比的等比数列，从而求得，得到结果.【详解】由，可得，所以，所以数列是以2为公比的等比数列，所以，故答案是：4.【点睛】该题考查的是有关等比数列的性质的问题，涉及到的知识点有对数的运算性质，等比数列的定义和性质，熟练掌握基础知识是正确解题的关键.8.若抛物线的准线与双曲线1的一条准线重合，则p_.【答案】【解析】【分析】求出抛物线的准线方程，双曲线的左准线方程，建立关系，即可求出p的值.【详解】抛物线的准线为：，双曲线的左准线为：，由题意可知，解得，故答案是.【点睛】该题所考查的是有关抛物线与双曲线的几何性质的问题，属于简单题目.9.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，点M为棱AA1的中点，记三棱锥A1MBC的体积为V1，四棱锥A1BB1C1C的体积为V2，则的值是_.【答案】 【解析】【分析】首先设出该棱柱的底面积和高，之后根据椎体的体积公式求得和的值，进而求得其比值，得到结果.【详解】设的面积为，三棱柱的高为，则，所以，故答案是.【点睛】该题考查的是有关椎体的体积的问题，熟记公式是正确解题的关键.10.已知函数，若，则实数的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】首先根据题中所给的函数解析式，确定出函数是偶函数，再利用导数得出其在当时，函数为增函数，当时，函数为减函数，利用函数值的大小，得出自变量所满足的条件，最后求得结果.【详解】函数为偶函数，因为，所以当时，函数为增函数，当时，函数为减函数，由得，即，解得故答案是：.【点睛】该题考查的是根据函数值的大小求解不等式的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有偶函数的特征，利用导数研究函数的单调性，根据图象，结合函数值的大小，确定自变量的大小的问题，属于中档题目.11.在平面直角坐标系xoy中，过圆C1：1上任一点P作圆C2：1的一条切线，切点为Q，则当线段PQ长最小时，k_.【答案】2【解析】【分析】首先画出相应的图形，根据切线的性质，得到对应的垂直关系，利用勾股定理得到线段之间的关系，从而将问题转化，再应用圆上的点到定点的距离的最小值在什么位置取得，从而求得结果.【详解】如图，因为PQ为切线，所以，由勾股定理，得，要使最小，则需最小，显然当点P为与的交点时，最小，此时，所以当最小时，就最小，当时，最小最小，得到最小，故答案是：2.【点睛】该题考查的是有关直线与圆的位置关系，切线长的求法，勾股定理，两点间距离公式，二次函数的最值，以及数形结合的思想.12.已知点P为平行四边形ABCD所在平面上任一点，且满足，则_.【答案】【解析】【分析】首先利用向量的运算法则，将向量进行代换，最后求得对应的的值，从而求得结果.【详解】如下图，因为，所以，即，即，所以，即，所以，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的问题，涉及到的知识点有平面向量的运算法则，属于简单题目.13.已知函数，若存在0，使得0，则实数的取值范围是_.【答案】1,0）【解析】【分析】首先将函数值等于零，转化为两曲线在在处有交点，结合函数的图象，从而得到最后的结果，求得参数的取值范围.【详解】当时，如果，相当于函数在处有交点，由图象可知，显然不符；如果，相当于函数在处有交点，由图像可知，显然不符；当时，如果，相当于函数在处有交点，如下图，两图象相切时，切点为，代入，得，所以，当时，在且处有交点，即存在，使得；如果且时，相当于函数在处有交点，即处有交点，因，下图中，两图象交点的横坐标是大于的，所以，在处，两图象没有交点；综上，可知：.【点睛】该题考查的是有关根据函数零点的范围求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，注意分段函数要分段来处理，再者就是要熟练应用数形结合.14.在ABC中，已知，其中，若为定值，则实数_.【答案】【解析】【分析】首先根据，求得，根据题中所给的条件，得到，再结合题中所给的条件为定值，设其为k，从而整理得出恒成立，从而求得结果.【详解】由，得：，由，得：，即， （k为定值），即，即恒成立，所以，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关根据条件求参数的值的问题，涉及到的知识点有同角三角函数关系式，两角差的正弦公式，三角形的内角和，诱导公式，熟练掌握基础知识是正确解题的关键.二、解答题（90分）15.已知向量，其中。（1）若，求x的值；（2）若，求的值。【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用向量共线的条件，可得结论；（2）利用同角三角函数关系式，结合题中所给的正切值，得到，再利用向量的模的公式，结合所求得的结论，得到结果.【详解】（1）因为，所以，即，因为，所以，；（2）因为2，所以，【点睛】该题考查的是向量的有关问题，涉及到的知识点有两向量共线坐标所满足的条件，正弦倍角公式，已知三角函数值求角，向量的模，属于简单题目.16.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点O为对角线BD的中点，点E，F分别为棱PC，PD的中点，已知PAAB，PAAD。（1）求证：直线PB平面OEF；（2）求证：平面OEF平面ABCD。