几何证明选讲.doc

几何证明选讲一、知识梳理1相似三角形的判定定理1：两角对应相等的两个三角形相似定理2：三边对应成比例的两个三角形相似定理3：两边对应成比例，并且夹角相等的两个二角形相似2相似三角形的性质定理性质1：相似三角形对应边上的高、中线和它们周长的比都等于相似比性质2：相似三角形的面积比等于相似比的平方推论：相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方3射影定理直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项；斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的比例中项4直线与圆的位置关系如果直线与圆没有公共点，就说直线与圆相离，这时圆心到直线的距离大于半径；如果直线与圆有一个公共点，就说直线与圆相切，这时圆心到直线的距离等于半径；如果直线与圆有两个公共点，就说直线与圆相交，这时圆心到直线的距离小于半径5圆周角定理定理：圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半推论：同弧上的圆周角相等定理：弦切角的度数等于它所夹弧的度数的一半；弦切角等于它所夹弧上的圆周角6圆的切线的判定及性质定理：过圆的半径的端点且与半径垂直的直线与圆相切定理：圆的切线垂直于过切点的半径7相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两段的积相等8切割线定理从圆外一点引圆的切线与割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项9圆的内接四边形(1)判定1：如果一个四边形的对角互补，则这个四边形是圆内接四边形判定2：如果直线AB同侧的两点C，D向线段AB张的角相等，则A，B，C，D四点共圆(2)性质：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角10平行投影的性质(1)直线或线段的平行投影仍是直线或线段；(2)平行直线的平行投影是平行或重合的直线；(3)平行于投射面的线段，它的投影与这条线段平行且相等11圆锥面的截线、平面截圆锥面在空间中，取直线l为轴，直线l与1相交于O点，其夹角为，l围绕l旋转得到以O为顶点，l为母线的圆锥面，任取平面n，若它与轴l的夹角为，则：(1)，平面n与圆锥的交线为椭圆；(2)，平面n与圆锥的交线为抛物线；(3)，平面n与圆锥的交线为双曲线椭圆、双曲线、抛物线都可以看成平面截圆锥面所得的截线，其本质是统一的，只是由于平面与圆锥轴线交角的不同而产生这三种曲线的差异，因而这三种曲线可统一为“到定点F和定直线l的距离之比是一个常数e的动点的轨迹”，当0e1，e1，e1时，分别表示椭圆、抛物线和双曲线二、巩固训练A 基础题组1如图，在直角梯形ABCD中上底AD=，下底BC=3，与两底垂直的腰AB6，在AB上选取一点P，使PAD和PBC相似，这样的点P()A有1个B有2个C有3个D不存在2如图，圆内的两条弦AB， CD相交于圆内一点P，已知PA=4，PB=2，2PC=PD，则CD的长为3如图，在ABC中，CDAB于D，BC2= BDAB，则ACB4如图，EB，EC是O的两条切线，B，C是切点，A， D是O上两点，如果E46，DCF32，则A的度数是5如图，已知梯形ABCD中，上底长为2，下底长为6，高为4，对角线AC和BD相交于点P(l)若AP长为4，则PC；(2)ABP和CDP的高的比为6已知四边形ABCD中，ACB=ADB= 90，AD和BC的延长线交于E求证：A，B，C，D四点共圆7如图所示，已知ABC内接于O，直线DE与O相切于点A，BDCA求证：ABDA =BCBDB 提高题组1在矩形ABCD中，AD=a, ABb，要使BC边上至少存在一点P，使ABP，APD，CDP两两相似，则a，b间的关系一定满足()ABCD2如图, BC为O的直径，OABF，交O于点A，F, ADBC,垂足为D,BF和AD相交于E，则ABE为三角形3(2009广东卷)如图，点是圆上的点， 且AB4，ACB45，则圆的面积等于 