高三数学二轮专题复习教案(4)--三角函数.doc

高三数学专题复习教案三角函数一、本章知识结构：二、重点知识回顾1、终边相同的角的表示方法：凡是与终边相同的角，都可以表示成k3600+的形式，特例，终边在x轴上的角集合|=k1800，kZ，终边在y轴上的角集合|=k1800+900，kZ，终边在坐标轴上的角的集合|=k900，kZ。在已知三角函数值的大小求角的大小时，通常先确定角的终边位置，然后再确定大小。理解弧度的意义，并能正确进行弧度和角度的换算；角度制与弧度制的互化：弧度，弧度，弧度弧长公式：；扇形面积公式：。 2、任意角的三角函数的定义、三角函数的符号规律、特殊角的三角函数值、同角三角函数的关系式、诱导公式：（1）三角函数定义：角中边上任意一点为，设则：（2）三角函数符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦；（3）特殊角的三角函数值02sin010-10cos10-101tan01不存在0不存在0（3）同角三角函数的基本关系：（4）诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）:sin()sin,cos()cos,tan()tansin()sin,cos()cos,tan()tansin()sin,cos()cos,tan()tansin()sin,cos()cos,tan()tansin()sin,cos()cos,tan()tan，sin()cos,cos()sin sin()cos,cos()-sin3、两角和与差的三角函数（1）和（差）角公式（2）二倍角公式二倍角公式：；（3）经常使用的公式升（降）幂公式：、；辅助角公式：（由具体的值确定）；正切公式的变形：.4、三角函数的图象与性质（一）列表综合三个三角函数，的图象与性质，并挖掘：最值的情况；了解周期函数和最小正周期的意义会求的周期，或者经过简单的恒等变形可化为上述函数的三角函数的周期，了解加了绝对值后的周期情况；会从图象归纳对称轴和对称中心；的对称轴是，对称中心是；的对称轴是，对称中心是的对称中心是写单调区间注意.（二）了解正弦、余弦、正切函数的图象的画法，会用“五点法”画正弦、余弦函数和函数的简图，并能由图象写出解析式“五点法”作图的列表方式；求解析式时处相的确定方法：代（最高、低）点法、公式.（三）正弦型函数的图象变换方法如下：先平移后伸缩的图象得的图象得的图象得的图象得的图象先伸缩后平移的图象得的图象得的图象得的图象得的图象5、解三角形正、余弦定理正弦定理（是外接圆直径）余弦定理：等三个；注：等三个。几个公式:三角形面积公式：；内切圆半径r=；外接圆直径2R=在使用正弦定理时判断一解或二解的方法：ABC中，已知时三角形解的个数的判定： 其中h=bsinA,A为锐角时：ah时，无解；a=h时，一解（直角）；hab时，一解（锐角）。例1、（2008北京文）若角的终边经过点P(1,-2),则tan 2的值为.解：考点二：同角三角函数的关系例、（浙江理）若则=( ) （A） （B）2 （C） （D）解：由可得：由，又由，可得：（）21可得，所以，2。例3、（2007全国卷1理1）是第四象限角，则（ ）ABCD解：由，所以，有，是第四象限角，解得：考点三： 诱导公式例4、(2008陕西文) 等于（ ）ABCD解：例5、（2008浙江文）若 .解：由可知，；而。考点四：三角函数的图象和性质例6、(2008天津文)设，则（ ）ABCD解：，因为，所以，选D例7、(2008山东文、理)函数的图象是（ ）yxOyxOyxOyxOABCD解： 是偶函数，可排除B、D，由的值域可以确定.因此本题应选A.例8、(2008天津文)把函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（ ）ABCD解：y=，故选（C）。例9、（浙江理）在同一平面直角坐标系中，函数的图象和直线的交点个数是( )（A）0 （B）1 （C）2 （D）4解：原函数可化为： =作出原函数图像，截取部分，其与直线的交点个数是2个.考点五：三角恒等变换例10、（2008惠州三模）已知函数（I）求函数的最小正周期； （II）求函数的值域. 解： （I） （II）所以的值域为：例11、（2008广东六校联考）已知向量(cosx，sinx)，()，且x0，（1）求（2）设函数+，求函数的最值及相应的的值。