概论第2章-2.3.ppt

连续型随机变量X所有可能取值充满若干个区间 对这种随机变量 不能像离散型随机变量那样 指出其取各个值的概率 给出概率分布 而是用 概率密度函数 表示随机变量的概率分布 2 3连续型随机变量 例1 某工厂生产一种零件 由于生产过程中各种随机因素的影响 零件长度不尽相同 现测得该厂生产的100个零件长度 单位 mm 如下 2 3 1频率直方图 129 132 136 145 140 145 147 142 138 144 147 142 137 144 144 134 149 142 137 137 155 128 143 144 148 139 143 142 135 142 148 137 142 144 141 149 132 134 145 132 140 142 130 145 148 143 148 135 136 152 141 146 138 131 138 136 144 142 142 137 141 134 142 133 153 143 145 140 137 142 150 141 139 139 150 139 137 139 140 143 149 136 142 134 146 145 130 136 140 134 142 142 135 131 136 139 137 144 141 136 这100个数据中 最小值是128 最大值是155 128 155 作频率直方图的步骤 1 先确定作图区间 a b a 最小数据 2 b 最大数据 2 是数据的精度 本例中 1 a 127 5 b 155 5 2 确定数据分组数m 1 87 n 1 2 5 1 组距d b a m 子区间端点ti a id i 0 1 m 3 计算落入各子区间内观测值频数ni xj ti 1 ti j 1 2 n 频率fi ni n i 1 2 m 4 以小区间 ti 1 ti 为底 yi fi d i 1 2 m 为高作一系列小矩形 组成了频率直方图 简称直方图 由于概率可以由频率近似 因此这个直方图可近似地刻画零件长度的概率分布情况 用上述直方图刻画随机变量X的概率分布情况是比较粗糙的 为更加准确地刻画X的概率分布情况 应适当增加观测数据的个数 同时将数据分得更细一些 当数据越来越多 分组越来越细时 直方图的上方外形轮廓就越来越接近于某一条曲线 这条曲线称为随机变量X的概率密度曲线 可用来准确地刻画X的概率分布情况 2 3 2概率密度函数 定义2 3 1 若存在非负可积函数f x 使随机变量X取值于任一区间 a b 的概率可表示成 则称X为连续型随机变量 f x 为X的概率密度函数 简称概率密度或密度 密度函数的几何意义为 这两条性质是判定函数f x 是否为某随机变量X的概率密度函数的充要条件 密度函数的性质 f x 与x轴所围面积等于1 注意 对于连续型随机变量X和任意实数a 总有P X a 0说明 一方面连续型随机变量取任意一点的概率为零 另一方面 从P A 0 并不能推出A是不可能事件 若随机变量X的概率密度为 则称X服从区间 a b 上的均匀分布 记作 X U a b 1 均匀分布 Uniform 注 有时也记作X U a b 2 3 3常见的连续型随机变量 若X U a b 则对于满足a c d b的c和d 总有 已知X U 2 5 现在对X进行三次独立观测 试求至少有两次观测值大于3的概率 解 记A X 3 则P A P X 3 2 3 设Y表示三次独立观测中A出现的次数 则Y b 3 2 3 所求概率为 P Y 2 P Y 2 P Y 3 20 27 例1 例2设 在 1 5 上服从均匀分布 求方程 有实根的概率 解方程有实数根 即 而的密度函数为 所求概率为 指数分布常用于可靠性统计研究中 如元件的寿命服从指数分布 若随机变量X具有概率密度 2 指数分布 则称X服从参数为 的指数分布 记成X E 例3 设某电子管的使用寿命X 单位 小时 服从参数 0 0002的指数分布 求电子管使用寿命超过3000小时的概率 解 例4电子元件的寿命X 年 服从参数为3的指数分布 1 求该电子元件寿命超过2年的概率 2 已知该电子元件已使用了1 5年 求它还能使用两年的概率为多少 解 正态分布是应用最广泛的一种连续型分布 正态分布是十九世纪初 由高斯 Gauss 给出并推广的一种分布 故 也称高斯分布 3 正态分布 I 正态分布的定义 若随机变量X的概率密度函数为 记作 f x 所确定的曲线叫作正态曲线 Normal 其中 和 都是常数 任意 0 则称X服从参数为 和 的正态分布 II 正态分布的图形特点 特点 两头低 中间高 左右对称 正态分布的密度曲线是一条关于X 对称的钟形曲线 正态分布的特性 1 关于直线x 对称 单峰对称 2 在x 处取得最大值 3 在x 处有拐点 4 当时 曲线以x轴为渐近线 正态分布的图形特点 决定了图形的中心位置 决定了图形峰的陡峭程度 是位置参数 是尺度参数 III 标准正态分布 参数 0 1的正态分布称为标准正态分布 记作X N 0 1 其密度函数表示为 记 由概率密度函数的对称性 可以推出 x 1 x 一般的概率统计教科书均附有标准正态分布表供读者查阅 x 的值 附表2 利用此表 我们可以计算参数已知的情形下 正态随机变量落在一个区间内的概率 如 Z N 0 1 0 5 0 6915 P 1 32 Z 2 43 2 43 1 32 0 9925 0 9066 标准正态分布的重要性在于 任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布 设X N 2 则Y N 0 1 一般正态分布的标准化 定理2 3 1若随机变量X N 2 则对任意a b a b 有 若X N 0 1 服从N 0 1 例3设X N 0 1 求P X 1 96 P X 1 96 1 1 96 1 1 1 96 0 975 查表得 2 1 96 1 0 95 1 96 解 P X 1 96 P X 1 96 2 0 975 1 例4 假设某地区成年男性的身高 单位 cm X N 170 7 692 求该地区成年男性的身高超过175cm的概率 解 根据假设X N 170 7 692 知 事件 X 175 的概率为 解 设车门高度为h 按设计要求 P X h 0 01 或P X h 0 99 下面我们来求满足上式的最小的h 例5 公共汽车车门的高度是按成年男性与车门顶头碰头机会在0 01以下来设计的 设某地区成年男性身高 单位 cm X N 170 7 692 问车门最低高度应是多少 因为X N 170 7 692 求满足P X h 0 99的最小h 故 当汽车门高度为188厘米时 可使男子与车门碰头机会不超过0 01 定义2 3 2 设X是一个随机变量 称函数F x P X x x 为随机变量X的分布函数 分布函数的性质 1 a b 总有F a F b 单调非减性 且P a X b F b F a 2 3 4随机变量的分布函数 证明 因 a X b X b X a 而 X a X b 所以P a X b P X b P X a F b F a 又 因P a X b 0 故F a F b 它表明随机变量落在区间 a b 上的概率可以通过分布函数来计算 2 x R 总有0 F x 1 有界性 且 问一问 是不是某一随机变量的分布函数 答 不是 因为 设离散型随机变量X的概率分布为pk P X xk k 1 2 X的分布函数为 离散型随机变量的分布函数 P29 例2 2 1中X的分布函数为 连续型随机变量的分布函数 即分布函数是密度函数的变上限积分 由上式 得 在f x 的连续点 有 若X是连续型随机变量 f x 是X的密度函数 F x 是分布函数 则对任意x R 总有 求连续型随机变量的分布函数 解 求F x 对x 1 有F x 0 对x 1 有F x 1 即 常见连续型随机