4(2007广东卷)如图所示，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l，圆交于D，E，则DAC=，线段AE的长为5(2008广东卷)已知PA是圆O的切线，切点为A，PA=2 AC是圆O的直径,PC与圆O交于点B，PB=1，则圆O的半径R6 (2008江苏卷)如图,设ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线交于点EBAC的平分线与BC交于点D求证：ED2EBEC7(2009江苏卷)如图，在四边形ABCD中，ABCBAD 求证：ABCD8(2009辽宁卷)已知ABC中，AB=AC，D是ABC外接圆劣弧上的点(不与点A，C重合)，延长BD至E(1)求证：AD的延长线平分CDE；(2)若BAC=30，ABC中BC边上的高为2+，求ABC外接圆的面积 9(2009宁夏、海南卷)如图，已知ABC的两条角平分线AD和CE相交于H，B60，F在上，且(1)证明：B，D，H，E四点共圆：(2)证明：CE平分DEF 10(2008海南、宁夏)如图，已知是的切线，为切点，是O的割线，与交于两点，圆心在的内部，点是的中点(1)证明四点共圆；(2)求的大小三、参考答案A 基础题组1B解析：设AP=x(1)若ADPBPC，则，即，所以，解得x=3(2)若ADPBCP，则，即，解得符合条件的点P有两个故选B26解析：设CDx，则PDx，PCx，由相交弦定理得PAPBPCPD，42，解得x=6，即CD= 6390解析：在ABC与CBD中，由BC2BDAB，得，且B B， 所以ABCCBDACB=CDB= 90499解析：连接OB，OC，AC根据弦切角定理，可得A=BAC+CAD=(180E)DCF= 6732995 (1)12 (2)13解析：(1)ABCD,APBCPD，即，解得PC=12(2)由(1)得ABP和CDP的高的比等于它们的相似比，从而这两个三角形的高的比为136证明：如图，取AB的中点O,连接DO，CO ACBADB90，AO= BO=CO= DO，A,B,C,D四点共圆7证明：DE与O相切，C=1BDCA，23，ABCBDA，ABDABCBDB 提高题组1.D解析：结合图形易知，要使ABP, A PD，CDP两两相似，必须满足即，.设，则，即，要使BC边上至少存在一点P,必须满足，所以,故选D.2等腰解析：如图，连接AC. OABF，AOBAOF，ABE=ACD.又BC是O的直径，BAC=90，BAE=90DACADBC，ACD90DAC.BA E=ACD，ABEBAE，即ABE为等腰三角形38解析：法一：连结，则AOB90，OAOB，则；法二：，则430，3解析：由RtACB的各边的长度关系知CAB = 30，而弦切角BCl =CAB30，那么在RtADC中，ACD=60，故DAC=30又OCl,从而四边形EAOC为菱形，故AE= 3 5解析：如图，连接AB，AC为直径，ABBCPA是切线，PA2PBPC，即221PC，PC4，CB3，由AC2CBCP3412，AC2，半径为6证明：因为AE是圆的切线，所以ABC=CAE又因为AD是BAC的平分线，所以BAD=CAD从而ABC+BAD=CAE+CAD因为ADE =ABC+BAD，DAE =CADCAE，所以ADE=DAE,故EA= ED因为EA是圆的切线，所以由切割线定理知，EA2ECEB，而EAED，所以ED2= ECEB7证明：由ABCBAD得ACB=BDA，A、B、C、D四点共圆，CAB=CDB又由ABCBAD得CAB=DBA，DBA=CDB，ABCD8解：(1)如图，设F为AD延长线上一点，A，B，C，D四点共圆，CDF=ABC又AB=AC，ABC=ACB，ADB=ACB，ADB=CDF，对顶角EDF=ADB， 故EDF=CDF，即AD的延长线平分CDE(2)设O为外接圆圆心，连接AO交BC于H，则AHBC连接OC，由题意OAC=OCA=15，ACB=75，OCH=60设圆半径为r，则r+r=2+，解得r=2外接圆的面积为49证明：(1)在ABC中，因为B=60，所以BAC+BCA=120因为AD，CE是角平分线，所以HAC+HCA=60，故AHC=120 于是EHD=AHC=120因为EBD+EHD=180，所以B，D，H，E四点共圆(2)连结BH，则B