解：（I）由已知条件： ， 得： （2） ，因为：，所以：所以，只有当： 时， ， ，或时，例12、（2008北京文、理）已知函数的最小正周期为.（）求的值；（）求函数f(x)在区间0，上的取值范围.解：（）= 因为函数f(x)的最小正周期为,且0，所以 解得=1.（）由（）得因为0x，所以所以1.因此0，即f(x)的取值范围为0，考点六：解三角形例13、（2008广东五校联考）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且（1）求tanC的值; （2）若ABC最长的边为1，求b。解：（1）B锐角,且, (2)由(1)知C为钝角, C是最大角,最大边为c=1, , 由正弦定理:得。例14、(2008海南、宁夏文)如图，ACD是等边三角形，ABC是等腰直角三角形，ACB=90，BD交AC于E，AB=2。（1）求cosCBE的值；（2）求AE。解：（）因为，所以所以（）在中，由正弦定理故例15、(2008湖南理)在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东且与点A相距40海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东+(其中sin=，)且与点A相距10海里的位置C. （I）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）;（II）若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，并说明理由.解: （I）如图，AB=40，AC=10，由于,所以cos=由余弦定理得BC=所以船的行驶速度为（海里/小时）.（II） 如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，设点B、C的坐标分别是B（x1，y2）, C（x1，y2）,BC与x轴的交点为D.由题设有，x1=y1= AB=40,x2=ACcos,y2=ACsin所以过点B、C的直线l的斜率k=,直线l的方程为y=2x-40.又点E（0，-55）到直线l的距离d=所以船会进入警戒水域.五、典型例题两角和与差的三角函数【例1】 已知，求的范围。解：设=，（A、B为待定的系数），则=比较系数=从而可得：【例2】 设，求的解的终边相同的角的集合。解：先写出A与B的交，再写出终边相同的角的集合。设，则；所以，即，由于；因此因此所有与的角的终边相同的角的集合为【例3】 已知 的最值。解： -， 即 y=当sina，1时函数y递增，当sina=时 ymin=；当sina(，0)时，函数y递减，当sina=0时，ymin= 故当无最大值。【例4】 求值解：【例5】 已知,cos()=,sin(+)=,求sin2的值_.解法一：,0.+,sin()=sin2=sin()+(+)=sin()cos(+)+cos()sin(+)解法二：sin()=,cos(+)=,sin2+sin2=2sin(+)cos()=sin2sin2=2cos(+)sin()=sin2=【例6】 不查表求sin220+cos280+cos20cos80的值.解法一：sin220+cos280+sin220cos80= (1cos40)+ (1+cos160)+ sin20cos80=1cos40+cos160+sin20cos(60+20)=1cos40+ (cos120cos40sin120sin40)+sin20(cos60cos20sin60sin20)=1cos40cos40sin40+sin40sin220=1cos40(1cos40)= 解法二：设x=sin220+cos280+sin20cos80y=cos220+sin280cos20sin80，则x+y=1+1sin60=，xy=cos40+cos160+sin100=2sin100sin60+sin100=0x=y=，即x=sin220+cos280+sin20cos80=.【例7】 设关于x的函数y=2cos2x2acosx(2a+1)的最小值为f(a)，试确定满足f(a)=的a值，并对此时的a值求y的最大值.解：由y=2(cosx)2及cosx1，1得：f(a)f(a)=,14a=a=2,+故2a1=，解得：a=1，此时，y=2(cosx+)2+，当cosx=1时，即x=2k，kZ，ymax=5.【例8】 求值：.