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凤凰高中数学教学参考书配套教学软件_教学设计3.4.1基本不等式的证明南京师范大学附属中学季人杰教学目标：1探索并了解基本不等式的证明；2体会证明不等式的基本思想方法；3能应用基本不等式解决简单的不等式证明问题教学重点：基本不等式的证明教学难点：基本不等式的证明教学过程：一、问题情境，导入新课口述：有一个珠宝商人，很多人到他那里买的东西回家一称发现分量都有问题，于是向工商局投诉，工商局派人去调查，商人承认他用的天平左右的杆长有问题，向人们提出一个调解方案，放左边称变重对人们不公平，放右边称变轻商人要亏本，那么用两次称重的平均值作为物品的实际重量，如果你是购买者，你接受他的方案吗？问题1你能不能把这个问题转化成一个数学问题？珠宝放左边称砝码显示重量为a，放右边称砝码显示重量为b，假设天平的左杠杆长为l1，右杠杆长l2，那么这个珠宝的实际重量是多少？（会算吗？用什么原理来算？你认为珠宝商的方案合理吗，那也就是 哪个大？）问题2 哪个大？（你估计一下哪个大？）（如果回答取值代，那么可以追问取一正一负行吗？如果回答作差，可以追问你估计一下哪个大？）二、学生活动问题3如何证明呢？请2个同学上黑板（巡视，有不同的解法让他上黑板写一下）证法一（比较法）：=，当且仅当，即时，取“=”证法二：要证 ，只要证 ，只要证 ，只要证 因为最后一个不等式成立，所以 成立，当且仅当，即时，取“”证法三：对于正数，有 ， ， ， 先让学生谈一谈证的对不对，他这个证明方法有什么特点？点评：回顾我们上面的证明过程，我们来看一下各种证法的特点：证法一是比较法，比较法常用的就是作差将差值与零去比较；证法二是分析法，分析法的特点是盯住我们要的目标，寻找结论成立的条件；证法三是综合法，它们都是证明不等式的基本方法（看来珠宝商还是多赚钱的，只有ab时才是一个守法的商人啊）三、建构数学定理：如果是实数且，那么（当且仅当时取“”）问题：对于这个定理你怎么认识它？（结构有什么特点啊？成立的条件是什么？什么叫当且仅当啊？）（上式中称为的算术平均数，称为的几何平均数，两个正数的算术平均数大于等于它们的几何平均数，有的时候我们也把这个定理写成）要用这个定理首先两个数必须都是非负数当时，取“”，并且只有当时，取“”，我们把这种等号成立的情况称之为当且仅当四、数学运用例1设是正数，证明下列不等式成立：（1） （2）（3）（先让学生点评，对不对，关注格式与条件，他用什么方法来证明的？还有什么别的思路？）点评：我们证明不等式通常有比较法，分析法，现在有了这个定理，也可以应用它来证明什么时候取等号？师：我们现在已经对这个不等式有了一定的认识了，你能不能从图形的角度来认识一下它呢？有线段AB长为a，线段BC长为b，你能找到和吗？（一个学生讲完了可以让另一个学生再解释一下）例2 （1）已知函数，求此函数的最小值点评：什么是最小值，最小值就是大于等于一个数，你说大于等于2，那也大于等于1嘛，我能说最
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