【答案】详见解析【解析】【分析】（1）根据O为PB中点，F为PD中点，所以，PBFO，之后应用线面垂直的判定定理证得结果；（2）根据题意，得到PAOE，结合题中所给的条件因为PAAB，PAAD，ABADA，可得PA平面ABCD，从而得到OE平面ABCD，根据面面垂直的判定定理证得结果.【详解】（1）O为PB中点，F为PD中点，所以，PBFO而PB平面OEF，FO平面OEF，PB平面OEF。（2）连结AC，因为ABCD为平行四边形，AC与BD交于点O，O为AC中点，又E为PC中点，PAOE，因为PAAB，PAAD，ABADA，PA平面ABCD，OE平面ABCD又OE平面OEF，平面OEF平面ABCD【点睛】该题考查的是有关证明空间关系的问题，涉及到的知识点有线面平行的判定和面面垂直的判定，熟练掌握基础知识是正确解题的关键.17.如图，三个校区分别位于扇形OAB的三个顶点上，点Q是弧AB的中点，现欲在线段OQ上找一处开挖工作坑P（不与点O，Q重合），为小区铺设三条地下电缆管线PO，PA，PB，已知OA2千米，AOB，记APQrad，地下电缆管线的总长度为y千米。（1）将y表示成的函数，并写出的范围；（2）请确定工作坑P的位置，使地下电缆管线的总长度最小。【答案】（1）（2）P与O的距离为时，地下电缆管线的总长度最小【解析】【分析】（1）首先根据Q为弧AB的中点，得到知PAPB，AOPBOP，利用正弦定理得到，根据OA2，得到PA，OP，从而得到yPA+PB+OP2PA+OP，根据题意确定出；（2）对函数求导，令导数等于零，求得，确定出函数的单调区间，从而求得函数的最值.【详解】（1）因为Q为弧AB的中点，由对称性，知PAPB，AOPBOP，又APO，OAP，由正弦定理，得：，又OA2，所以，PA，OP，所以，yPA+PB+OP2PA+OP，APQAOP，所以，OAQOQA，所以，；（2）令，得：，在上递减，在上递增所以，当，即OP时，有唯一的极小值，即是最小值：2，答：当工作坑P与O的距离为时，地下电缆管线的总长度最小。【点睛】该题考查的是应用题，涉及到的知识点有圆的相关性质，正弦定理，应用导数研究函数的最值问题，属于较难题目.18.如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆C：的左顶点为A，点B是椭圆C上异于左、右顶点的任一点，P是AB的中点，过点B且与AB垂直的直线与直线OP交于点Q，已知椭圆C的离心率为，点A到右准线的距离为6。（1）求椭圆C的标准方程；（2）设点Q的横坐标为，求的取值范围。【答案】（1）（2）（4,8）【解析】【分析】（1）首先根据题意得到，又因为点A到右准线的距离为6，得到6，联立求得2，c1，根据椭圆中的关系，求得b的值，从而求得椭圆的方程；（2）设出直线AB的方程，之后与椭圆方程联立，得到，从而求得，从而得到OP的斜率，进一步求得直线OP的方程，再得出BQ的方程，两直线方程联立，求得，从而得到其范围.【详解】（1）依题意，有：，即，又6，所以，6，解得：2，c1，b，所以，椭圆C的方程为：，（2）由（1）知：A（-2,0），设AB：，即，则 ，【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有椭圆的标准方程的求解，直线与椭圆的交点，两直线垂直的条件，两条直线的交点，函数的范围，属于较难题目.19.设A，B为函数yf（x）图象上相异两点，且点A，B的横坐标互为倒数，过点A，B分别做函数yf（x）的切线，若这两条切线存在交点，则称这个交点为函数f（x）的“优点”。（1）若函数不存在“优点”，求实数的值；（2）求函数的“优点”的横坐标的取值范围；（3）求证：函数的“优点”一定落在第一象限。【答案】（1）不存在符合题意的（2）（3）详见解析【解析】【分析】（1）根据题意得到对恒成立，根据函数不存在“优点”，即两条切线不存在交点，即两切线平行，得到等量关系式，求得结果，回代检验，出现矛盾，从而得到不存在这样的；（2）首先设出两个点的坐标，利用两点式写出两条切线的方程，联立求出横坐标，从而求得其范围；（3）设出点的坐标，同样写出两切线的方程联立，求得，代入求出纵坐标，利用导数研究函数图象的走向，从而确定结果.【详解】（1）由题意可知，对恒成立.不妨取，则恒成立，即经验证，当时，有解，即存在两条切线平行，所以不符合题意，所以不存在符合题意的；（2）设，因为所以A、B两点处的切线方程分别为令，解得，所以“优点”的横坐标取值范围为.（3）设，因为，所以A、B两点处的切线方程分别为，令，解得，所以，设，则，所以单调递增，所以，即，因为，所以，所以“优点”的横坐标和纵坐标均为正数，在第一象限.【点睛】该题考查的是有关函数的综合题，涉及到的知识点有新定义的问题，导数的几何意义，两直线的交点，利用导数研究函数的性质，属于较难题目.20.已知数列的前n项和为Sn，且对任意的nN*，n2都有。（1）若0，求r的值；（2）数列能否是等比数列？说明理由；（3）当r1时，求证：数列是等差数列。【答案】（1）1；（2）不可能是等比数列；（3）详见解析.【解析】【分析】（1）令，得到，再将和用项来表示，再结合条件，求得结果；（2）假设其为等比数列，利用，结合，得到关于的方程，求解得出或，将其回代检验得出答案；（3）将r1代入上式，类比着写出，两式相减得到，进一步凑成，结合，从而证得数列是以为首项，2为公差的等差数列