解：原式的分子，原式的分母，所以，原式【例9】 已知，求的值解1：令，则原题等价于：已知，求的值两式分别和差化积并相除得：，所以.分别将已知两式平方并求和得：,所以，.解2：由平方相加得：上述两式平方相减得：将上式前两项和差化积，得：，结合，可解得：所以，【例10】 已知函数在区间上单调递减，试求实数的取值范围解：已知条件实际上给出了一个在区间上恒成立的不等式任取，且，则不等式恒成立，即恒成立化简得由可知：，所以上式恒成立的条件为：.由于且当时，所以 ,从而 ,有 ,故的取值范围为.【例11】解： A+B+C=， 【例12】 在中，分别是角的对边，设，求的值解：由条件，依据正弦定理，得在； 即三角函数的图象与性质【例1】 试确定下列函数的定义域；解：要使函数有意义，只须满足条件解得：要使函数有意义，只须满足条件 解得【例2】 求函数的最小值解：当【例3】 已知函数f(x)=2asin2x2asinxcosx+a+b1，（a、b为常数，a0），它的定义域为0,，值域为3,1，试求a、b的值。解：f(x)=2asin2x2asinxcosx+a+b1=a(1cos2x)asin2x+a+b1=2asin0x 2x+ a0 a2asin2a3a+b12asin+2a+b1b1值域为3,1 【例4】 已知函数的图象在y轴上的截距为1，它在y轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为（）和（）.（1）求的解析式；（2）将y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），然后再将所得图象向x轴正方向平移个单位，得到函数y=g(x)的图象.写出函数y=g(x)的解析式并用列表作图的方法画出y=g(x)在长度为一个周期的闭区间上的图象.解：（1）由已知，易得A=2，解得把（0，1）代入解析式，得又，解得为所求(2)压缩后的函数解析式为再平移，得0020-20【例5】 求函数的最值，并写出使函数取得最值的的集合。解：令，函数当且仅当时，函数取得最小值的的集合又函数是单调递增的证明如下：，是单调递增的当时，函数函数取得最大值的的集合【例6】 中，已知三内角A、B、C依次成等差数列，求的取值范围。解：由已知得即的取值范围为【例7】 已知，问当分别取何值时，取最大值，并求出此最大值。解：此时，由解得【例8】 在ABC中，求的最小值.并指出取最小值时ABC的形状，并说明理由.解：令在ABC中，又.当时，y取得最小值；由知A=C，由知，B=60；故A=B=C=60，即y取最小值时，ABC的形状为等边三角形.【例9】 已知函数f(x)=2cosxsin(x+)sin2x+sinxcosx(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求f(x)的最小值及取得最小值时相应的x的值；(3)若当x，时，f(x)的反函数为f1(x)，求f-1(1)的值.解：(1)f(x)=2cosxsin(x+)sin2x+sinxcosx=2cosx(sinxcos+cosxsin)sin2x+sinxcosx=2sinxcosx+cos2x=2sin(2x+)f(x)的最小正周期T=(2)当2x+=2k，即x=k (kZ)时，f(x)取得最小值2.(3)令2sin(2x+)=1，又x,2x+,2x+=，则x=，故f-1(1)=.【例10】 已知、为锐角，且x(+)0,试证不等式f(x)=x2对一切非零实数都成立.证明：若x0，则+，、为锐角，0;0,0sin()sin.0sin()sin，0cossin,0cossin,01,01,f(x)在(0,+)上单调递减，f(x)f(0)=2.若x0,+,、为锐角，0,0,0sinsin(),sincos,0sinsin(),sincos,1, 1,f(x)在(,0)上单调递增，f(x)f(0)=2,结论成立.【例11】 设z1=m+(2m2)i,z2=cos+(+sin)i,其中m,R，已知z1=2z2，求的取值范围.解法一：z1=2z2，m+(2m2)i=2cos+(2+2sin)i,=12cos2sin=2sin2sin1=2(sin)2.当sin=时取最小值，当sin=1时，取最大值2.解法二：z1=2z2 ,=1.m4(34)m2+428=0,设t=m2,则0t4,令f(t)=t2(34)t+428,则或f(0)f(4)00或02.的取值范围是，2.【例12】 如右图，一滑雪运动员自h=50m高处A点滑至O点，由于运动员的技巧(不计阻力)，在O点保持速率v0不为，并以倾角起跳，落至B点，令OB=L，试问，=30时，L的最大值为多少？当L取最大值时，为多大？解：由已知条件列出从O点飞出后的运动方程：由整理得：v0cos=v02+gLsin=g2t2+=gL运动员从A点滑至O点，机械守恒有:mgh=mv02,v02=2gh,L=200(m)即Lmax=200(m),又g2t2=.得cos=cos,=30L最大值为200米，当L最大时，起跳仰角为30.六、专题练习【两角和与差的三角函数练习1】一、选择题1.已知方程x2+4ax+3a+1=0(a1)的两根均tan、tan，且，()，则tan的值是( )A.B.2 C. D. 或2二、填空题2.已知sin=，(，)，tan()= ，则tan(2)=_.3.设()，(0，)，cos()=，sin(+)=，则sin(+)=_.三、解答题4.不查表求值:5.已知cos(+x)=，(x)，求的值.6.已知=，且k(kZ).求的最大值及最大值时的件.7.如右图，扇形OAB的半径为1，中心角60，四边形PQRS是扇形的内接矩形，当其面积最大时，求点P的位置，并求此最大面积.8.已知cos+sin=，sin+cos的取值范围是D，xD，求函数y=的最小值，并求取得最小值时的值.【两角和与差的三角函数练习2】一、选择题1下列各三角函数式中，值为正数的是 （ C ） （A） （B） （C） （D）2是第四象限的角，则下列三角函数的值为正的是 （ B ） （A） （B） （C） （D）3的值为 （ B ） （A） （B） （C） （D）4已知=，是第三象限角，则= （ C ） （A） （C） （C）-2 （D）5若=，且为锐角，则的值等于 （ B ） （A） （B） （C） （D）6若=，则的值为 （ B ） （A）1 （B）2 （C） （D）7已知，则 （ C ） （A） （B） （C） （D）8=，则成立的是 （ D ） （A）abbc （C）acb （D）cab9函数的定义域是（ B ）A BC D10已知是第一象限角，且则是 （ C ） （A）第一象限角 （B）第二象限角 （C）第三象限角 （D）第二象限角11若，且，则下列关系正确的是 （ B ） （A） （B） （C） （D）不正确12函数的单调递减区间是 （ D ） （A） （B） （C） （D）15下面三条结论：存在实数，使成立；存在实数，使成立；若cosacosb=0，则其中正确结论的个数为 （ A ） （A）0 （B）1 （C）2 （D）316函数的值域是 （ B ） （A）-2，2 （B）-1，2 （C）-1，1 （D），217函数的最大值为 （ D ） （A）2 （B） （C） （D）119设都是锐角，且，则的取值范围是 （ D ） （A） （B），1 （C）（，1） （D）20若则的值为 （ D ） （A） （B） （C） （D）21若cos，sin0，则等于（ C ） A B3 C D22sin50(1+)的值是（ A ） A1 B2 C D三、解答题1、已知，求的值2、在DABC中，已知三边满足试判定三角形的形状。3求值：4设ABC的三边为a,b,c其所对角为A,B,C如果a,b,c依次成等差数列.求证:；求证:5在中，分别是角的对边，设，求的值。6在ABC中，已知，【三角函数的图象与性质练习1】一、选择题1函数y=xcosx的部分图象是( )2函数f(x)=cos2x+sin(+x)是( )A.非奇非偶函数B.仅有最小值的奇函数C.仅有最大值的偶函数D.既有最大值又有最小值的偶函数二、填空题3函数f(x)=()cosx在，上的单调减区间为_.4设0，若函数f(x)=2sinx在，上单调递增，则的取值范围是_.三、解答题5设二次函数f(x)=x2+bx+c(b,cR),已知不论、为何实数恒有f(sin)0和f(2+cos)0。(1)求证：b+c=1；(2)求证c3；(3)若函数f(sin)的最大值为8，求b，c的值.6用一块长为a，宽为b(ab)的矩形木板，在二面角为的墙角处围出一个直三棱柱的谷仓，试问应怎样围才能使谷仓的容积最大？并求出谷仓容积的最大值.7有一块半径为R，中心角为45的扇形铁皮材料，为了获取面积最大的矩形铁皮，工人师傅常让矩形的一边在扇形的半径上，然后作其最大内接矩形，试问：工人师傅是怎样选择矩形的四点的？并求出最大面积值.8设x，求函数y=log2(1+sinx)+log2(1sinx)的最大值和最小值.9是否存在实数a，使得函数y=sin2x+acosx+a在闭区间0，上的最大值是1？若存在，求出对应的a值；若不存在，试说明理由.【三角函数的图象与性质练习2】一、选择题1下列有关三角函数增减性的判断，正确的是 （ B ） （A）在0，上是增函数。 （B）在0，上是减函数。 （C）在内是减函数。 （D）在内是减函数。2在区间上， （ D ） （A）是增函数，且是减函数 （B）是减函数，且是增函数 （C）是增函数，且是增函数 （D）是减函数，且是减函数3设是R上以2为周期的奇函数，已知当时，则在（1，2）上 （ A ） （A）是增函数且 （B）是增函数且 （C）是减函数且 （D）是减函数且4函数的最小正周期为1，则 （ D ） （A）1 （B）2 （C） （D）5函数的最小正周期与最大值分别为 （ A ） （A），y最大=+1 （B），y最大=+1 （C），y最大=3 （D），y最大=86函数的 （ A ） （A）周期为最小值为 （B）周期为最小值为-1 （C）周期为最大值为 （D）周期为最大值为17给出函数：；，其中最小正周期为的函数是 （ D ） （A） （B）， （C）， （D），8函数 （ D ） （A）是奇函数而不是偶函数 （B）是偶函数而不是奇函数 （C）既不是奇函数又不是偶函数 （D）既是奇函数又是偶函数9函数是偶函数的充要条件是 （ B ） （A） （B） （C） （D）10要得到函数的图象，只要把函数的图象 （ D ） （A）向左平移个单位 （B）向右平移个单位 （C）向左平移个单位 （D）向右平移个单位11下列命题中正确的是 （ D ） （A）函数的单调区间是 （B）若，则的最大值是 （C）函数的最小正周期为 （D）函数的图象关于轴对称，则12函数y=的最小正周期是（ B ） A B C D213函数的最小正周期T=1，则正实数k的值等于（ C ）(A)0 (B)1 (C) (D) 1、若，则的取值范围是（D）A BC D2设函数y=Asin(x+) (A0, 0) 在x=时取最大值A，在x=时取最大值A，在x=时，取最小值A，则x=时，函数y的值（ C ） A仅与有关 B仅与有C等于零 D与，均有关3函数的最大值是（ C ） A. B. C. D. 二、填空题1、函数的最小值等于并使函数y 取最小值的x的集合为2、若函数的图象关于直线对称，则函数的值域为3、已知函数5、函数的最小值是三、解答题1已知扇形OAB的圆心角，半径为R，在弧AB上有一点P，作PQOA交OB于Q，求DPOQ面积的最大值。2、在ABC中，已知。(1)求证：sinA+sinC=2sinB；(2)求的取值范围。3ABC中，三内角满足AC2B，求cos的值4已知 ，求函数的最小值。5已知，求函数的最大值。【两角和与差的三角函数练习1】参考答案一、1.答案：B 2. 答案：3. 答案：三、4.答案：2（kZ）, （kZ）当即（kZ）时,的最小值为1.7.解：以OA为x轴.O为原点，建立平面直角坐标系，并设P的坐标为(cos,sin)，则PS=sin.直线OB的方程为y=x，直线PQ的方程为y=sin.联立解之得Q(sin；sin)，所以PQ=cossin.于是SPQRS=sin(cossin)=(sincossin2)=(sin2)=(sin2+cos2)=sin(2+).0,2+.sin(2+)1.sin(2+)=1时，PQRS面积最大，且最大面积是，此时，=，点P为的中点，P().8.解：设u=sin+cos.则u2+()2=(sin+cos)2+(cos+sin)2=2+2sin(+)4.u21,1u1.即D=1,1,设t=,1x1,1t.x=.【两角和与差的三角函数练习2】答案三、解答题1、解：原式=，上式两边平方，得： ；又，原式2、解一：由条件展开，消DABC为（A为直角或B为直角）解二： 为3 解：原式=4 解：成等差数列，又又-,=另略解,不妨设a=bd,c=b+d,由余弦定理，得A=（）5解：由条件和正弦定理，又；6 sinA+sinC+sinAcosC+cosAsinC=3sinBsinA+sinC+sin（A+C）=3sinBsinA+sinC=2sinB 【三角函数的图象与性质练习1】参考答案一、1答案：D2.答案：D二、3.解：在,上，y=cosx的单调递增区间是,0及,.而f(x)依cosx取值的递增而递减,故,0及,为f(x)的递减区间.4.解：由x，得f(x)的递增区间为,，由题设得三、5.解：(1)1sin1